1、多邊形全章復習與鞏固（基礎）知識講解【學習目標】1.認識三角形并能用符號語言正確表示三角形，理解并會應用三角形三邊之間的關系2.理解三角形的高、中線、角平分線的概念，通過作三角形的三條高、中線、角平分線，提高學生的基本作圖能力，并能運用圖形解決問題 3.能夠運用三角形內角和定理及三角形的外角性質進行相關的計算，證明問題.4.通過觀察和實地操作知道三角形具有穩定性，知道四邊形沒有穩定性，了解它們這些性質在生產、生活中的廣泛應用5.理解多邊形、多邊形的對角線、正多邊形以及鑲嵌等有關的概念；掌握多邊形內角和及外角和公式，并能靈活運用公式解決有關問題.體驗并掌握探索、歸納圖形性質的推理方法，進一步培養

2、說理和進行簡單推理的能力.【知識網絡】【要點梳理】要點一、三角形的有關概念和性質1.三角形三邊的關系：定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊.要點詮釋：（1）理論依據：兩點之間線段最短.（2）三邊關系的應用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍2.三角形按“邊”分類： 3.三角形的重要線段：（1）三角形的高從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高要點詮釋：三角形的三條高所在的直線相交于一點

3、的位置情況有三種：銳角三角形交點在三角形內；直角三角形交點在直角頂點；鈍角三角形交點在三角形外.（2）三角形的中線在三角形中，連接它的一個頂點與它的對邊中點的線段叫三角形的中線要點詮釋：一個三角形有三條中線，它們交于三角形內一點，叫做三角形的重心中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.（3）三角形的角平分線三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線.要點詮釋：一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內一點，這一點叫做三角形的內心.要點二、三角形的穩定性如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀大小就完全固定了，這個性質叫做三角形的穩定性 要點詮釋：(

4、1)三角形的形狀固定是指三角形的三個內角不會改變，大小固定指三條邊長不改變(2)三角形的穩定性在生產和生活中很有用例如，房屋的人字梁具有三角形的結構，它就堅固而穩定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構成一個三角形，就可以使柵欄門不變形大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結構，也是這個道理(3)四邊形沒有穩定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定它的形狀，它的各個角的大小可以改變四邊形的不穩定性也有廣泛應用，如活動掛架，伸縮尺有時我們又要克服四邊形的不穩定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜著釘一根木板，使它不變形要點三、三角形的內角和與外角和1.三角形內角和定理：三角形的內角和為180

5、推論：1.直角三角形的兩個銳角互余 2.有兩個角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性質：（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和 （2）三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內角3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360.要點四、多邊形及有關概念1. 多邊形的定義：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.要點詮釋：多邊形通常還以邊數命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角形是邊數最少的多邊形.2.正多邊形：各個角都相等、各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形.如正三角形、正方形、正五邊形等要點詮釋：各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件

6、，二者缺一不可. 如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個角也都相等的四邊形才是正方形.3.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線. 要點詮釋：(1)從n邊形一個頂點可以引(n3)條對角線，將多邊形分成(n2)個三角形；(2)n邊形共有 條對角線要點五、多邊形的內角和及外角和公式1.內角和公式：n邊形的內角和為(n2)180(n3，n是正整數) 要點詮釋：（1）一般把多邊形問題轉化為三角形問題來解決；(2)內角和定理的應用：已知多邊形的邊數，求其內角和；已知多邊形內角和，求其邊數.2.多邊形外角和：n邊形

7、的外角和恒等于360，它與邊數的多少無關.要點詮釋：(1)外角和公式的應用： 已知外角度數，求正多邊形邊數； 已知正多邊形邊數，求外角度數. (2)多邊形的邊數與內角和、外角和的關系： n邊形的內角和等于(n2)180(n3，n是正整數)，可見多邊形內 角和與邊數n有關，每增加1條邊，內角和增加180.要點六、鑲嵌的概念和特征1、定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同. 要點詮釋：（1）拼接在同一點的各個角的和恰好等于360；相鄰的多邊形有公共邊.(2)用正多邊形實現鑲嵌的條件：邊長相等；

8、頂點公用；在一個頂點處各正多邊形的內角之和為360.(3)只用一種正多邊形鑲嵌地面，當圍繞一點拼在一起的幾個正多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角360時，就能鋪成一個平面圖形.事實上，只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用.【典型例題】類型一、三角形的三邊關系1. 三根木條的長度如圖所示，能組成三角形的是( )【思路點撥】三角形三邊關系的性質，即三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊注意這里有“兩邊”指的是任意的兩邊，對于“兩邊之差”它可能是正數，也可能是負數，一般取“差”的絕對值【答案】D【解析】要構成一個三角形必須滿足任意兩邊之和大于第三邊在運用時習慣于檢查較短的兩邊

9、之和是否大于第三邊A、B、C三個選項中，較短兩邊之和小于或等于第三邊故不能組成三角形D選項中，2cm+3cm4cm故能夠組成三角形【總結升華】判斷以三條線段為邊能否構成三角形的簡易方法是：判斷出較長的一邊；看較短的兩邊之和是否大于較長的一邊，大于則能夠成三角形，不大于則不能夠成三角形【高清課堂：與三角形有關的線段 例1】舉一反三：【變式】判斷下列三條線段能否構成三角形. (1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8.【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.2.若三角形的兩邊長分別是2和7,則第三邊長c的取值范圍是_.【答案】5c9；【解析】三角形的兩邊長分別是2和7,

