第1章信號與系統SIGNALSANDSYSTEMSSIGNALSANDSYSTEMSV信號的描述V信號的自變量變換V基本信號V系統及其數學模型V系統的性質本章的基本內容10引言INTRODUCTION討論信號與系統的基本概念，建立其相應的數學描述方法，以便利用這種數學描述及其表示方法，建立一套信號與系統的分析體系。目的11連續時間與離散時間信號（CONTINUOUSTIMEANDDISCRETETIMESIGNALS）一信號信號可以描述范圍極其廣泛的物理現象。信號可以分為確知信號與隨機信號，也可以分為連續時間信號與離散時間信號。確知信號可以表示成一個或幾個自變量的函數。作為信號分析的基礎，本課程只研究確知信號。連續時間信號的例子離散時間信號的例子信號的描述離散時間信號人口年份190019301930196019602000人口統計數據連續時間信號連續時間信號在離散時刻點上的樣本可以構成一個離散時間信號。二信號的能量與功率連續時間信號在區間的平均功率定義為連續時間信號在區間的能量定義為離散時間信號在區間的能量定義為離散時間信號在區間的平均功率為在無限區間上也可以定義信號的總能量連續時間情況下離散時間情況下在無限區間內的平均功率可定義為1能量信號信號具有有限的總能量，即三類重要信號2功率信號信號有無限的總能量，但平均功率有限。即3信號的總能量和平均功率都是無限的。即如果信號是周期信號，則三周期信號與非周期信號或連續時間周期信號離散時間周期信號（以T為周期）或（以N為周期）或如果信號是非周期的，且能量有限則稱為能量信號。這種信號也稱為功率信號，通常用它的平均功率來表征。12自變量變換（TRANSFORMATIONSOFTHEINDEPENDENTVARIABLE一由于信號可視為自變量的函數，當自變量改變時，必然會使信號的特性相應地改變。當時，信號向右平移時，信號向左平移當時，信號向右平移時，信號向左平移1時移變換SHIFTOFSIGNALS2反轉變換REFLECTIONOFSIGNALS信號以為軸呈鏡像對稱。與連續時間的情況相同。3尺度變換SCALING時,是將在時間上壓縮A倍，時,是將在時間上擴展1/A倍。實例照片放大。由于離散時間信號的自變量只能取整數值，因而尺度變換只對連續時間信號而言。01234562112322220123例如顯然是從中依次抽出自變量取偶數時的各點而構成的。這一過程稱為對信號的抽取（DECIMATION）。綜合示例由011011/23/2011/21/6做法一做法二做法三011011/3011/61/2101011/67/6011/61/2可視為周期信號，但它的基波周期沒有確定的定義。二周期信號與非周期信號周期信號滿足此關系的正實數（正整數）中最小的一個，稱為信號的基波周期（）。可以視為周期信號，其基波周期。如果有則稱該信號是偶信號。（鏡像偶對稱）三奇信號與偶信號ODDSIGNALSANDEVENSIGNALS對實信號而言非周期信號周期信號如果有則稱該信號為奇信號（鏡像奇對稱）如果有則稱該信號為共軛偶信號。如果有則稱為共軛奇信號。對復信號而言任何信號都能分解成一個偶信號與一個奇信號之和。對實信號有其中其中對復信號有其中其中012121222101111例1例2信號的奇偶分解13復指數信號與正弦信號（EXPONENTIALANDSINUSOIDALSIGNALS）一連續時間復指數信號與正弦信號其中C,A為復數1實指數信號C，A為實數呈單調指數上升。呈單調指數下降。是常數。2周期性復指數信號與正弦信號，不失一般性取實部與虛部都是正弦信號。顯然是周期的，其基波周期為0一般情況下其基波周期為,基波頻率為，當時通常稱為直流信號。對而言，它在一個周期內的能量是它的平均功率為3成諧波關系的復指數信號集當K取任何整數時，該信號集中的每個信號都是彼此獨立的。只有該信號集中的所有信號才能構成一個完備的正交函數集。該信號集中的每個信號都是周期的，它們的頻率分別為，都是的整數倍，因而稱它們是成諧波關系的。信號集中信號的基波頻率為，基波周期為，各次諧波的周期分別為，它們的公共周期是。4一般復指數信號其中C,A為復數令則該信號可看成是振幅按實指數信號規律變化的周期性復指數信號。它的實部與虛部都是振幅呈實指數規律變化的正弦振蕩。當時，是指數增長的正弦振蕩。時，是指數衰減的正弦振蕩。