南京市、鹽城市2019屆高三年級第二次模擬考試數學一、選擇題：本大題共14個小題,每小題5分,共70分.不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上.1.已知集合，則=_.【答案】【解析】【分析】直接利用并集的定義求解.【詳解】由題得=故答案為：【點睛】本題主要考查并集的運算，意在考查學生對該知識的理解能力掌握水平.2.若復數滿足（為虛數單位），且實部和虛部相等，則實數的值為_.【答案】【解析】【分析】由題得z=(a+2i)i=-2+ai,因為復數的實部與虛部相等，即可求出a的值.【詳解】由題得z=(a+2i)i=-2+ai,因為復數的實部與虛部相等，所以a=-2.故答案為：-2【點睛】本題主要考查復數的計算，考查復數實部與虛部的概念，意在考查學生對這些知識的理解能力掌握水平.3.某藥廠選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數據（單位：kPa）的分組區間為12，13），13，14），14，15），15，16），16，17），將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，第五組，如圖是根據實驗數據制成的頻率分布直方圖，已知第一組與第二組共有20人，則第三組中的人數為 _【答案】【解析】【分析】由頻率以及直方圖可得分布在區間第一組與第二組共有20人的頻率，即可求出總的人數，求出第三組的人數.【詳解】由直方圖可得分布在區間第一組與第二組共有20人，分布在區間第一組與第二組的頻率分別為0.24，0.16，設總的人數為n,則所以第3小組的人數為人.故答案為：18【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖中頻數、頻率等的計算，意在考查學生對這些知識的理解能力掌握水平.4.下圖是某算法的偽代碼，輸出的結果的值為_.【答案】【解析】【分析】直接按照算法的偽代碼運行即得結果.【詳解】16，i=3,S=4,36，i=5,S=9,56，i=7,S=16,76，輸出S=16.故答案為：16【點睛】本題主要考查算法，意在考查學生對該知識的理解能力和掌握水平.5.現有件相同的產品，其中件合格，件不合格，從中隨機抽檢件，則一件合格，另一件不合格的概率為_.【答案】【解析】【分析】分別求出基本事件的總數和要求事件包含的基本事件的個數，根據古典概型的概率計算公式即可得出【詳解】從5件產品中任意抽取2有種抽法，其中一件合格、另一件不合格的抽法有種根據古典概型的概率計算公式可得一件合格，另一件不合格的概率故答案為:【點睛】熟練掌握古典概型的概率計算公式和排列與組合的計算公式是解題的關鍵6.等差數列中，前項的和，則的值為_.【答案】【解析】【分析】首先根據已知求出，再利用等差數列的通項求出的值.【詳解】由題得.故答案為：-4【點睛】本題主要考查等差數列的通項、前n項和的計算，意在考查學生對這些知識的理解能力掌握水平和計算能力.7.在平面直角坐標系中，已知點是拋物線與雙曲線的一個交點.若拋物線的焦點為，且，則雙曲線的漸近線方程為_.【答案】【解析】【分析】設點A(x,y),根據的坐標，再把點A的坐標代入雙曲線的方程求出，再求雙曲線的漸近線方程.【詳解】設點A(x,y),因為x-(-1)=5,所以x=4.所以點A(4,4)，由題得所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：【點睛】本題主要考查拋物線和雙曲線的簡單幾何性質，意在考查學生對這些知識的理解能力掌握水平.8.若函數的圖象經過點，且相鄰兩條對稱軸間的距離為，則的值為_.【答案】【解析】【分析】先根據相鄰兩條對稱軸間的距離為求出的值，再根據圖象經過點求出，再求的值.【詳解】因為相鄰兩條對稱軸間的距離為，所以所以.因為函數的圖象經過點所以.所以 ，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查正弦型函數的圖像和性質，考查正弦型函數的解析式的求法，意在考查學生對這些知識的理解能力掌握水平和分析推理能力.9.已知正四凌錐的所有棱長都相等，高為，則該正四棱錐的表面積為_.【答案】【解析】【分析】設正四棱錐的棱長為2a,根據求得a=1,再求正四棱錐的表面積.【詳解】設正四棱錐的棱長為2a,由題得.所以四棱錐的棱長為2.所以正四棱錐的表面積=.故答案為：【點睛】本題主要考查幾何體的邊長的計算和表面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解能力掌握水平和空間觀察想象能力.10.已知函數是定義在上的奇函數，且當時，則不等式的解集為_.【答案】【解析】【分析】利用函數的奇偶性求出函數的表達式，然后解不等式件即可【詳解】設，則，所以因為是定義在上的奇函數，所以，所以，所以當時，當時，.當時，當0時，.所以0.當x0時， 所以-2x0.綜上不等式的解集為.故答案為：【點睛】本題主要考查函數的奇偶性和函數的圖像和性質，考查函數不等式的解法，意在考查學生對這些知識的理解能力掌握水平和分析推理能力.11.在平面直角坐標系中，已知點，.若圓上存在唯一點，使得直線，在軸上的截距之積為，則實數的值為_.