8回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)本章要點(diǎn)主要講述了一次回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)、二次回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的原理、基本方法和統(tǒng)計(jì)分析步驟，并針對(duì)不同類型的回歸正交試驗(yàn)給出了相應(yīng)的計(jì)算案例。重點(diǎn)回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法，統(tǒng)計(jì)過程中方程的建立以及顯著性分析檢驗(yàn)。難點(diǎn)二次回歸組合設(shè)計(jì)正交性的實(shí)現(xiàn)及其統(tǒng)計(jì)分析。81回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)介產(chǎn)品質(zhì)量通常受多因素的綜合影響，試驗(yàn)效應(yīng)既包括因素的主效應(yīng)，也包括因素間的交互作用，因此，在產(chǎn)品研究中總希望安排足夠多的研究因素以使試驗(yàn)效應(yīng)有充分的試驗(yàn)論據(jù)。但因素和水平的增加造成試驗(yàn)規(guī)模龐大，特別是對(duì)于多指標(biāo)分析的試驗(yàn)往往由于分析困難而無法實(shí)施。線性反應(yīng)試驗(yàn)一般是研究一個(gè)因素多水平的試驗(yàn)設(shè)計(jì)，面體反應(yīng)試驗(yàn)是研究?jī)蓚€(gè)因素多水平的的試驗(yàn)設(shè)計(jì)。當(dāng)試驗(yàn)因素超過3個(gè)的多水平試驗(yàn)時(shí)，由于采用組合處理，處理數(shù)目等于因素水平間的乘積，它隨因素的增加呈幾何級(jí)數(shù)增加。例如，一個(gè)3因素4水平的試驗(yàn)，總共有4364個(gè)試驗(yàn)處理，而4因素5水平的試驗(yàn)就有54625個(gè)處理，由于處理數(shù)目太大，不僅增加了試驗(yàn)誤差，而且由于受試材和條件的限制，這對(duì)產(chǎn)品研究來說是難以實(shí)施的。正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法在產(chǎn)品工藝改進(jìn)、新產(chǎn)品的試制中得到了廣泛的應(yīng)用，它能夠利用較少的處理安排較多的試驗(yàn)因素，獲得較佳的試驗(yàn)結(jié)果。但是正交設(shè)計(jì)不能在一定的試驗(yàn)范圍內(nèi)，根據(jù)數(shù)據(jù)樣本，去確定變量間的相關(guān)關(guān)系及相應(yīng)的回歸方程。如果試驗(yàn)傳統(tǒng)的回歸分析，又只能被動(dòng)地去處理由試驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)，而對(duì)試驗(yàn)的設(shè)計(jì)安排幾乎不提出任何要求。這樣不僅盲目地增加了試驗(yàn)次數(shù)，而且由數(shù)據(jù)所分析出的結(jié)果還往往不能提供充分的信息，造成在多因素試驗(yàn)的分析中，由于設(shè)計(jì)的缺陷而達(dá)不到預(yù)期的試驗(yàn)?zāi)康摹Ｒ蚨貧w正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)應(yīng)運(yùn)而生。回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)是將試驗(yàn)安排與數(shù)據(jù)的回歸分析結(jié)合起來考慮。在試驗(yàn)中，通過適當(dāng)?shù)匕才旁囼?yàn)點(diǎn)，使得在每個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)上獲得的數(shù)據(jù)含有最大的信息，并且各自變量因素向量間滿足正交性以便于回歸分析。然后再用回歸分析處理試驗(yàn)數(shù)據(jù)，將試驗(yàn)指標(biāo)與被考察的各因素間的關(guān)系以回歸方程表示出來。回歸正交設(shè)計(jì)兼容了正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)與回歸分析兩者的優(yōu)點(diǎn)，又避免了回歸分析計(jì)算及分析麻煩的缺點(diǎn)，是一種優(yōu)良的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。82一次回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)原理一次回歸正交設(shè)計(jì)就是利用回歸正交原理，建立試驗(yàn)指標(biāo)（）與個(gè)試驗(yàn)因素YM之間的一元回歸方程12,MX81或（82）其中，回歸模型的參數(shù)，是模型的自變量。012,MB12,MX它解決的是多元線性回歸問題，但是多元回歸分析的計(jì)算過程是非常復(fù)雜的，由于試驗(yàn)點(diǎn)是隨意定的，因而由試驗(yàn)點(diǎn)上變量的取值所構(gòu)成的系數(shù)矩陣在求其逆矩陣時(shí)就很復(fù)012MYBXBX,JKJJK雜。根據(jù)多元線性回歸的理論，用矩陣表示，以最小二乘法，可以推導(dǎo)出系數(shù)矩陣為。數(shù)學(xué)模型82式，是表示變量與變量間相關(guān)關(guān)系的數(shù)Y據(jù)結(jié)構(gòu)式。它的結(jié)構(gòu)矩陣為X正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣為A（83）可以看出，結(jié)構(gòu)矩陣中的元素除第一列外，其余都是變量在各試驗(yàn)點(diǎn)上的取值，其X系數(shù)矩陣各元素的值，又決定于結(jié)構(gòu)矩陣各元素的值。