1,第六章,近獨立粒子的最概然分布,2,統計物理:關于熱現象的微觀理論。,研究對象:大量微觀粒子組成的宏觀物質系統。(微觀粒子：如分子、原子、自由電子、光子等),統計物理認為:宏觀性質是大量微觀粒子運動的集體表現。宏觀物理量是相應微觀物理量的統計平均值。,經典統計:粒子滿足經典力學規律(運動狀態的經典描述),量子統計:粒子滿足量子力學規律(運動狀態的量子描述),在一定條件下，經典統計是一個極好的近似。,本章內容:經典描述;量子描述;三種分布函數及相應的微觀狀態數。,3,6.1粒子運動狀態的經典描述,遵守經典力學運動規律的粒子，稱為經典粒子。1.具有“顆粒性”：有一定的質量、電荷等性質。2.軌道運動：滿足牛頓定律.給定初時刻的、，可確定其運動軌跡(確定性描述)。經典粒子可以被“跟蹤”。3.可以分辨：經典全同粒子可以分辨。具有完全相同屬性（質量、電荷、自旋等）的同類粒子稱為全同粒子。4.能量是連續的：按照經典力學的觀點，在允許的能量范圍內，粒子的能量可取任何值。,4,一空間（相空間）：粒子位置和動量構成的空間,經典力學:確定一個粒子的運動狀態用和。自由度r=1（曲線上運動):x和px描述其狀態；r=3（3D空間中運動):x,y,z和px,py,pz描述狀態。若粒子有內部運動,則r更大。如雙原子分子,p,p一般地，設粒子的自由度為r，其力學運動狀態由粒子的r個廣義坐標q1、q2、qr和相應的r個廣義動量p1、p2、pr共2r個量的值確定。粒子能量：=(q1、q2、qr，p1、p2、pr)。,總之，微觀粒子運動狀態的經典描述是采用粒子的坐標和動量共同描述的方法。,5,用單粒子的廣義坐標和廣義動量q1,q2,qr,p1,p2,pr為直角坐標構成2r維空間,稱為粒子相空間(即空間).例如：單原子分子r=3，空間是6維。剛性雙原子分子r=5，空間是10維的。粒子在某時刻的力學運動狀態(q1、pr)可用空間中的一個點表示，稱為粒子運動狀態的代表點。（1）代表點:粒子的一個微觀運動狀態，（2）相軌道:粒子狀態的變化,代表點在空間中的移動。（3）N粒子系統,需N個代表點描述系統的一個微觀狀態.（4）體積元：各軸上截取dq1,dq2,dqr,dp1,dp2,dpr,則圍成空間中的體積元：d=dq1dq2dqrdp1dp2dpr,6,二經典描述方法例子1自由粒子不受外力作用的粒子（如理想氣體分子、金屬自由電子等），其能量,1D自由粒子:限制在長L范圍內(線狀材料等)；互相正交的x、px軸構成2D的空間。相軌道“”等能面是一條直線.3D自由粒子：r=3,設粒子處于體積V中。狀態由x、y、z、px、py、pz確定，空間是6維的。,粒子能量=(px2+py2+pz2)/2m動量子空間的半徑,7,等能面（在動量子空間中）是半徑為的球面。,相空間的體積（動量小于p時）,8,9,10,11,12,自由度為1,某時刻粒子狀態為（x,px）。空間為二維。若給定振子的能量,運動軌跡由如下方程確定：,2線性諧振子,質量為m的粒子在力f=-kx作用下的一維簡諧振動（如雙原子分子;晶體中格點上的原子、離子等）。,兩個半軸長度,12,13,即相空間中的等能面為橢圓。其面積為,能量不同橢圓也不相同。,14,描述質點的位置,考慮r不變：,與共軛的動量,質量為m的質點繞O點轉動(設半徑不變),3轉子,轉動能量,其中轉動慣量,15,兩體或多體繞質心的轉動也可看成一個轉子,廣義動量p和p是轉子角動量的兩個分量。p是沿Z軸的分量，P是沿變軸的分量，這個變軸垂直于Z軸和OA所在的平面。