時，是等幅的正弦振蕩。當時，呈單調指數增長時，呈單調指數衰減時，呈擺動指數衰減時，呈擺動指數增長二離散時間復指數信號與正弦信號一般為復數1實指數信號均為實數2正弦信號其中為實數。離散時間正弦信號不一定是周期的，這是與連續時間正弦信號的重大區別。離散時間信號的頻率表示為，其量綱是弧度。3一般復指數信號令則其實部與虛部都是幅度按實指數規律變化的正弦序列。當時幅度呈指數增長，時幅度呈指數衰減。離散時間復指數序列不一定是周期性的，要具有周期性，必須具備一定條件。即于是有三離散時間復指數序列的周期性設則有表明只有在與的比值是一個有理數時，才具有周期性。對，當時，對應的信號振蕩頻率越來越高不會發生逆轉。而對，當時，只要是變化的范圍，如，則由于，總是會有。這表明當變化時，并非所有的都是互相獨立的。離散時間信號的有效頻率范圍只有區間。其中，處都對應最低頻率；或處都對應最高頻率。在滿足周期性要求的情況下，總能找到互為質數的兩個正整數M,N使得（M與N無公因子）此時即為該信號的周期,也稱為基波周期,因此該信號的基波頻率為。離散時間周期性復指數信號也可以構成一個成諧波關系的信號集。該信號集中的每一個信號都是以N為周期的,N是它們的基波周期。稱為直流分量，稱為基波分量。稱為二次諧波分量等等。每個諧波分量的頻率都是的整數倍。特別值得指出的是該信號集中的所有信號并不是全部獨立的。這表明該信號集中只有N個信號是獨立的。即當K取相連的N個整數時所對應的各個諧波才是彼此獨立的。因此，由N個獨立的諧波分量就能構成一個完備的正交函數集。顯然有這是與連續時間的情況有重大區別的。信號和的比較V不同，信號不同V對任何信號都是周期的V基波頻率V基波周期T0頻差的整數倍時，信號相同僅當時，信號是周期的基波頻率基波周期N一離散時間單位脈沖與單位階躍1單位脈沖序列14單位沖激與單位階躍（THEUNITIMPULSEANDUNITSTEPFUNCTIONS）定義102單位階躍序列，定義，與之間的關系一次差分10具有提取信號中某一點的樣值的作用。11單位階躍，102單位沖激定義定義的不嚴密性，由于在不連續，因而在該處不可導。二連續時間單位階躍與單位沖激定義定義如圖所示10可認為0即可視為一個面積始終為1的矩形，當其寬度趨于零時的極限。顯然當時表示為1001矩形面積稱為沖激強度。顯然有0也具有提取連續時間信號樣本的作用。用階躍表示矩形脈沖GT0TG1T0T0T輸入信號與輸出響應都是連續時間信號的系統。連續時間系統15連續時間與離散時間系統一系統（CONTINUOUSTIMEANDDISCRETETIMESYSTEMS）連續時間系統系統是非常廣泛的概念。通常將若干相互依賴，相互作用的事物所組成的具有一定功能的整體稱為系統。它可以是物理系統，也可以是非物理系統。系統分析的基本思想1根據工程實際應用，對系統建立數學模型。通常表現為描述輸入輸出關系的方程。2建立求解這些數學模型的方法。離散時間系統離散時間系統輸入信號與輸出響應都是離散時間信號的系統。本課程所研究的對象LTI（LINEARTIMEINVARIANTSYSTEMS）系統就是這樣的一類系統。（2）很多工程實際中的系統都能夠利用這類系統的方法建模（即具有普遍性）。為此要求所研究的系統具有以下兩點重要特性（1）這一類系統應該具有一些性質和結構，通過它們能夠對系統的行為作出透徹的描述，并能對這一類系統建立有效的分析方法（即可行性）。可以通過對簡單系統（子系統）的分析并通過子系統互聯而達到分析復雜系統的目的。也可以通過將若干個簡單子系統互聯起來而實現一個相對復雜的系統。這一思想對系統分析和系統綜合都是十分重要的。二系統的互聯（INTERCONNECTIONOFSYSTEMS）現實中的系統是各式各樣的，其復雜程度也大相徑庭。但許多系統都可以分解為若干個簡單系統的組合。2并聯PARALLELINTERCONNECTION1級聯CASCADEINTERCONNECTION3反饋聯結FEEDBACKINTERCONNECTION工程實際中也經常將級聯、并聯混合使用，如在任何時刻，系統的輸出都只與當前時刻的輸入有關，而與該時刻以外的輸入無關，則稱該系統是無記憶系統。否則就是記憶系統，即（MEMORYSYSTEMS或SYSTEMSWITHMEMORY。