由線性代數(shù)知道，系數(shù)矩陣如為對(duì)角陣時(shí)，其逆矩陣就便于計(jì)算了。因此，如果能經(jīng)過某種安排適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)點(diǎn)，使系數(shù)矩陣為對(duì)角矩陣，這樣不僅能簡(jiǎn)化其逆矩陣的計(jì)算，而且還能使得回歸系數(shù)間不存在相關(guān)性。A從上面的系數(shù)矩陣來看，欲使為對(duì)角矩陣，須使結(jié)構(gòu)矩陣中的任一列的和為零，任A兩列的相應(yīng)元素乘積之和為零，即（84）從數(shù)學(xué)意義上講，也就是要使結(jié)構(gòu)矩陣具有正交性。對(duì)于回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)表的選擇，A可以引用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)表，下面看一張最簡(jiǎn)單的兩水平正交試驗(yàn)表，見表81。121121312221212131MMNNNNXXXX10,12,NIJIKJXKJMIN342L1212131122221111NNNNNIIIMIIIMIIIIIIINNNIIIITXXXXAX32121112321NNIIIMIMIMIMNNNIIIIIXXX對(duì)1321IINIMX稱1TBXY12,表81L4（23）正交表試驗(yàn)號(hào)1231234112212121221表82回歸正交表試驗(yàn)號(hào)1231234111111111111用“1”代換表81中的二水平符號(hào)“2”，代換后成表82，顯然這兩種正交表之間并無本質(zhì)差別，然而，代換后可明顯地看出正交表的正交性，即每列所有數(shù)字相加之和為零，且任意兩列相乘之和為零。由此可見，要使結(jié)構(gòu)矩陣成為有正交性的，首先要按二水平正交表來安排試驗(yàn)，一次回歸正交設(shè)計(jì)正是運(yùn)用二水平正交表如、342L78等等來安排試驗(yàn)的，其設(shè)計(jì)的步驟及分析方法如下。12L821一次回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本方法1）確定因素的變化范圍根據(jù)試驗(yàn)指標(biāo)，選擇需要考察的個(gè)因素，并確定每個(gè)因素的YM1,2JXM取值范圍。確定因素水平的上限和下限一般要根據(jù)專業(yè)的知識(shí)或預(yù)備試驗(yàn)，一般地說，上限與下限的距離愈小、愈接近最佳水平范圍，試驗(yàn)求得的回歸方程的預(yù)測(cè)性就越好。設(shè)因素的變化范圍為，分別稱和為因素的下限和上限，并將它們的算術(shù)JX12,JX1J2JJ平均值稱為零水平，即0（85）上限與零水平之差稱為因素XJ的變化區(qū)間，用表示，即J（86）或（87）2）對(duì)因素的水平進(jìn)行編碼編碼的目的是為了將試驗(yàn)效應(yīng)對(duì)因素的回歸關(guān)系轉(zhuǎn)化為對(duì)編碼值的回歸關(guān)系。編YY碼值0JJJ20JJ1JJJX0JJJXZ（88）通過編碼公式，將因素取值作線性變換后，可以找到因素取值與編碼的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而在編碼空間中選擇析因點(diǎn)。編碼以后，試驗(yàn)因素水平被編為1，0和1，即，。一般JZ0JZ21J稱為自然變量，為規(guī)范變量。對(duì)每個(gè)因素的各水平，按公式86進(jìn)行線性代換，JXJZJX就可以列出因素水平編碼表，見表83。表83因素水平編碼表因素1X2JX下水平1上水平1變化區(qū)間J零水平21MX1X2M12JMJX3）確定零水平的重復(fù)次數(shù)在一次回歸正交試驗(yàn)中，因?yàn)槊總€(gè)因素只有兩個(gè)水平點(diǎn)，而且不設(shè)重復(fù)，很難得到一個(gè)正確無偏誤差估計(jì)，因此增加零水平的重復(fù)次數(shù)不僅可以考察因素的線性變化，而且可以得到試驗(yàn)的一個(gè)純誤差，以對(duì)匹配的回歸方程進(jìn)行擬合性測(cè)驗(yàn)。這些零水平取值是各個(gè)因素的基準(zhǔn)水平，其重復(fù)的次數(shù)應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況和試驗(yàn)的要求而定。4）選擇合適的正交設(shè)計(jì)表將二水平的正交表中的“2”用“1”代換，就可以得到一次回歸正交設(shè)計(jì)表。例如正交表經(jīng)過變換后得到的回歸正交設(shè)計(jì)表如表84。782L表84一次回歸正交設(shè)計(jì)表列號(hào)試驗(yàn)號(hào)12345671234567811111111111111111111111111111111111111111111111111111111代換后，正交表中的編碼不僅表示因素的不同水平，也表示了因素水平數(shù)值上的大小。從表82可以看出回歸正交設(shè)計(jì)表具有如下特點(diǎn)1任一列編碼的和為0，即10NJIIZ（89）所以有（810）（2）任兩列編碼的乘積之和等于0，即（811）上述特點(diǎn)說明了代換后的正交表同樣具有正交性，可使回歸計(jì)算大大簡(jiǎn)化。5）試驗(yàn)方案的確定與正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)類似，在確定試驗(yàn)方案之前，要將規(guī)范變量安排在一元回歸正交表JZ相應(yīng)的列中，即表頭設(shè)計(jì)。