,由于位矢r垂直于角動量L，質點的運動是在垂直于L的平面內運動。,A,15,16,兩體或多體繞質心的轉動也可看成一個轉子,角動量沿Z軸，質點在X,Y平面上，平面轉子：,多體能量為,17,一粒子微觀運動狀態的量子描述波粒二象性德布羅意于1924年提出，一切微觀粒子都具有波粒二象性(中子衍射)。、p與、k存在德布羅意關系h普朗克常數，它的量綱是時間能量=長度動量=角動量,不確定關系(測不準原理)微觀粒子的坐標和動量不可能同時具有確定的值。用q表示粒子坐標的不確定值,p表示動量不確定值,6.2粒子運動狀態的量子描述,18,電子軌道電子出現概率最大的地方。,狀態的分立性量子力學中，微觀粒子的運動狀態稱為量子態。它由一組量子數來表征，其數目等于粒子的自由度數。狀態所對應的力學量(如能量等)不連續狀態量子化。,5全同性原理全同粒子不可分辨，任意交換一對粒子不改變系統狀態.,波函數描寫態,微觀粒子的和不能同時具有確定值不是軌道運動。用波函數描述狀態：表示t時刻處粒子出現的概率密度。,19,20,21,22,23,24,二量子描述例子,（一）.線性諧振子,能量的本征值為,（二）.轉子,軌道角動量的本征值,經典轉子的能量,對于給定的l，角動量在Z軸的投影Lz只能取分立值,自旋角動量的情況與軌道角動量類似。,本征函數為厄米多項式。,本征函數為球諧函數，勒讓德多項式。,25,26,外場中的電子自旋,電子自旋產生磁矩,而,所以,（自旋方向取向量子化）,即外場中的電子自旋狀態只需要一個量子數,即可描寫其狀態，它取兩個分立值,沿磁場方向,為自旋角動量,27,2自由粒子,（1）一維自由粒子：自由運動的粒子被限制在邊長為L的一維容器中。波函數要滿足一定的邊界條件，采用周期性條件，即,由,所以,即動量只能取分立的值。,負號表示反向傳播,量子數,正號表示正向傳播,28,能量,能量也是分立的。,表明：用一個量子數就可以確定粒子的動量、能量。粒子狀態是分立的能級。各能級的簡并性：nx=1是不同狀態簡并。能級間隔大小與L、m成反比，,顯然,若L時，0，即能量此時是連續的。故粒子在宏觀尺度上量子效應不顯著，可用經典方法描述。,29,（2）三維自由粒子：,設自由粒子在邊長為L的方盒子中運動。粒子的運動滿足薛定諤方程。由周期性邊界條件得,量子態即由三個量子數來確定。狀態是量子化的。對于一定的能量，可包含多個量子態能級簡并。,簡并性討論：,30,經典粒子的動量和能量是連續的,而在量子描述中,動量和能量是分立的,這是局域在有限空間范圍粒子的特性。,六狀態能量同為,3線性諧振子,用一個量子數n描述狀態；各能級都是非簡并的，即每個能級只有一個量子態；能級間隔相同：；存在零點能，即n=0時能量非零。,31,三、粒子的狀態與空間體積元的對應關系,空間中的體積元為:d=dq1dq2dqrdp1dp2dpr,如：1D：相體積,若對坐標不加限制，則成為,3D：相體積,若對坐標不加限制，則成為,32,由,有,故在V中，粒子的動量在間隔，,范圍內的量子態數為,在宏觀大小的容器內，粒子的動量、能量已變得準連續。但原則上仍有量子數的概念。這時如何考慮自由粒子的量子態數？,33,利用不確定關系解釋,相格：表示粒子的一個狀態在空間中占有的體積。則上式可理解為：相體積Vdpxdpydpz內具有的量子態數為相體積Vdpxdpydpz比上相格。,在空間體積元d內粒子可能的狀態數為,34,由，量子化軌道把空間分成許多體積元，,例1一維自由粒子空間是二維的，一定時，相軌道是一條線段。