1、.2001年河南省普通高等學校選拔?？苾炐惝厴I生進入本科學校學習考試一、選擇題 （每小題1 分，共30 分，每小題選項中只有一個是正確的，請將正確答案的序號填在括號內）. 1函數 的定義域為（ ）A0，3） B（0，3） C（0，3 D. 0，32已知 ，則等于（ ）A B C D. 3設，則當時，是的（ ） A高階無窮小 B低階無窮小C等價無窮小 D同階但不等價無窮小4對于函數，下列結論中正確的是（ ）A是第一類間斷點，是第二類間斷點；B是第二類間斷點，是第一類間斷點；C是第一類間斷點，是第一類間斷點；D是第二類間斷點，是第二類間斷點. 5設 ，則的值為（ ） A B2 C0 D4 6設，則

2、等于（ ） A B C D7已知橢圓的參數方程為，則橢圓在對應點處切線的斜率為（ ） A B C D8函數在點處可導是它在處連續的（ ） A 充分必要條件 B必要條件 C 充分條件 D以上都不對9曲線的拐點為（ ） A B C D10 下列函數中，在上滿足羅爾定理條件的是（ ） A B C D11設是的一個原函數，則等于（ ）A BC D 12下列式子中正確的是（ ）A BC D 13設，則它們的大小關系是（ ） A B C D 14定積分等于（ ）A B C D 15下列廣義積分中收斂的是（ ）A B C D16等于（ ）A B. C D 17設，則等于（ ）A BC D18函數的駐點是（

3、） A B C D19平面與的位置關系是（ ）A平行 B 垂直 C重合 D 斜交20設，則在極坐標系下，可表示為（ ） A. B. C. D. 21設級數收斂，則等于（ ） A1 B0 C D不確定22下列級數中收斂的是（ ）A B C D23設正項級數收斂，則下列級數中一定收斂的是（ ）A B C D24下列級數中，條件收斂的是（ ）A B C D25設冪級數（為常數，）在點處收斂，則該級數處（ ）A 發散 B條件收斂 C絕對收斂 D斂散性無法判定 26某二階常微分方程的下列解中為通解的是（ ）A B C D 27下列常微分方程中為線性方程的是（ ）A B C D 28微分方程的通解是（ ）

4、A B C D 29微分方程的通解是（ ）A B C D 30對于微分方程利用待定系數法求特解時，下列特解設法正確的是（ ）A B C D二、填空題 （每小題 2分，共 20分） 1_ 2設，則_3曲線在點的法線方程為_4_ 5由曲線所圍成的平面圖形繞軸旋轉一周所生成的旋轉體的體積是_ 6設 ，則_7交換積分的積分次序，則_ 8.冪級數的收斂半徑為_ 9冪級數的和函數為_ 10 方程的通解為_ 三、計算題 （每小題4 分，共36 分） 1求極限 2求函數的導數. 3已知 且可微分，求.4計算.5計算 6計算，其中為所圍的右半圓. 7計算積分，其中是曲線上從點到點之間的一段有向弧.8求過點且平行

5、于平面與的直線方程 9將函數展開為麥克勞林級數，并寫出收斂區間 四、應用題 （每小題5分，共 10 分） 1某工廠生產某產品需兩種原料、，且產品的產量與所需原料數及原料數的關系式為.已知原料數的單價為1萬元/噸，原料數的單價為2萬元/噸.現有100萬元，如何購置原料，才能使該產品的產量最大？2已知位于第一象限的凸曲線經過原點和點且對于該曲線上的任一點，曲線弧與直線所圍成的平面圖形的面積為 求曲線弧的方程 五、證明題 （4 分） 證明方程在區間內有唯一實根.答案1，【答案】A. 【解析】 要求；要求，即取二者之交集，得應選A. 2，【答案】C. 【解析】因為，故，應選C. 3，【答案】D. 【解

6、析】因為，所以由定義知，是的同階但不等價無窮小.選D.4，【答案】B 【解析】 因為，故第二類間斷點，且為無窮型間斷點；又因為，故是第一類間斷點，且為可去型間斷點.所以選B5，【答案】D. 【解析】選 D. 6，【答案】A. 【解析】因為，所以，故選A. 7，【答案】C. 【解析】 ， ，所以故橢圓在對應點處切線斜率為，應選C.8，【答案】選C. 9，【答案】A. 【解析】 ；.令，得；無二階不可導點.又當時，而當時，故為拐點，選A. 10，【答案】C 【解析】 （1）在處不可導，故在內不可導，排除A；（2）在端點及處的值不相等，排除B；（3）在處無定義，故在上不連續，排除D.選C. 11，【