10、則第三邊長c的取值范圍是2-7c2+7,即5c9【總結升華】三角形的兩邊a、b，那么第三邊c的取值范圍是a-bca+b.舉一反三：【變式】已知三角形的兩邊長為4，8，則第三邊的長度可以是_(寫出一個即可)【答案】5；注：答案不唯一，填寫大于4，小于12的數都對類型二、三角形中重要線段3. 下列各圖中，正確畫出ABC中AC邊上的高的是（）A. B. C. D.【答案】D；【解析】根據三角形高線的定義，AC邊上的高是過點B向AC作垂線垂足為E，縱觀各圖形，都不符合高線的定義，符合高線的定義故選D【總結升華】本題主要考查了三角形的高線的定義，是基礎題，熟練掌握概念是解題的關鍵.舉一反三：【變式】如圖

11、所示，已知ABC，試畫出ABC各邊上的高 【答案】 解：所畫三角形的高如圖所示 4.如圖所示，CD為ABC的AB邊上的中線，BCD的周長比ACD的周長大3cm，BC8cm，求邊AC的長【思路點撥】根據題意，結合圖形，有下列數量關系：ADBD，BCD的周長比ACD的周長大3【答案與解析】 解：依題意：BCD的周長比ACD的周長大3cm， 故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)3 又 CD為ABC的AB邊上的中線， ADBD，即BC-AC3又 BC8， AC5 答：AC的長為5cm【總結升華】運用三角形的中線的定義得到線段ADBD是解答本題的關鍵，另外對圖形中線段所在位置的觀察，找出它們之間

12、的聯系，這種數形結合的數學思想是解幾何題常用的方法 舉一反三：【變式】如圖所示，在ABC中，D、E分別為BC、AD的中點，且，則為_【答案】3；類型三、與三角形有關的角5、如圖，在ABC中，B=67，C=33，AD是ABC的角平分線，則CAD的度數為（）A40 B45 C50 D55【思路點撥】首先利用三角形內角和定理求得BAC的度數，然后利用角平分線的性質求得CAD的度數即可【答案】A；【解析】解：B=67，C=33，BAC=180-B-C=180-67-33=80AD是ABC的角平分線，CAD=BAC=80=40【總結升華】本題考查了三角形的內角和定理，屬于基礎題，比較簡單【高清課堂：與三

13、角形有關的角 例1、】舉一反三：【變式】如圖，在ABC中，ACB=60，BAC=75，ADBC于D，BEAC于E，AD與BE交于H，則CHD= 【答案】解：在ABC中，三邊的高交于一點，所以CFAB，BAC=75，且CFAB，ACF=15，ACB=60，BCF=45在CDH中，三內角之和為180，CHD=45，故答案為CHD=45類型四、三角形的穩定性6. 如圖所示，木工師傅在做完門框后，為防止變形常常像圖中那樣釘上兩條斜拉的木板條(即AB、CD)，這樣做的數學道理是什么?【答案與解析】 解：三角形的穩定性【總結升華】本題是三角形的穩定性在生活中的具體應用實際生活中，將多邊形轉化為三角形都是為

14、了利用三角形的穩定性類型五、多邊形內角和及外角和公式7一個多邊形的內角和等于它的外角和的5倍，它是幾邊形？【思路點撥】本題實際告訴了這個多邊形的內角和是.【答案與解析】設這個多邊形是邊形，則它的內角和是，解得.這個多邊形是十二邊形.【總結升華】本題是多邊形的內角和定理和外角和定理的綜合運用. 只要設出邊數，根據條件列出關于的方程，求出的值即可，這是一種常用的解題思路.舉一反三：【變式】（2016無錫一模）若一個多邊形的內角和是1080度，則這個多邊形的邊數為（）A6B7C8D10【答案】C解：根據n邊形的內角和公式，得（n2）180=1080，解得n=8這個多邊形的邊數是8故選：C類型六、多邊

15、形對角線公式的運用8一個十二邊形有幾條對角線.【思路點撥】根據多邊形對角線條數公式，把邊數代入計算即可【答案與解析】解： 過十二邊形的任意一個頂點可以畫9條對角線， 十二個頂點可以畫129條對角線，但每條對角線在每個頂點都數了一次， 實際對角線的條數應該為129254（條） 十二邊形的對角線共有54條.【總結升華】對于一個n邊形的對角線的條數，我們可以總結出規律條，牢記這個公式，以后只要用相應的n的值代入即可求出對角線的條數，要記住這個公式只有在理解的基礎之上才能記得牢. 舉一反三：【變式】一個多邊形共有20條對角線，則多邊形的邊數是（ ）. A6 B7 C8 D9【答案】C；類型七、鑲嵌問題9（2015濟寧）只用下列哪一種正多邊形可以進行平面鑲嵌（）A正五邊形B正六邊形C正八邊形D正十邊形【答案】B解：A、正五邊形的每個內角度數為1803605=108，不能整除360，不能