高中數學專題訓練（教師版）函數的奇偶性和周期性一、選擇題1下列函數中，不具有奇偶性的函數是()AyexexBylgCycos2x Dysinxcosx答案D2(2011山東臨沂)設f(x)是R上的任意函數，則下列敘述正確的是()Af(x)f(x)是奇函數 Bf(x)|f(x)|是奇函數Cf(x)f(x)是偶函數 Df(x)f(x)是偶函數答案D3已知f(x)為奇函數，當x0，f(x)x(1x)，那么x0，f(x)等于()Ax(1x) Bx(1x)Cx(1x) Dx(1x)答案B解析當x0，f(x)(x)(1x)又f(x)f(x)，f(x)x(1x)4若f(x)ax2bxc(a0)是偶函數，則g(x)ax3bx2cx是()A奇函數 B偶函數C非奇非偶函數 D既奇又偶函數答案A解析由f(x)是偶函數知b0，g(x)ax3cx是奇函數5(2010山東卷)設f(x)為定義在R上的奇函數當x0時，f(x)2x2xb(b為常數)，則f(1)()A3 B1C1 D3答案D解析令x0，則x0，所以f(x)2x2xb，又因為f(x)在R上是奇函數，所以f(x)f(x)且f(0)0，即b1，f(x)2x2x1，所以f(1)2213，故選D.6(2011北京海淀區)定義在R上的函數f(x)為奇函數，且f(x5)f(x)，若f(2)1，f(3)a，則()Aa3Ca1答案C解析f(x5)f(x)，f(3)f(25)f(2)，又f(x)為奇函數，f(2)f(2)，又f(2)1，a0()Ax|x4 Bx|x4Cx|x6 Dx|x2答案B解析當x0，f(x)(x)38x38，又f(x)是偶函數，f(x)f(x)x38，f(x).f(x2)，或，解得x4或x0.故選B.二、填空題8設函數f(x)(x1)(xa)為偶函數，則a_.答案1解析f(x)x2(a1)xa.f(x)為偶函數，a10，a1.9設f(x)ax5bx3cx7(其中a，b，c為常數，xR)，若f(2011)17，則f(2011)_.答案31解析f(2011)a20115b20113c20117f(2011)a(2011)5b(2011)3c(2011)7f(2011)f(2011)14，f(2011)141731.10函數f(x)x3sinx1的圖象關于_點對稱答案(0,1)解析f(x)的圖象是由yx3sin x的圖象向上平移一個單位得到的11已知f(x)是定義在R上的偶函數，且對任意的xR，總有f(x2)f(x)成立，則f(19)_.答案0解析依題意得f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是以4為周期的函數，因此有f(19)f(451)f(1)f(1)，且f(12)f(1)，即f(1)f(1)，f(1)0，因此f(19)0.12定義在(，)上的函數yf(x)在(，2)上是增函數，且函數yf(x2)為偶函數，則f(1)，f(4)，f(5)的大小關系是_答案f(5)f(1)f(4)解析yf(x2)為偶函數yf(x)關于x2對稱又yf(x)在(，2)上為增函數yf(x)在(2，)上為減函數，而f(1)f(5)f(5)f(1)f(4)13(2011山東濰坊)定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x1)f(x)，且在1,0上是增函數，給出下列關于f(x)的判斷：f(x)是周期函數；f(x)關于直線x1對稱；f(x)在0,1上是增函數；f(x)在1,2上是減函數；f(2)f(0)，其中正確的序號是_答案解析由f(x1)f(x)得f(x2)f(x1)f(x)，f(x)是周期為2的函數，正確，f(x)關于直線x1對稱，正確，f(x)為偶函數，在1,0上是增函數，f(x)在0,1上是減函數，1,2上為增函數，f(2)f(0)因此、錯誤，正確綜上，正確三、解答題14已知f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，且f(x)g(x)x2x2，求f(x)、g(x)的解析式答案f(x)x22，g(x)x解析f(x)g(x)x2x2.f(x)g(x)(x)2(x)2.