例如，需考察三個(gè)因素，可選用進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，根據(jù)正交表123,X782L的表頭設(shè)計(jì)表，應(yīng)將分別安排在第1、2和4列，也就是將安排782L123,Z在表82的第1、2和4列上。如果還要考慮交互作用，也可參考正交表X13的交互作用表，將和分別安排在表82的第3、5列上，表頭設(shè)計(jì)結(jié)果見12Z3表83。每號(hào)試驗(yàn)的方案由對(duì)應(yīng)的水平確定，這與正交試驗(yàn)是一致的。,從表85可以看出，第3列的編碼等于第1，2列編碼的乘積，同樣第5列的編碼等于第1，4列編碼的乘積，即交互作用列的編碼等于表中對(duì)應(yīng)兩因素列編碼的乘積，所以用回歸正交表安排交互作用時(shí)，可以不參考正交表的交互作用表，直接根據(jù)這一規(guī)律寫出交互作用列的編碼，這比原正交表的使用更方便。表85三因素一次回歸正交表12345試驗(yàn)號(hào)ZZ12Z3Z13Z1234567891011111111001111111100111111110011111111001111111100表85中的第9，10號(hào)試驗(yàn)稱為零水平試驗(yàn)或中心試驗(yàn)。安排零水平試驗(yàn)的目的是為了進(jìn)行更精確的統(tǒng)計(jì)分析（如回歸方程的失擬檢驗(yàn)等），得到精確度較高的回歸方程。當(dāng)然，1,1,2NJIKIZMJK,IJZJ如果不考慮失擬檢驗(yàn)，也可不安排零水平試驗(yàn)。6）試驗(yàn)處理的隨機(jī)化回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)由于處理數(shù)目較多，不能全部重復(fù)，只能零水平適當(dāng)?shù)囟嘀貜?fù)幾次，用零水平重復(fù)得到試驗(yàn)誤差，各處理的隨機(jī)化可采用抽簽、隨機(jī)數(shù)字表或隨機(jī)函數(shù)。之后就可以根據(jù)試驗(yàn)方案進(jìn)行試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)。822一次回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的統(tǒng)計(jì)分析回歸正交試驗(yàn)經(jīng)設(shè)計(jì)、實(shí)施后，就可以調(diào)查指標(biāo)、收集資料，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)是試驗(yàn)設(shè)計(jì)與結(jié)果分析結(jié)合的產(chǎn)物，試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)就考慮到結(jié)果的分析，因此回歸正交試驗(yàn)的結(jié)果分析比較簡(jiǎn)單。1）一次回歸方程的建立如果采用二水平正交表編制元一次回歸正交設(shè)計(jì)，一共進(jìn)行了次試驗(yàn)，其試驗(yàn)結(jié)果以MN表示，則一次回歸的數(shù)學(xué)模型為12,MY根據(jù)最小二乘原理建立回歸方程為（812）由于一次回歸正交設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)陣具有正交性，即除第一列的和為外，其余各列的和XN以及任意兩列的內(nèi)積和均為零，因而它的信息矩陣（系數(shù)矩陣）為對(duì)稱矩陣A212121212132100000000NININIMNIINIINIMIINXXAXX對(duì)稱011,1,23,NIJIIJKIJIBXBXKJ01MIJIJY一次回歸正交的次試驗(yàn)中，當(dāng)時(shí)，矩陣為N0MA其逆矩陣為C00NAN對(duì)稱1100000101NCANN對(duì)稱121231,00000MMNAAA對(duì)稱當(dāng)時(shí)，矩陣為0MA逆矩陣為C常數(shù)項(xiàng)矩陣為B1012121122313111NIIIIINIIINIMIIIIINIIMINIMIIIYXBBXYXYBXY00000000NMANMNM對(duì)稱010001001011NMCANMN對(duì)稱于是當(dāng)時(shí)，回歸系數(shù)0M即同理，當(dāng)時(shí)，回歸系數(shù)為0M001122111223311100/100/10/MMNBNBABNBNN對(duì)稱0100100,12,INIJJJNIKJIIJIJYBBNXKJMMYBBN011,12,INIJJJNIKJIIJIJYBBNXKJMYBB以上可以看出，由于按正交表來安排試驗(yàn)和對(duì)變量進(jìn)行了線性代換，使得系數(shù)矩陣的逆矩陣運(yùn)算簡(jiǎn)單了，同時(shí)也使得回歸系數(shù)之間不存在相關(guān)性。所以一次回歸正交設(shè)計(jì)的計(jì)算C也就簡(jiǎn)單了。將上述計(jì)算結(jié)果代入公式（82），即可得到一次回歸方程。需要指出的是，如果一次回歸方程中含有交互作用項(xiàng)，則回歸方程不是線性JKZ的，但交互作用項(xiàng)的回歸系數(shù)的計(jì)算和檢驗(yàn)與線性項(xiàng)是相同的，因?yàn)榻换プ饔脤?duì)試驗(yàn)結(jié)果也J有影響，可以看作是影響因素。通過上述方法確定偏回歸系數(shù)后，可以直接根據(jù)它們的絕對(duì)值的大小來判斷各因素和交互作用的相對(duì)重要性。因?yàn)樵诨貧w正交設(shè)計(jì)中，所有因素的水平都經(jīng)過了無因次的編碼變換，它們?cè)谒芯康姆秶鷥?nèi)都是“平等的”，因而所求得的回歸系數(shù)不受因素的單位和取值的影響，直接反映了該因素作用的大小。另外，回歸系數(shù)的符號(hào)反映了因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)影響的正負(fù)。