,驗證了上面結論。,其體積為,例2線性諧振子空間的等能面是橢圓，面積為,能級為，,相鄰兩個狀態之間所夾的面積為,35,推廣之：粒子的一個狀態在空間中占有的體積為相格,四.三維自由粒子的態密度,1D：相體積dxdpx,若對坐標不限制，相體積Ldpx,其中狀態數,3D：空間為6維,相格大小為h3,下面分幾種情況討論.,1直角坐標,組成的體積元內,粒子的狀態數為,36,3若動量空間中采用球坐標，,在體積V內，動量大小在p到p+dp,動量方向在到+d，到+d內，自由粒子可能的狀態數為：,2若對坐標不加限制,內的狀態數為,則在V中,動量范圍,描述質點的動量,則動量空間的體積元：,37,4若對動量的方向不加限制，則在體積V內，動量絕對值在p到p+dp的范圍內，自由粒子可能的狀態數為：,5以能量形式表示,38,D()表示附近單位能量間隔內的狀態數,稱為態密度。以上的計算沒有考慮粒子的自旋，如果粒子的自旋不等于零，還要考慮自旋的貢獻。,表示：在V內，在到+d的范圍內自由粒子可能的狀態數。,定義：,P188習題6.1,有限大小體積內的態密度:BalianandBloch:Ann.Phys.60,401-447(1970),39,40,6.3系統微觀運動狀態的描述,全同粒子系統就是由具有完全相同屬性（相同的質量、自旋、電荷等）的同類粒子所組成的系統。如自由電子氣體。近獨立粒子系統：粒子之間的相互作用很弱，相互作用的平均能量遠小于單個粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之間的相互作用。將整個系統的能量表達為單個粒子的能量之和。(如理想氣體：近獨立的粒子組成的系統),一基本概念,41,任一粒子的狀態發生變化,則整個系統的微觀狀態發生變化,經典描述單粒子的狀態要r個廣義坐標和r個廣義動量，N個粒子系統的微觀運動狀態需要(i=1,2,N)共2N個變量來確定。在空間中要用N個點表示系統某時刻的一個微觀運動狀態。,qi1、qi2、qir；pi1、pi2、pir,二系統微觀運動狀態的經典描述,全同粒子是可以分辨的。在全同粒子系統中,將兩個粒子的運動狀態加以交換,則系統的力學運動狀態是不同的。,42,B)粒子狀態是分立的。粒子所處的狀態叫量子態(單粒子態)。量子態用一組量子數表征（如自由粒子nx,ny,nz）.不同量子態的量子數取值不同。量子描述單粒子的狀態是確定單粒子的量子態，對于N個粒子的系統，就是確定各個量子態上的粒子數。,三系統微觀運動狀態的量子描述,A)全同粒子是不可分辨的。交換任何一對粒子不改變整個系統的微觀狀態。但定域系粒子可辨（定域系粒子位置被限定）,43,1玻耳茲曼系統由可分辨的全同近獨立粒子組成，且處在一個個體量子態上的粒子數不受限制的系統。,確定了每個粒子所處的量子態就確定了系統的一個微觀狀態,例：設系統由A、B兩個粒子組成（定域子）。粒子的個體量子態有3個,討論系統有那些可能的微觀狀態？,因此，對于定域系統可有9種不同的微觀狀態，即32。一般地為.,A,B,1,2,3,是量子態數，a是粒子數。,44,2不可分辨的全同粒子系統對于不可分辨的全同粒子，必須考慮全同性原理。,確定了每個量子態上的粒子數就確定了系統的微觀狀態,（1）玻色系統：即自旋量子數為整數的粒子組成的系統.,如光子自旋為1、介子自旋為0。