又f(x)為偶函數，g(x)為奇函數，f(x)g(x)x2x2.由解得f(x)x22，g(x)x.15已知f(x)是定義在R上的奇函數，且函數f(x)在0,1)上單調遞減，并滿足f(2x)f(x)，若方程f(x)1在0,1)上有實數根，求該方程在區間1,3上的所有實根之和答案2解析由f(2x)f(x)可知函數f(x)的圖象關于直線x1對稱，又因為函數f(x)是奇函數，則f(x)在(1,1)上單調遞減，根據函數f(x)的單調性，方程f(x)1在(1,1)上有唯一的實根，根據函數f(x)的對稱性，方程f(x)1在(1,3)上有唯一的實根，這兩個實根關于直線x1對稱，故兩根之和等于2.16已知定義域為R的函數f(x)是奇函數()求a，b的值；()若對任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范圍答案(1)a2，b1(2)k解析()因為f(x)是奇函數，所以f(0)0，即0b1f(x)又由f(1)f(1)知a2.()解法一由()知f(x)，易知f(x)在(，)上為減函數又因f(x)是奇函數，從而不等式：f(t22t)f(2t2k)0等價于f(t22t)k2t2.即對一切tR有：3t22tk0，從而判別式412k0k解法二由()知f(x).又由題設條件得：0，即：(22t2k12)(12t22t)(2t22t12)(122t2k)1，因底數21，故：3t22tk0上式對一切tR均成立，從而判別式412k0k1(2010上海春季高考)已知函數f(x)ax22x是奇函數，則實數a_.答案02(2010江蘇卷)設函數f(x)x(exaex)(xR)是偶函數，則實數a的值為_答案1解析令g(x)x，h(x)exaex，因為函數g(x)x是奇函數，則由題意知，函數h(x)exaex為奇函數，又函數f(x)的定義域為R，h(0)0，解得a1.3(2011高考調研原創題)已知f(x)是定義在R上的奇函數，且x|f(x)0x|1x3，則f()f(2)與0的大小關系是()Af()f(2)0 Bf()f(2)0Cf()f(2)0 D不確定答案C解析由已知得f()0，f(2)f(2)0，因此f()f(2)0.4如果奇函數f(x)在區間3,7上是增函數，且最小值為5，那么f(x)在區間7，3上是()A增函數且最小值為5 B增函數且最大值為5C減函數且最小值為5 D減函數且最大值為5答案B解析先考查函數f(x)在7，3上的最值，由已知，當3x7時，f(x)5，則當7x3時，f(x)f(x)5即f(x)在7，3上最大值為5.再考查函數f(x)在7，3上的單調性，設7x1x23.則3x2x17，由已知f(x2)f(x2)f(x1)，即f(x)在7，3上是單調遞增的5(08全國卷)設奇函數f(x)在(0，)上為增函數，且f(1)0，則不等式0的解集為_答案(1,0)(0,1)解析由f(x)為奇函數，則不等式化為xf(x)0法一：(圖象法)由，可得1x0或0x1時，xf(x)0.法二：(特值法)取f(x)x，則x210且x0，解得1x1，且x0.6定義在R上的函數f(x)滿足f(x1)f(x)，且f(x)，則f(3)_.解析f(x1)f(x)，則f(x)f(x1)f(x2)f(x2)，則f(x)的周期為2，f(3)f(1)1.7(2011深圳)設f(x)，又記f1(x)f(x)，fk1(x)f(fk(x)，k1,2，則f2011(x)()A BxC. D.答案C解析由題得f2(x)f()，f3(x)f()，f4(x)f()x，f5(x)f1(x)，其周期為4，所以f2011(x)f3(x).1設函數f(x)在(，)上滿足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在閉區間0,7上，只有f(1)f(3)0.(1)證明函數f(x)為周期函數；(2)試求方程f(x)0在閉區間2005,2005上的根的個