課時作業51直線與圓錐曲線 基礎達標1過橢圓1內一點p(3,1)，求被這點平分的弦所在直線方程解析：設直線與橢圓交于a(x1，y1)，b(x2，y2)兩點，由于a、b兩點均在橢圓上，故1，1，兩式相減得0.又p是a、b的中點，x1x26，y1y22，kab.直線ab的方程為y1(x3)即3x4y130.22020鄭州測試已知橢圓c：1(ab0)的離心率為，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形的面積為8.(1)求橢圓c的方程；(2)如圖，斜率為的直線l與橢圓c交于a，b兩點，點p(2,1)在直線l的左上方若apb90，且直線pa，pb分別與y軸交于點m，n，求線段mn的長度解析：(1)由題意知解得所以橢圓c的方程為1.(2)設直線l：yxm，a(x1，y1)，b(x2，y2)，聯立，得消去y，化簡整理，得x22mx2m240.則由(2m)24(2m24)0，得2m2.由根與系數的關系得，x1x22m，x1x22m24，因為kpa，kpb，所以kpakpb，上式中，分子(x22)(x12)x1x2(m2)(x1x2)4(m1)2m24(m2)(2m)4(m1)0.所以kpakpb0.因為apb90，所以kpakpb1，則kpa1，kpb1.所以pmn是等腰直角三角形，所以|mn|2xp4.3設f1，f2分別是橢圓e：x21(0b1)的左、右焦點，過f1的直線l與e相交于a，b兩點，且|af2|，|ab|，|bf2|成等差數列(1)求|ab|；(2)若直線l的斜率為1，求b的值解析：(1)由橢圓定義知|af2|ab|bf2|4，又2|ab|af2|bf2|，得|ab|.(2)設直線l的方程為yxc，其中c.設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a，b兩點坐標滿足方程組化簡得(1b2)x22cx12b20.則x1x2，x1x2，因為直線ab的斜率為1，所以|ab|x2x1|，即|x2x1|.則(x1x2)24x1x2，因為0bb0)，右焦點為f2(c,0)因為ab1b2是直角三角形，且|ab1|ab2|，所以b1ab290，因此|oa|ob2|，得b.由c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以離心率e.在rtab1b2中，oab1b2，故sab1b2|b1b2|oa|ob2|oa|bb2.由題設條件sab1b24得b24，所以a25b220.因此所求橢圓的標準方程為1.(2)由(1)知b1(2,0)，b2(2,0)由題意知直線l的斜率存在且不為0，故可設直線l的方程為xmy2，代入橢圓方程并整理得(m25)y24my160.設p(x1，y1)，q(x2，y2)，則y1y2，y1y2，又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由pb2qb2，得0，即16m2640，解得m2.所以滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為x2y20和x2y20.52020唐山五校聯考在直角坐標系xoy中，長為1的線段的兩端點c，d分別在x軸、y軸上滑動， .記點p的軌跡為曲線e.(1)求曲線e的方程；(2)經過點(0,1)作直線與曲線e相交于a，b兩點，當點m在曲線e上時，求四邊形aobm的面積解析：(1)設c(m,0)，d(0，n)，p(x，y)由 ，得(xm，y)(x，ny)，所以得由|1，得m2n2(1)2，所以(1)2x2y2(1)2，整理，得曲線e的方程為x21.(2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，由，知點m坐標為(x1x2，y1y2)由題意知，直線ab的斜率存在設直線ab的方程為ykx1，代入曲線e的方程，得(k22)x22kx10，則x1x2，x1x2.y1y2k(x1x2)2.由點m在曲線e上，知(x1x2)21，即1，解得k22.這時|ab|x1x2|，原點到直線ab的距離d，所以平行四邊形oamb的面積s|ab|d.62018天津卷設橢圓1(ab0)的左焦點為f，上頂點為b.已知橢圓的離心率為，點a的坐標為(b,0)，且|fb|ab|6.(1)求橢圓的方程；(2)設直線l：ykx(k0)與橢圓在第一象限的交點為p，且l與直線ab交于點q.若sinaoq(o為原點)，求k的值解析：(1)設橢圓的焦距為2c，由已知有，又由a2b2c2，可得2a3b.由已知可得|fb|a，|ab|b，由|fb|ab|6，可得ab6，從而a3，b2.所以，橢圓的方程為1.(2)設點p的坐標為(x1，y1)，點q的坐標為(x2，y2)由已知有y1y20，故|pq|sinaoqy1y2.又因為|aq|，而oab，所以|aq|y2.由sinaoq，可得5y19y2.由方程組消去x，可得y1.易知直線ab的方程為xy20，由方程組消去x，可得y2.由5y19y2，可得5(k1)3，兩邊平方，整理得56k250k110，解得k或k.所以k的值為或.能力挑戰72020貴州貴陽測試已知橢圓c：1(ab0)的左、右焦點分別為f1，f2，點m為短軸的上端點，0，過f2且垂直于x軸的直線交橢圓c于a，b兩點，|ab|.(1)求橢圓c的方程；(2)設經過點(2，1)且不經過點m的直線l與橢圓c相交于g，h兩點，若k1，k2分別是直線mg，mh的斜率，求k1k2的值解析：(1)由0，得bc，將xc代入1中，得y，因為|ab|，所以，又a2b2c2，所以a，b1，故橢圓c的方程為y21.(2)根據題意設直線l的方程為y1k(x2)(k1)，即ykx2k