由玻色子構成的復合粒子是玻色子，由偶數個費米子構成的復合粒子也是玻色子,粒子不可分辨，每個量子態上的粒子數不限（即不受泡利原理限制）,45,（2）費米系統：即自旋量子數為半整數的粒子組成的系統,如電子、質子、中子等都是自旋為1/2的費米子。由奇數個費米子構成的復合粒子也是費米子。,粒子不可分辨，每個個體量子態上最多能容納一個粒子（費米子遵從泡利原理）。,上例變為(A=B),兩個玻色子占據3個量子態有6種方式,46,仍為A=B,兩個費米子占據3個量子態有3種占據方式,對于不同統計性質的系統，即使它們有相同的粒子數、相同的量子態，系統包含的微觀狀態數也是不同的。上例僅為兩個粒子組成的系統、三個量子態。對于大量微觀粒子組成的實際系統，其微觀狀態數目是大量的。,分屬玻耳茲曼系統、玻色系統和費米系統的兩個粒子占據三個量子態給出的微觀狀態數,47,（以氣體自由膨脹為例）：一個被隔板分為A、B相等兩部分的容器，裝有4個涂以不同顏色分子。,開始時，4個分子都在A部，抽出隔板后分子將向B部擴散并在整個容器內無規則運動。隔板被抽出后，4分子在容器中可能的分布情形如下圖所示：,6.4等概率原理,宏觀態與微觀態,48,微觀態共有24=16種可能的方式，而且4個分子全部退回到A部的可能性即幾率為1/24=1/16。,49,50,宏觀態與微觀態的關系：宏觀態：系統的熱力學狀態。用少數幾個宏觀參量即可確定系統的宏觀態。微觀態：系統的力學狀態。確定方法：可分辨的全同粒子系統(玻耳茲曼系統)；不可分辨的全同粒子系統(玻色、費米系),確定各微觀狀態出現的概率就能用統計的方法求出微觀量的統計平均值，從而求出相應宏觀物理量，因此確定各微觀狀態出現的概率是統計物理學的基本問題。,宏觀性質是大量微觀粒子運動的集體表現；宏觀物理量是相應微觀物理量的統計平均值。,51,對于孤立系統,會出現大量的微觀狀態。這些微觀狀態都滿足具有確定的N、E、V的宏觀條件。從能量上講這些微觀狀態應是平權的。等概率原理是統計物理學中的一個基本假設，是平衡態統計物理學理論的基礎。不能直接從實驗上驗證。它的正確性在于從它推出的各種結論上的正確性。例靜止容器中平衡態氣體平動動能為零；重力場中平衡態氣體壓強按高度分布。,二.等概率原理：擲色子對于處在平衡狀態的孤立系統，系統各個可能的微觀狀態出現的概率是相等的！,52,6.5分布和微觀狀態,大量全同近獨立粒子組成的系統，有確定的N,E,V(孤立系)。,一、分布,若確定了各能級上的粒子數，則確定了系統的一個分布。,簡并度,粒子數,N粒子系統的能級,即：能級1上有a1個粒子，能級2上有a2個粒子，。這就給出一個分布，即數列al,滿足約束條件,53,分布只表示每一個能級上有多少個粒子。一種分布包含大量的微觀狀態。每一種不同的占據方式都是不同的微觀運動狀態。對一個確定的分布，它相應的微觀狀態數是確定的。,二、分布al包含的微觀狀態數（量子描述）,1玻耳茲曼系統(定域系統)：,粒子可以分辨(可編號)，每個量子態上的粒子數不限。(1)al個粒子占據l上的l個量子態的占據方式數:(2)各個能級都考慮在內，系統總的占據方式數:(3)由于粒子可分辨，能級之間粒子的交換是新的占據方式），能級之間粒子的交換有種不同的交換方式。（未改變分布）,54,例：系統有6個可分辨粒子，共兩個能級，1=3，2=4給定分布：a1=4,a2=2,(4)系統分布al包含的總微觀狀態數為,能級之間粒子交換的方式數目為,55,2玻色系統分布al包含的微觀狀態數,粒子不可分辨，交換任意一對粒子不改變系統的微觀態。每個量子態上的粒子數不受限制。,例如：,規定：粒子占據左邊的量子態。