第三節(jié)可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造,第四章可測(cè)函數(shù),1,可測(cè)函數(shù),簡(jiǎn)單函數(shù)是可測(cè)函數(shù)。可測(cè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)可表示成一列簡(jiǎn)單函數(shù)列的極限。,問(wèn)：可測(cè)函數(shù)是否可表示成一列連續(xù)函數(shù)的極限？,可測(cè)集E上的連續(xù)函數(shù)為可測(cè)函數(shù)。,2,魯津定理,實(shí)變函數(shù)的三條原理（J.E.Littlewood）（1）任一可測(cè)集差不多就是開集（至多可數(shù)個(gè)開區(qū)間的并）。,設(shè)f(x)為E上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，則使得m(E-F)且f(x)在F上連續(xù)。,（去掉一小測(cè)度集，在留下的集合上成為連續(xù)函數(shù)）即：可測(cè)函數(shù)“基本上”是連續(xù)函數(shù).,（2）任一點(diǎn)點(diǎn)收斂的可測(cè)函數(shù)列差不多就是一致收斂列。,（3）任一可測(cè)函數(shù)差不多就是連續(xù)函數(shù)。,3,引理：,4,5,證明：由于mE|f|=+=0，故不妨令f(x)為有限函數(shù)(1)當(dāng)f(x)為簡(jiǎn)單函數(shù)時(shí)，,當(dāng)xEi時(shí)，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上連續(xù)，而Fi為兩兩不交閉集，故f(x)在上連續(xù)，顯然F為閉集，且有,設(shè)f(x)為E上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，則使得m(E-F)且f(x)在F上連續(xù)。,魯津定理（Lusin）,6,(2)當(dāng)f(x)為有界可測(cè)函數(shù)時(shí)，存在簡(jiǎn)單函數(shù)列n(x)在E上一致收斂于f(x)，,由n(x)在F連續(xù)及一致收斂于f(x)，易知f(x)在閉集F上連續(xù)。,利用(1)的結(jié)果知,7,則g(x)為有界可測(cè)函數(shù)，應(yīng)用(2)即得：,(3)當(dāng)f(x)為一般可測(cè)函數(shù)時(shí)，作變換,g(x)為E上幾乎處處有限可測(cè)函數(shù),則使得m(E-F)且g(x)在F上連續(xù)。,故，f(x)在F上為連續(xù)函數(shù)。,8,注1：魯津定理另外一種形式：,若f(x)為上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，,使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)，且supg(x)|xR=supf(x)|xF；infg(x)|xR=inff(x)|xF；（對(duì)n維空間也成立）【分】由魯津定理：,則及R上的連續(xù)函數(shù)g(x),則且f(x)在F上連續(xù)。下面只需將f(x)延拓為R上的連續(xù)函數(shù)g(x)即可。,若f(x)為上幾乎處處有限可測(cè)，,9,由于FC為R上的開集，根據(jù)R上開集構(gòu)造，F(xiàn)C可唯一地表示成有限個(gè)或可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間的并：。,bi,ai,則g(x)滿足要求，且在R上連續(xù).（參見課本p91）,10,注2：魯津定理的逆定理成立。,設(shè)f(x)為E上幾乎處處有限的實(shí)函數(shù)，若使得m(E-F)且f(x)在F上連續(xù)，則f(x)在E上為可測(cè)函數(shù)。,11,例1對(duì)ER1上的a.e.有限的可測(cè)函數(shù)f(x)，一定存在R上的連續(xù)函數(shù)列使于E。,從而,令，即得我們所要的結(jié)果。,證明：由魯津定