【答案】【解析】【分析】根據題意，設的坐標為，據此求出直線、的方程，即可得求出兩直線軸上的截距，分析可得，變形可得，即可得的軌跡方程為，據此分析可得圓與有且只有一個公共點，即兩圓內切或外切，又由圓心距為，則兩圓只能外切，結合圓與圓的位置關系可得，解可得的值，即可得答案【詳解】根據題意，設的坐標為，直線的方程為，其在軸上的截距為，直線的方程為，其在軸上的截距為，若點滿足使得直線，在軸上的截距之積為5，則有，變形可得，則點在圓上，若圓上存在唯一點，則圓與有且只有一個公共點，即兩圓內切或外切，又由圓心距為，則兩圓只能外切，則有，解可得：，故答案為：【點睛】本題考查軌跡的求法，涉及圓與圓的位置關系，關鍵是求出的軌跡，屬于綜合題12.已知是直角三角形的斜邊上的高，點在的延長線上，且滿足.若，則的值為_.【答案】【解析】【分析】設DPC=,DPB=，先化簡得到|PD|=2,再利用數量積的公式展開，利用三角函數和三角和角的余弦公式化簡即得解.【詳解】設DPC=,DPB=，由題得,所以|PB|所以 =.故答案為：2【點睛】本題主要考查向量的數量積的運算，考查和角的余弦，意在考查學生對這些知識的理解能力掌握水平和分析推理能力.13.已知函數設，且函數的圖象經過四個象限，則實數的取值范圍為_.【答案】【解析】【分析】先討論當x0時，f(x)-g(x)=|x+3-kx-1,須使f(x)-g(x)過第三象限，得到k.再討論當x0時，f(x)-g(x)=, f(x)-g(x)過第四象限，得到k-9.綜合即得解.【詳解】當x0時，f(x)-g(x)=|x+3-kx-1,須使f(x)-g(x)過第三象限，所以f(-3)-g(-3)0, 解之得k.當x0時，f(x)-g(x)=,因為，所以須使f(x)-g(x)過第四象限，必須綜合得-9k.故答案為：【點睛】本題主要考查函數的圖像和性質，考查導數研究函數的單調性和極值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和數形結合分析推理能力.14.在中，若，則的最大值為_.【答案】【解析】【分析】先由題得，再化簡得=，再利用三角函數的圖像和性質求出最大值.【詳解】在ABC中，有,所以=,當即時取等.故答案為：【點睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數的圖像和性質，意在考查學生對這些知識的理解能力掌握水平.解題的關鍵是三角恒等變換.二、解答題：本大題共6小題，共90分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題卡的指定區域內.15.設向量 ， ，其中，且與互相垂直.（1）求實數的值；（2）若 ，且，求的值.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）由與互相垂直可得 ，展開化簡即得.（2）由 ，得.，最后求 .【詳解】解：（1）由與互相垂直，可得 ，所以.又因為，所以.因為，所以，所以.又因為，所以.（2）由（1）知 .由 ，得，即.因為，所以，所以.所以，因此 .【點睛】本題主要考查平面向量的數量積運算，考查三角恒等變換和求值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.16.如圖，在三棱柱中，分別是和的中點.求證：（1）平面；（2）平面.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）連接，證明，即得平面.（2），平面.【詳解】證明：（1）連接，在三棱柱中，且，所以四邊形是平行四邊形.又因為是的中點，所以也是的中點.在中，和分別是和的中點，所以.又因為平面，平面，所以平面.（2）由（1）知，因為，所以.又因為，平面，所以平面.又因為平面，所以.在中，是的中點，所以.因為，平面，所以平面.【點睛】本題主要考查空間幾何元素位置關系的證明，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和空間想象分析推理轉化能力.17.某公園內有一塊以為圓心半徑為米的圓形區域.為豐富市民的業余文化生活，現提出如下設計方案：如圖，在圓形區域內搭建露天舞臺，舞臺為扇形區域，其中兩個端點，分別在圓周上；觀眾席為梯形內切在圓外的區域，其中，且，在點的同側.為保證視聽效果，要求觀眾席內每一個觀眾到舞臺處的距離都不超過米.設，.問：對于任意，上述設計方案是否均能符合要求？【答案】能符合要求【解析】【分析】過作垂直于，垂足為,所以點處觀眾離點處最遠. 由余弦定理可得.再求得. 因為，所以觀眾席內每一個觀眾到舞臺處的距離都不超過米.【詳解】解：過作垂直于，垂足為.在直角三角形中，所以，因此.由圖可知，點處觀眾離點處最遠.在三角形中，由余弦定理可知 .因為，所以當時，即時，即.因為，所以觀眾席內每一個觀眾到舞臺處的距離都不超過米.答：對于任意，上述設計方案均能符合要求.【點睛】本題主要考查三角函數的應用，考查余弦定理和三角函數最值的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和利用數學知識解決實際問題的能力.18.在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，且橢圓短軸的一個頂點到一個焦點的距離等于.（1）求橢圓的方程；（2）設經過點的直線交橢圓于，兩點，點.若對任意直線總存在點，使得，求實數的取值范圍；設點為橢圓的左焦點，若點為的外心，求實數的值.