,這樣就確定了每個量子態上的粒子數，即確定了一種占據方式（一個微觀態）。,改變排列，可得到新的占據方式。,56,粒子和量子態之間的交換會產生新的占據方式：,量子態和量子態之間的交換不產生新的占據方式：,顯然，粒子和粒子之間的交換不會產生新的占據方式。,其中粒子與粒子的交換、量子態與量子態的交換不產生新的微觀態。只有量子態與粒子交換導致不同微觀態。,量子態、粒子各種交換(排列)總數,57,量子態交換數,粒子交換數,各種交換共有種可能的方式。,（2）將各種能級的結果相乘，就得到玻色系統與分布al相應的微觀狀態數為：,例：三個量子態，2個玻色子,58,粒子不可分辨，每一個量子態最多能容納一個粒子。al個粒子占據能級l上的l個量子態，占據方式數為：從l個量子態中選取al個量子態讓al個粒子占據，即,3費米系統分布al包含的微觀狀態數：,將各能級的結果相乘，得到費米系統與分布al相應的微觀狀態數為：,59,三、經典極限條件下三種分布微觀狀態數的關系,若滿足,稱為經典極限條件(或非簡并性條件),此時有,即在經典極限條件下,反映粒子全同性原理,60,四經典系統中的分布和微觀狀態數,經典粒子狀態由q1qr，p1pr的值確定。N粒子系統對應空間中的N個點。,坐標和動量取值連續，微觀狀態不可數。處理如下,第一步：空間各軸上取間隔dq1dqr,dp1dpr圍成體積元d=dq1dq2dqrdp1dp2dprh0r若體積元很小,其內各點的狀態都看作相同相格.,即：處于同一相格內的各代表點狀態都相同。不同相格內代表點的狀態不同。每個相格就是一個狀態。在一定的相體積內包含多少相格，則此體積中就有多少個力學運動狀態（微觀態）。經典力學中h0可以任意小；量子力學中h0最小為h。,61,第二步：,再把空間按能量大小劃分成許多能量層，每層體積分別為1、2、l、，每層內包含許多相格。同一能層內各狀態(代表點)的能量相同.（能層很薄）,不同能層中各點的能量則不同。,某能量層的體積為l，則此層內包含的相格數為,這些相格的狀態不同，但具有相同的能量，故相當于量子描述中的簡并度。于是有分布,“簡并度”,粒子數,能級,給定了一種分布al,62,得到,63,6.6玻耳茲曼分布,一、玻爾茲曼分布的推導（M.B.系統）,1寫出分布及對應的微觀狀態數,微觀狀態數是分布al的函數，可能存在這樣一個分布，它使系統的微觀狀態數最多。根據等概率原理，對于處在平衡狀態的孤立系統，系統各個可能的微觀狀態出現的概率是相等的，那么微觀狀態數最多的分布，出現的概率最大，稱為最可幾分布（最概然分布）。玻耳茲曼系統粒子的最概然分布玻耳茲曼分布。,64,2取對數，用斯特令公式化簡,斯特林近似公式,要求,要求,65,3拉格朗日未定乘子法（拉氏乘子法）求極值,對上式做一次微分，對于極值，一次微分為零,高等數學（下冊）第六版，同濟大學編P113,66,由于系統確定，則還要滿足約束條件：,對上兩式子做一次微分得到：,上兩式子乘以未定乘子得到：,67,即,稱為麥克斯韋玻耳茲曼分布（玻耳茲曼系統粒子的最概然分布）。,任意，所以,這里的物理意義見P227頁（8.1.9）式，對應守恒量,68,拉氏乘子、由約束條件決定：,kB是玻爾茲曼常量,是化學勢,68,69,二、粒子按量子態的分布,某量子態s上的平均粒子數,1按量子態的分布函數,約束條件為,粒子處于第l能級上的概率為,粒子處于某量子態s上的概率為,70,三、對玻耳茲曼分布的幾點說明,要證明極大，二階導數須小于零。,故上