2）回歸方程及偏回歸系數(shù)的方差分析（1）無零水平試驗(yàn)時(shí)首先計(jì)算各種平方和及自由度。總平方和為將代入上式得（813）其自由度為。一次項(xiàng)偏回歸平方和的計(jì)算公式為（814）交互項(xiàng)偏回歸平方和的計(jì)算公式為（815）各種偏回歸平方和的自由度都為1。一次項(xiàng)偏回歸平方和與交互項(xiàng)偏回歸平方和的總和就是回歸平方和（816）所以回歸平方和的自由度也是各偏回歸平方和的自由度之和（817）殘差平方和為（818）其自由度為RJIJDFFDF222111NNNTYIIIISLYYETRS001IBBN2200TIIBSYYBN1DFN2JJSA2IJIJBSARJIJSS于是一次回歸正交設(shè)計(jì)的計(jì)算和方差分析可如表86及表87那樣進(jìn)行。ETRDFF表86一次回歸正交設(shè)計(jì)計(jì)算表試驗(yàn)號(hào)0Z1ZMZ12Z1MZIY12N111211NZ12NMZ2112NZ211NMZ12MY21NJIJAZ1NJIJBYJJBA2/JJSB201NIZ1NI021NI1NIZY1BA1S21NI1NIMZYMBAS1NII12NIIZY12A12S21NIII1NIMIZY1BA1MS21NI201NTIBSYN1221RMSETRS如果考慮了所有的一次項(xiàng)和交互項(xiàng)，則可參照表87進(jìn)行方差分析。表87一次回歸正交設(shè)計(jì)的方差分析表變異來源平方和（）S自由度（）DF均方（）MSF1Z2MZ12MZ回歸剩余12MS12MRSE11111RDFE1/DF2/MSF12D/MMFRRMS/EEDF1/ES2/ME12S/EMR總計(jì)TTFF在實(shí)際做試驗(yàn)時(shí)，往往只需要考慮幾個(gè)交互作用，或者可以不考慮交互作用，所以在計(jì)算回歸和殘差自由度時(shí)應(yīng)與實(shí)際情況相符。如果不考慮交互作用，RF。值得注意的是，無論是否考慮交互作用，都不影響偏回歸系數(shù)的計(jì)算公1EDFNM式。經(jīng)偏回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)，證明對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響不顯著的因素或交互作用，可以將其從回歸方程中剔除，而不會(huì)影響到其他回歸系數(shù)的值，也不需要重新建立回歸方程。但應(yīng)對(duì)回歸方程再次進(jìn)行檢驗(yàn)，將被剔除變量的偏回歸平方和、自由度并入到殘差平方和與自由度中，然后再進(jìn)行相關(guān)的分析計(jì)算。（2）有零水平試驗(yàn)時(shí)如果零水平試驗(yàn)的次數(shù)，則可以進(jìn)行回歸方程的失擬性（LACKOFFIT）檢驗(yàn)。02M前面對(duì)回歸方程進(jìn)行的顯著性檢驗(yàn)，只能說明相對(duì)于殘差平方和而言，各因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響是否顯著。即使所建立的回歸方程是顯著的，也只反映了回歸方程在試驗(yàn)點(diǎn)上與試驗(yàn)結(jié)果擬合得較好，不能說明在整個(gè)研究范圍內(nèi)回歸方程都能與實(shí)測(cè)值有好的擬合。為了檢驗(yàn)一次回歸方程在整個(gè)研究范圍內(nèi)的擬合情況，則應(yīng)安排次零水平試驗(yàn)，進(jìn)02M行回歸方程的失擬性檢驗(yàn)，或稱擬合度檢驗(yàn)（TESTOFGOODNESSOFFIT）。設(shè)次零水平試驗(yàn)結(jié)果為，根據(jù)這次重復(fù)試驗(yàn)，可以計(jì)算出重復(fù)0M0120,MY試驗(yàn)誤差為（816）試驗(yàn)誤差對(duì)應(yīng)的自由度為（817）由前述知，只有回歸系數(shù)與零水平試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)，其他各偏回歸系數(shù)都只與二0B0M水平試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)，所以增加零水平試驗(yàn)后回歸平方和沒有變化，于是定義失擬平CMRS方和為（818）000222111MELIIIIIISYY0ELDFLFTRELSS或（819）可見，失擬平方和表示了回歸方程未能擬合的部分，包括未考慮的其他因素及各的JX高次項(xiàng)等所引起的差異。它對(duì)應(yīng)的自由度為（820）所以有（821）（822）這時(shí)（823）服從自由度為的分布。對(duì)應(yīng)給定的顯著性水平（一般取01），當(dāng),LFELDF時(shí)，就認(rèn)為回歸方程失擬不顯著，失擬平方和是由隨機(jī)誤差造成的，否則說LFELFLFS明所建立的回歸方程擬合得不好，需要進(jìn)一步改進(jìn)回歸模型，引入別的因素或建立更高次的回歸方程。只有當(dāng)回歸方程顯著、失擬檢驗(yàn)不顯著時(shí)，才能說明所建立的回歸方程是擬合得很好的。最后需要指出的是，回歸正交試驗(yàn)得到的回歸方程是規(guī)范變量與試驗(yàn)指標(biāo)之間的關(guān)系式，還應(yīng)對(duì)回歸方程的編碼值進(jìn)行回代，得到自然變量與試驗(yàn)指標(biāo)的回歸關(guān)系式。例81硝基蒽醌中某物質(zhì)的含量與以下三個(gè)因子有關(guān)Y亞硝酸鈉（G）X大蘇打（G）2反應(yīng)時(shí)間（H）3為提高該物質(zhì)的含量，需建立Y關(guān)于變量的回歸方程，考慮交互作用。123,X123,X1）確定因子變化范圍并對(duì)因子水平進(jìn)行編碼因，所以其上水平，下水平，零水平1905XG、90150X變化區(qū)間，以為例，對(duì)121072XA應(yīng)的編碼。同理可對(duì)其他因素水平進(jìn)行編碼，編碼結(jié)果見表88。