7、答案】B【解析】 選B12，【答案】D. 13，【答案】C. 【解析】因為當時，而，且不恒等于，故，選C. 14，【答案】D. 【解析】 選D. 15，【答案】A. 【解析】 ，故收斂，選 A. 16，【答案】B. 【解析】，選 B.17，【答案】C. 【解析】；.故所以，. 選C18，【答案】D. . 【解析】 由方程組 得 故駐點為.選D. 19，【答案】B. 【解析】 平面 的法向量為；平面法向量為.因為，所以，平面與垂直，選B . 20，【答案】C. 21，【答案】A 【解析】因為收斂，故由級數收斂的必要條件知 所以，選A. 22，【答案】B. 【解析】（1）為的級數，故發散，排除A；

8、（2）為公比的等比級數，故收斂，選B；（3）記，因為，故由達朗貝爾比值審斂法知發散，排除C；（4）因為為的級數，故收斂；又為公比的等比級數，故發散.所以由級數的性質知發散.23，【答案】D. 【解析】（1）取，則收斂，但發散，排除A；（2）取，則收斂，但發散，排除，選B；（3）記，則收斂，但發散，排除C；（4）因為收斂，故；所以由，且收斂知，也收斂.選D.24，【答案】C. 【解析】（1），因為且收斂，故絕對收斂，排除A；（2）收斂，故絕對收斂，排除B；（3）收斂，故絕對收斂，排除D；（4）記，則顯然單減，且，所以由萊布尼茲審斂法知收斂；但發散，故條件收斂.25，【答案】C. 【解析】由題意，

9、在點處收斂，故由Abel收斂定理知，在的點處均絕對收斂，又因為，所以在點處絕對收斂.選C. 26，【答案】B . 由通解的定義知，應選B .27，【答案】D . 所謂線性方程，指的是未知函數及其各階導數都是一次的，據此定義知，應選D .28，【答案】A . 【解析】； ； 29，【答案】A . 【解析】微分方程的齊次方程的特征方程為所以，特征根為：故通解為，選A.30，【答案】A【解析】微分方程的齊次方程的特征方程為所以，特征根為：這里右端項，因為非特征根，故可設故選A.填空1，【答案】填.【解析】. 2，【答案】填.【解析】； .所以，.3，【答案】填.【解析】 ；故切線斜率為.所以法線方程

10、為 ，即 .4，【答案】填【解析】 5，【答案】填.【解析】 .6，【答案】填.【解析】.7，【答案】填.【解析】積分區域是由直線及軸所圍成的三角形區域，交換積分次序后.8，【答案】填1.【解析】記，因為，所以收斂半徑為9，【答案】填.【解析】由展式知 10，【答案】填【解析】式可化為 兩邊積分，得 ，即也就是 所以原方程的通解為計算題1，【解析】（洛必達）-2分 -3分 -4分2，【解析】 -1 分 上式兩端關于求導，得 -2分即 -3分所以 -4分3，【解析】由微分形式的不變性知-2分 即 - -4分 所以；.-5分 4，【解析】-1分（分部）-2分 -3分 -4分5，【解析】令，則-1分原式化為-2分 -3分-4分注意：倒數第二步用到 6，【解析】 -1 分 （極坐標）-3分.-4分 7，【解析】 的參數方程為-2分 故 -4分8，【解析】的法向量是；的法向量是.-1分 可取所求直線的方向向量為 -3分故所求直線方程為 -4分9，【解析】-1分其中 -2分 -3分所以 .-4分應用題1，【解析】本題即為求函數在條件下的條件極值問題.宜用拉格朗日乘數法解之.為此令.由 解之，由于駐點唯一，實際中確有最大值.所以，當噸，噸時可使該產品的產量最大.2，【解析】 設所求曲線弧的方程為.據題意，曲線弧與直線所圍成的平面圖形的面積為 式兩邊關于求導，得 ，即 ，