如果一個系統的輸出響應不僅與當時的輸入有關,而且與該時刻以外的其它時刻的輸入有關，則系統是記憶的。16系統的基本性質BASICSYSTEMPROPERTIES1記憶系統與無記憶系統MEMORYSYSTEMSANDMEMORYLESSSYSTEMS例如（電容）RC、RLC電路（累加器）（差分器）等都是記憶系統在無記憶系統中有一種特例，即任何時刻系統的輸出響應與輸入信號都相同，即有,或這樣的無記憶系統稱為恒等系統IDENTITYSYSTEM。2可逆性與逆系統INVERITIBILITYANDINVERSESYSTEMS如果一個系統對任何不同的輸入都能產生不同的輸出，即輸入與輸出是一一對應的，則稱該系統是可逆系統INVERTIBLESYSTEMS。如果一個系統對兩個或兩個以上不同的輸入信號能產生相同的輸出，則系統是不可逆的，稱為不可逆系統NONINVERTIBLESYSTEMS。如果一個可逆系統與另一個系統級聯后構成一個恒等系統，則稱后者是前者的逆系統INVERSESYSTEM。例如是可逆系統，其逆系統是是可逆系統，其逆系統是還原為。輸入時,；輸入時,。是不可逆系統，因為有兩個不同的也是不可逆的，因為是不可逆系統，因為無法從不可逆；也是不可逆系統。調制或編碼過程必須是可逆的，其逆系統是解調器或解碼器。而輸入和能產生相同的輸出。如果一個系統在任何時刻的輸出都只與當時這個時刻的輸入以及該時刻以前的輸入有關，而和該時刻以后的輸入無關就稱該系統是因果的CAUSALSYSTEM。否則就是非因果的NONCAUSALSYSTEM。3因果性CAUSALITY一般說來，非因果系統是物理不可實現的。這體現了因果性對系統實現的重要性。但對非實時處理信號的離散時間系統，或信號的自變量并不具有時間概念的情況，因果性并不一定成為系統能否物理實現的先決條件。例如在圖像處理中,自變量是圖像中各點的坐標位置，而并非代表時間。對某些數據處理系統，如股市分析、經濟預測等,實際上是以足夠的延時來換取非因果性的實現。時決定于以后時刻的輸入。是非因果系統。RLC電路,都是因果系統。4穩定性STABILITY如果一個系統當輸入有界時，產生的輸出也是有界的，則該系統是穩定系統STABLESYSTEM。否則，就是不穩定系統UNSTABLESYSTEM。例如單擺、RC電路都是穩定系統；也是穩定系統。都是不穩定系統。如果一個系統當輸入信號有一個時移時，輸出響應也產生同樣的時移。除此之外，輸出響應無任何其它變化，則稱該系統是時不變的TIMEINVARIANTSYSTEM。否則就是時變的TIMEVARYING。工程實際中總希望所設計的系統是穩定的。因此穩定性對系統來說是非常重要的。5時不變性TIMEINVARIANCE即若則系統是時不變的。檢驗一個系統時不變性的步驟1令輸入為，根據系統的描述，確定此時的輸出。2將輸入信號變為，再根據系統的描述確定輸出。3令根據自變量變換，檢驗是否等于。如當時，時，由于系統是時變的。當令則有又如該系統是時變的。當時，當時，令則有而6線性（LINEARITY）其中A,B是常數滿足此關系的系統是線性的。若例如,滿足可加性，但不滿足齊次性。當時其實部變為虛部，虛部變為實部。滿足齊次性但不滿足可加性。因為，若輸入為則如果一個系統是線性的，當我們能夠把輸入信號分解成若干個簡單信號的線性組合時，只要能得到該系統對每一個簡單信號所產生的響應，就可以很方便的根據線性特性，通過線性組合而得到系統對的輸出響應。即若，且則這一思想是信號與系統分析理論和方法建立的基礎。在工程實際中，有一類系統并不滿足線性系統的要求。但是這類系統的輸出響應的增量與輸入信號的增量之間滿足線性特性。這類系統稱為增量線性系統（INCREMENTALLYLINEARSYSTEMS。該系統既不滿足齊次性，也不滿足可加性，但當考查輸入的增量與輸出的增量之間的關系時，有例如可見輸入的增量與輸出的增量之間是滿足線性關系的，它是一個增量線性系統。顯然有任何增量線性系統都可以等效為一個線性系統再加上一部分與輸入無關的響應。線性系統增量線性系統當增量線性系統的時，。此時系統的輸出響應完全由決定。此時系統處于零初始狀態，故將稱為系統的零狀態響應。可見，增量線性系統的響應包括零輸入響應和零狀態響應兩部分。根據線性系統的齊次性，可得出線性系統當輸入為零（即根本沒有輸入）時，系統的輸出響應為零（即沒有輸出響應）