表88例81因素水平編碼表編碼值JZ亞硝酸鈉（G）1X大蘇打（G）2X反應(yīng)時(shí)間（H）3X上水平（1）90453下水平（1）50251零水平（0）703522107LFELSSLFELDFTRERLFELSSSFLDFFDELFFLFSD105X變化區(qū)間JA2112）正交表的選擇和試驗(yàn)方案的確定本例有三個(gè)因子，選用，經(jīng)編碼轉(zhuǎn)換后，得到回歸正交表（如表89）所示。782L不進(jìn)行零水平試驗(yàn)，故試驗(yàn)次數(shù)8，從而可得試驗(yàn)計(jì)劃，并按計(jì)劃進(jìn)行試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果N列在表89中。表89例81三元一次回歸正交設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案及試驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)號(hào)1Z2Z3Z13Z23Z試驗(yàn)結(jié)果Y123456781111111111111111111111111111111111111111923586008958870585708326839583383）計(jì)算并建立回歸方程由于不進(jìn)行零水平試驗(yàn)，故，。根據(jù)回歸系數(shù)的計(jì)算公式，將有關(guān)0M8CN計(jì)算列在表810中。由表可知，回歸方程為編碼方程中各因素都已轉(zhuǎn)變?yōu)闊o量綱數(shù)，因此系數(shù)的絕對(duì)值的大小可作為判斷因素作用的大小。從上述編碼方程看，因素作用大小排序?yàn)椤?3123ZZZ4）方差分析方差分析結(jié)果見表811。由表可知，因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有極顯著的影響，、Y3、對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響，因此原回歸方程可以簡(jiǎn)化為13Z2Y根據(jù)編碼公式，進(jìn)行線性回歸方程的回代，得1231323642384370698YZZZZZ10172XZ30331XZ313236448072698ZZZZ113323232778642848960698XXYXX225XX表810例81三元一次回歸正交設(shè)計(jì)計(jì)算表試驗(yàn)號(hào)0Z1Z2Z3Z13Z23ZY12345678111111111111111111111111111111111111111111111111923586108958870585708326839583382NJIJAZ1JIJBY/JJB2JJSA86913786421381879234884413383450431314878811791473817375585770721241616855906988390659820521NIY71440420/TISBN43187354163907163R405ETR表811例81方差分析表差異源SDFMSF顯著性Z1Z2Z3Z1Z3Z2Z3回歸殘差441331487817375541616390671063903765111115244133148781737554161639061421280188323437679012922756221009207435744796總和714404N17注05005011,28,98,293,5,2930FFFF例82從某種植物中提取黃酮類物質(zhì)，為了對(duì)提取工藝進(jìn)行優(yōu)化，選取三個(gè)相對(duì)重要的因素乙醇濃度（）、液固比（）和回流次數(shù)（）進(jìn)行了回歸正交試驗(yàn)，不考慮交1X2X3X互作用。已知6080，812，13次。試通過回歸正交試驗(yàn)確定黃酮提取率與三個(gè)因素之間的函數(shù)關(guān)系式。解1）因素水平編碼及試驗(yàn)方案的確定表812例82因素水平編碼表編碼值JZ乙醇濃度1X液固比2X回流次數(shù)上水平（1）80123下水平（1）6081零水平（0）70102變化區(qū)間J1021由于不考慮交互作用，所以本例要求建立一個(gè)三元線性方程。因素水平編碼如表812所示。選正交表安排試驗(yàn)，將三個(gè)因素分別安排在回歸正交表的第1、2、4782L列，試驗(yàn)方案及結(jié)果見表813，表中的第9、10、11號(hào)試驗(yàn)為零水平試驗(yàn)。表813例82試驗(yàn)方案及試驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)號(hào)1Z2Z3Z提取率Y12345678910111（80）1111（60）1110（70）001（12）11（8）111110（10）001（3）1（1）1111110（2）0080736964696560516665662）計(jì)算并建立回歸方程由題意可知，本試驗(yàn)含有零水平試驗(yàn)，。根據(jù)回歸系數(shù)的計(jì)算公式，03,8CMN將有關(guān)計(jì)算列在表814中。表814例82正交回歸設(shè)計(jì)計(jì)算表試驗(yàn)號(hào)0Z12Z3ZY123456789101111111111111111111110001111111100011111111000807369646965605166656621NJIJAZ1NJIJBYJJBA2/JJSB1172866182841051252101843053752311825031250781487121NIY5296201NTIBSN23519RS0103ETRS由表可知，回歸系數(shù)66182、05125、05375、03125，則回歸方0B1B23B程為由該回歸方程偏回歸系數(shù)絕對(duì)值的大小，可以得到各因素的主次順序?yàn)椋匆汗瘫纫掖紳舛然亓鞔螖?shù)。