【答案】（1）；（2）；.【解析】【分析】（1）依題意解之即得橢圓的方程.(2) 設直線的方程為，代入橢圓的方程，根據，解得.，所以，即. 解得.由，即可解得m范圍 由，.所以，解得,即可求出m值.【詳解】解：（1）依題意解得所以，所以橢圓的方程為.（2）設直線的方程為，代入橢圓的方程，消去，得.因為直線交橢圓于兩點，所以，解得.設，則有，.設中點為，則有，.當時，因為，所以，即.解得.當時，可得，符合.因此.由，解得.因為點為的外心，且，所以.由消去，得，所以 ，也是此方程的兩個根.所以，.又因為，所以，解得.所以.【點睛】本題主要考查橢圓標準方程的求法，考查直線和橢圓的位置關系，考查直線和直線的位置關系，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.19.已知，.（1）當時，求函數圖象在處的切線方程；（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍；（3）若存在極大值和極小值，且極大值小于極小值，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)利用導數的幾何意義求得函數圖象在處的切線方程為.（2）先求導得，再對a分類討論得到的取值范圍.(3對a分類討論，結合極大值小于極小值求出的取值范圍.【詳解】解：（1）當時，則.又因為，所以函數圖象在處的切線方程為，即.（2）因為所以 ，且.因為，所以.當時，即，因為在區間上恒成立，所以在上單調遞增.當時，所以滿足條件.當時，即時，由，得，當時，則在上單調遞減，所以時，這與時，恒成立矛盾.所以不滿足條件.綜上，的取值范圍為.（3）當時，因為在區間上恒成立，所以在上單調遞增，所以不存在極值，所以不滿足條件.當時，所以函數的定義域為，由，得，列表如下：極大值極小值由于在是單調減函數，此時極大值大于極小值，不合題意，所以不滿足條件.當時，由，得.列表如下：極小值此時僅存在極小值，不合題意，所以不滿足條件.當時，函數的定義域為，且，.列表如下：極大值極小值所以存在極大值和極小值，此時 因為，所以，所以，即，所以滿足條件.綜上，所以的取值范圍為.【點睛】本題主要考查導數的幾何意義和切線方程,考查利用導數研究極值和不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知數列各項為正數，且對任意，都有.（1）若，成等差數列，求的值；（2）求證：數列為等比數列；若對任意，都有，求數列的公比的取值范圍.【答案】（1）或；（2）詳見解析；.【解析】【分析】（1）根據，成等差數列得到，成等比數列，即可求出或.（2）利用定義證明數列為等比數列；當時， ，所以滿足條件. 當時，由，得，由于，因此，與任意恒成立相矛盾，所以不滿足條件. 綜上可得q的取值范圍.【詳解】解：（1）因為，所以，因此，成等比數列.設公比為，因為，成等差數列，所以，即，于是，解得或，所以或.（2）因為，所以，兩式相除得，即，由，得，兩式相除得，即，所以，即，由（1）知，所以，因此數列為等比數列.當時，由時，可得，所以，因此 ，所以滿足條件.當時，由，得，整理得.因為，所以，因此，即，由于，因此，與任意恒成立相矛盾，所以不滿足條件.綜上，公比的取值范圍為.【點睛】本題主要考查等差數列的性質和等比數列的證明，考查數列的求和數列不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.南京市、鹽城市2019屆高三年級第二次模擬考試數學附加題【選做題】在A、B、C三小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分，請在答題卡指定區域內作答.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.選修4-2：矩陣與交換21.已知矩陣，.（1）求，的值；（2）求的逆矩陣.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由題得即得（2）由題得，即得的逆矩陣.【詳解】解：（1）因為，所以即（2）因為，所以.【點睛】本題主要考查矩陣的性質和逆矩陣的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共20分，請在答題卡指定區域內作答.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.22.如圖是一旅游景區供游客行走的路線圖，假設從進口開始到出口，每遇到一個岔路口，每位游客選擇其中一條道路行進是等可能的.現有甲、乙、丙、丁共名游客結伴到旅游景區游玩，他們從進口的岔路口就開始選擇道路自行游玩，并按箭頭所指路線行走，最后到出口集中，設點是其中的一個交叉路口點.（1）求甲經過點的概率；（2）設這名游客中恰有名游客都是經過點，求隨機變量的概率分布和數學期望.【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】【分析】(1) 選擇從中間一條路走到的概率為.選擇從最右邊的道路走到點的概率為.因為選擇中間道路和最右邊道路行走的兩個事件彼此互斥，所以.(2) 隨機變量可能的取值，再求出它們對應的概率，即得隨機變量的概率分