又由于各偏回歸系數(shù)都為正，所以這些213X影響因素取上水平時(shí)，試驗(yàn)指標(biāo)最好。3）回歸方程顯著性檢驗(yàn)方差分析結(jié)果見表815。682503751YZZZ表815例82方差分析表差異源SDFMSF顯著性Z1Z2Z3回歸殘差2101231107815193010311137210123110781173100147142915725311178總和5296N110注010,725,845FF由方差分析表可知，各因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)均有極顯著影響，回歸方程無須簡(jiǎn)化。Y4）失擬性檢驗(yàn)本例中，零水平試驗(yàn)次數(shù)，可以進(jìn)行失擬性檢驗(yàn)，有關(guān)計(jì)算如下。03M所以檢驗(yàn)結(jié)果表明，失擬結(jié)果不顯著，回歸模型與實(shí)際情況擬合得很好。5）回歸方程的回代將，代入上述回歸方程得整理后得到83二次回歸正交組合設(shè)計(jì)831二次回歸組合設(shè)計(jì)假設(shè)有個(gè)試驗(yàn)因素（自變量），試驗(yàn)指標(biāo)為因變量，則二次回M1,2JXMY歸方程的一般形式為02221101456243565607MELIIIISYY017093LFELSSLDF25LFELF01E0963/7,922FLLFLFSDFF170XZ210XZ3321XZ12370618205552XXYZX1236871XX（824）其中，為回歸系數(shù)，可以看出該方程共有,JKJJAB項(xiàng)，要使回歸系數(shù)的估算成為可能，必要條件為試驗(yàn)次數(shù)；同時(shí)，為了計(jì)算出二次回歸方程的系數(shù)，每個(gè)因素至少要取3個(gè)水平，所以用一元回歸正交設(shè)計(jì)的方法來安排試驗(yàn)，往往不能滿足這一條件。例如，當(dāng)因素?cái)?shù)時(shí)，二次回歸方程的項(xiàng)數(shù)為10，要求試驗(yàn)次數(shù)10，如果用正交表3MN安排試驗(yàn)，則試驗(yàn)次數(shù)不符合要求，如果進(jìn)行全面試驗(yàn)，則試驗(yàn)次數(shù)為次，49L327試驗(yàn)次數(shù)又偏多為解決這一矛盾，可以在一次回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上再增加一些特定的試驗(yàn)點(diǎn)，通過適當(dāng)?shù)慕M合形成試驗(yàn)方案，即所謂的組合設(shè)計(jì)。正交組合設(shè)計(jì)由三類試驗(yàn)點(diǎn)組成，即二水平試驗(yàn)、星號(hào)試驗(yàn)和零水平試驗(yàn)。例如，設(shè)有兩個(gè)因素和,試驗(yàn)指標(biāo)為，則它們之間的二次回歸方程為1X2Y（825）該方程共有6個(gè)回歸系數(shù)，所以要求試驗(yàn)次數(shù)6，而二水平全面試驗(yàn)的次數(shù)為N次，顯然不能滿足要求，于是在此基礎(chǔ)上再增加5次試驗(yàn)，試驗(yàn)方案如表816和2,4圖81所示。表816二元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案試驗(yàn)號(hào)1Z2ZY說明1234111111111234Y二水平試驗(yàn)567800005678Y星號(hào)試驗(yàn)9009零水平試驗(yàn)211,1MMJKJJYXBXKJK1221N21211YABXBX圖81二元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)試驗(yàn)點(diǎn)分布圖二水平試驗(yàn)是一次正交回歸試驗(yàn)設(shè)計(jì)中的試驗(yàn)點(diǎn)，設(shè)二水平試驗(yàn)的次數(shù)為，若為全CM面試驗(yàn)（全實(shí)施），則，若根據(jù)正交表只進(jìn)行部分二水平試驗(yàn)（1/2或1/4實(shí)施），2MC這時(shí)或，對(duì)于二元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)，。12MC24C由圖81可以看出，58號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，一般用星號(hào)表示，所以被稱作星號(hào)試驗(yàn)，他們與原點(diǎn)（中心點(diǎn)）的距離都為，稱作星號(hào)臂或軸臂。星號(hào)試驗(yàn)次數(shù)為與試驗(yàn)因素?cái)?shù)有關(guān)，即，對(duì)于二元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)，。2零水平試驗(yàn)點(diǎn)位于圖81的中心點(diǎn)（原點(diǎn)），即各因素水平編碼都為零時(shí)的試驗(yàn)，該試驗(yàn)可只做一次，也可重復(fù)多次，零水平試驗(yàn)次數(shù)記為。0M所以，二次回歸正交組合設(shè)計(jì)的總試驗(yàn)次數(shù)為（826）如果將兩因素的交互項(xiàng)和二次項(xiàng)列入組合設(shè)計(jì)表中，則可得到表815。其中交互列和二次項(xiàng)列中的編碼可直接由和寫出。例如，交互列的編碼是對(duì)應(yīng)和的乘積，1Z212Z1Z2而的編碼則是列編碼的平方。21Z1表817二元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)試驗(yàn)號(hào)Z2Z12Z21Z2Z123411111111111111111111567800000000200002900000832二次回歸組合設(shè)計(jì)正交性的實(shí)現(xiàn)由表815可以看出，增加了星號(hào)試驗(yàn)和零水平試驗(yàn)之后，二次項(xiàng)失去了正交性，即該列編碼的和不為零，與其他任一列編碼的乘積和也不為零。為了使表817具有正交性，必須對(duì)二次項(xiàng)進(jìn)行中性化處理，并確定合適的星號(hào)臂長(zhǎng)度。1）星號(hào)臂長(zhǎng)度確定根據(jù)正交性的要求，可以推導(dǎo)出星號(hào)臂長(zhǎng)度必須滿足如下關(guān)系式（證明略）（827）可見，星號(hào)臂長(zhǎng)度與因素?cái)?shù)，零水平試驗(yàn)次數(shù)及二水平試驗(yàn)數(shù)有關(guān)。為了設(shè)計(jì)M0MC0CN2CC方便，將上述公式計(jì)算出來的一些常用的值列于表818。表818二次回歸正交組合設(shè)計(jì)值表因素?cái)?shù)M0234（1/2實(shí)施）45（1/2實(shí)施）512345678910100010781147121012671320136914141457149812151287135314141471152515751623166817111353141414711525157516231688171117521792141414831547160716641719177118201868191415471607166417191771182018681914195820001596166217241784184118961949200010492097根據(jù)表818可知，對(duì)于二元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)，當(dāng)零水平試驗(yàn)次數(shù)時(shí)，01M。12）二次項(xiàng)的中心化設(shè)二次回歸方程中的二次項(xiàng)為，其對(duì)應(yīng)的編碼用21,1,2JIJZMIN表示，可以用下式對(duì)二次項(xiàng)的每個(gè)編碼進(jìn)行中心化處理JIZ（828）式中，是中心化后的編碼。這樣組合設(shè)計(jì)表中的列就可以變成列。表819JIZ2JZJZ是二次項(xiàng)中心化之后的二元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)編碼表。表819二元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)編碼表試驗(yàn)號(hào)1Z2Z12Z21Z2Z1Z2Z1234567811111100111100111111000011111100111100111/31/31/31/31/31/32/32/31/31/31/31/32/32/31/31/3221NJIJIJIIZZ9000002/32/3表819中后兩列是根據(jù)公式（828）計(jì)算得到的，以列的中心化為例，該21Z列的和，所以有，等。833二次回歸正交組合設(shè)計(jì)的基本步驟1）因素水平編碼確定因素的變化范圍和零水平試驗(yàn)的次數(shù)，再根據(jù)星號(hào)臂長(zhǎng)1,2JXM0M的計(jì)算公式（824）或表818確定值，對(duì)因素水平進(jìn)行編碼，得到規(guī)范變量。如果以和分別表示因素的上下水平，則它們的算術(shù)平均值就,2JZ2JX1JJX是因素的零水平，以表示。設(shè)與為因素XJ的上下星號(hào)臂水平，則與J0JJX為因素的上下限，于是有JXJ（829）所以，該因素的變化間距為830）然后對(duì)因素的各個(gè)水平進(jìn)行線性變換，得到水平的編碼為JX（831）這樣，編碼公式就將因素的實(shí)際取值與編碼值一一對(duì)應(yīng)起來（見表820），編碼后，JXJZ試驗(yàn)因素的水平被編為，1，0，1，。表820因素水平的編碼表自然變量JX規(guī)范變量JZ12MX上星號(hào)臂上水平1零水平0下水平1下星號(hào)臂變化間距JA201A1X102XA212A20MAM1XMA9216IIZ2211693NIZ17103NIZ0JJJZ120JJJJJX2JJJ2）二次回歸正交組合設(shè)計(jì)的確定首先根據(jù)因素?cái)?shù)選擇合適的正交表進(jìn)行變換，明確二水平試驗(yàn)方案，二水平試驗(yàn)次M數(shù)和星號(hào)試驗(yàn)次數(shù)也能隨之確定，這一過程可以參考表821。C表821正交表的選用因素?cái)?shù)選用正交表表頭設(shè)計(jì)CM234（1/2實(shí)施）45（1/2實(shí)施）5342L781562L31，2列1，2，4列1，2，4，7列1，2，4，8列1，2，4，8，15列1，2，4，8，16列2242382418241625116253246881010然后對(duì)二次項(xiàng)進(jìn)行中心化處理，就可以得到具有正交性的二次回歸正交組合設(shè)計(jì)編碼表。附錄8列出了時(shí)的常用二次回歸正交組合設(shè)計(jì)表，可以直接參考選用。0M3）試驗(yàn)處理的隨機(jī)化回歸正交試驗(yàn)各處理的隨機(jī)化可采用抽簽、隨機(jī)數(shù)字表或隨機(jī)函數(shù)。之后根據(jù)試驗(yàn)方案進(jìn)行試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)。834二次回歸正交組合設(shè)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)分析如果研究個(gè)因素，采用二次回歸正交組合設(shè)計(jì)共有個(gè)處理，其試驗(yàn)結(jié)果以MN表示，當(dāng)對(duì)平方項(xiàng)進(jìn)行了中心變換，消除平方項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)的相關(guān)性以后，數(shù)12N,Y學(xué)模型為要建立二次回歸方程，首先必須計(jì)算出不同類型的回歸系數(shù)。0,JIJB由于二次回歸正交組合設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)矩陣具有正交性，因而它的信息矩陣為A011MMJIKJIJJIYBXBX11210000MMMNAAAXA對(duì)稱其中常數(shù)項(xiàng)矩陣為01121,MMMBXYBB式中相關(guān)矩陣為C于是二次回歸方程的回歸系數(shù)，則1BAB為簡(jiǎn)便起見，上述計(jì)算可列表進(jìn)行，如表822所示。將值計(jì)算結(jié)果代入二次回歸正交數(shù)學(xué)模型中，即可得到回歸方程。B方程及回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)與一次回歸相同，詳見一次正交回歸方差分析表。如果在中心點(diǎn)設(shè)有次重復(fù)，且試驗(yàn)結(jié)果分別為，則可先用計(jì)算的誤差平方和（0M0120M,Y）對(duì)失擬平方和（）進(jìn)行檢驗(yàn)，方法也與一次回歸相同。LESLFS1112111000000MMMNAACAA對(duì)稱01121122,NNIIJJJIJNNIJIKJIJIJJIJIJIJIYXYBBNAXYXYBBBJAA01111,NNNNIJIJJIJIJIKJIYXYXYXYJ22211,NNNJIJIJIKJJIJAXAXJAX表822二次回歸正交設(shè)計(jì)計(jì)算表試驗(yàn)號(hào)0Z1ZMZ12Z1MZ1ZMZY12N11121N1Z12NMZ2112NZ211NMZ211NZ12NMZ12NY21NJIJAZ1NJIJBYJJBA2/JJSB20NI1NI02NI1NIZY1BA1S21NI1NIMZYMBASNII12NIIZY1212S2NIII1NIMIZY1BA1MS2NI1NIZ1A1S21NI1NIMZYMBAS21NI201NTIBSYRJETRS例83為提高鉆頭的壽命，在數(shù)控機(jī)床上進(jìn)行試驗(yàn)，考察鉆頭的壽命與鉆頭軸向振動(dòng)頻率Y及振幅的關(guān)系。在試驗(yàn)中，與的變動(dòng)范圍分別為125HZ，375HZ與15，55，1X21X2試用二次回歸正交組合設(shè)計(jì)分析出、與試驗(yàn)指標(biāo)（）之間的關(guān)系，要求在中心點(diǎn)重復(fù)進(jìn)Y行三次試驗(yàn)。解1）對(duì)因子的取值進(jìn)行編碼由于因素?cái)?shù)，中心點(diǎn)重復(fù)試驗(yàn)，則可以根據(jù)星號(hào)臂長(zhǎng)度的計(jì)算公式或表2M03M818得。47依題意，鉆頭軸向振動(dòng)頻率（）的上限為375，下限為125，所以零水平為1X1XX250，變化間距（375125）/（21147）109，同理可計(jì)算出因素的編碼，如1X1AX表823所示。表823因素水平的編碼表自然變量JX規(guī)范變量JZ12X上星號(hào)臂上水平1零水平0下水平1下星號(hào)臂3753592501411255552435176152）正交組合設(shè)計(jì)根據(jù)題意選用正交表進(jìn)行變換，二水平試驗(yàn)次數(shù)，星號(hào)試驗(yàn)的次數(shù)為34L4CM。4M表824例83試驗(yàn)方案及試驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)號(hào)（振動(dòng)頻率）1Z（振幅）2Z（壽命）Y12345678910111111114711470000011110011471147000161129166135187170174146203185230根據(jù)二元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)的要求，參照式（825）將二次項(xiàng)和分別進(jìn)行中心化，1Z2得到和，二次項(xiàng)中心化結(jié)果見表825。1Z2表825例83二元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)表及試驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)號(hào)1ZZ12Z1Z2ZY123456789101111111147114700000111100114711470001111000000003970397039703970713071306030603060306030603039703970397039706030603071307130603060306031611291661351871701741462031852303）回歸方程的建立表826例83二元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)計(jì)算表試驗(yàn)號(hào)0Z1Z2Z1Z12ZY12345678910111111111111111111147114700000111100114711470001111000000003970397039703970713071306030603060306030603039703970397039706030603071307130603060306031611291661351871701741462031852302NJIJAZ1JIJBY/JJB2JJSA1118861714556631851282108986631951143421364410250253465764462212169540534651251383611545193763321381NIY877472720/TISBN89136425194051376892R78ETR所以規(guī)范變量與試驗(yàn)指標(biāo)的回歸關(guān)系為Y方差分析結(jié)果見表827。表827例83方差分析表差異源SDFMSF顯著性1Z21Z2回歸殘差1089813640251695405451937