數學歸納法,1,請問：以上三個結論正確嗎？為什么?得出以上結論所用的方法有什么共同點和什么不同點,共同點：均用了歸納法得出結論；不同點：問題1、2是用的不完全歸納法，問題3是用的完全歸納法。,一、提出問題,1、錯,2、對,3、對,2,問題情境二：數學家費馬運用不完全歸納法得出費馬猜想的事例,猜想：都是質數,法國的數學家費馬（PierredeFermat）(1601年1665年)。十七世紀最卓越的數學家之一，他在數學許多領域中都有極大的貢獻，因為他的本行是專業的律師，為了表彰他的數學造詣，世人冠以“業余王子”之美稱，,3,二、概念,1、歸納法定義：對于某類事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情況，歸納出一般結論的推理方法，叫歸納法。,2、歸納法分類：歸納法,想一想：,由兩種歸納法得出的結論一定正確嗎？,說明：,（1）不完全歸納法有利于發現問題，但結論不一定正確。,（2）完全歸納法結論可靠，但一一核對困難。,提出問題,如何尋找一種嚴格推理的歸納法？,4,二、挖掘內涵、形成概念：,證明某些與自然數有關的數學題,可用下列方法來證明它們的正確性:(1)驗證當n取第一個值n0(例如n0=1)時命題成立,(2)假設當n=k(kN*，kn0)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立,完成這兩步，就可以斷定這個命題對從n0開始的所有正整數n都成立。這種證明方法叫做數學歸納法。,【歸納奠基】,【歸納遞推】,5,問題情境三,多米諾骨牌課件演示,6,3、數學歸納法,思考題：（1）數學歸納法能證明什么樣類型的命題？（2）數學歸納法有幾個步驟？每個步驟說明什么問題？（3）為什么這些步驟缺一不可？（4）數學歸納法是完全歸納法還是不完全歸納法？,7,（二）、數學歸納法的步驟,根據(1)(2)知對任意的時命題成立。,注：,（1）證明當取第一個值或時結論正確,兩個步驟缺一不可：僅靠第一步不能說明結論的普遍性；僅有第二步沒有第一步，就失去了遞推的依據。,只有把第一、二步的結論結合在一起才能得出普遍性結論。因此完成一二兩步后，還要做一個總的結論。,（3）數學歸納法用來證明與正整數有關的命題。,（1）,（2）,8,數學歸納法的應用,題型一用數學歸納法證明等式問題,題型二用數學歸納法證明不等式問題,題型三用數學歸納法證明整除問題,題型四用數學歸納法證明幾何問題,題型五用數學歸納法解決探究性問題,9,證明：1、當n=1時,左=12=1，右=n=1時，等式成立2、假設n=k時，等式成立，即那么，當n=k+1時左=12+22+k2+(k+1)2=右n=k+1時，原等式成立由1、2知當nN*時，原等式都成立,例1.用數學歸納法證明,第二步的證明要用上歸納假設!,10,題型一用數學歸納法證明等式問題,第二步的證明要用上歸納假設!,11,用數學歸納法證明：,證明：,請你來批作業,第二步的證明沒有用上歸納假設!,12,例3、已知正數數列an中,前n項和為sn,且用數學歸納法證明:,證:(1)當n=1時,=1,結論成立.,(2)假設當n=k時,結論成立,即,則當n=k+1時,故當n=k+1時,結論也成立.,根據(1)、(2)知,對一切正整數n,結論都成立.,第二步的證明要用上歸納假設!,13,(1)在第二步中,證明n=k+1命題成立時,必須用到n=k命題成立這一歸納假設,否則就打破數學歸納法步驟之間的邏輯嚴密關系,造成推理無效.,證明中的幾個注意問題：,(2)在第一步中的初始值不一定從1取起，證明時應根據具體情況而定.,(3)在證明n=k+1命題成立用到n=k命題成立時,要分析命題的結構特點,分析“n=k+1時”命題是什么，并找出與“n=k”時命題形式的差別.弄清應增加的項.,14,1）明確首先取值n0并驗證命題真假（必不可少）；2）“假設n=k時命題正確”并寫出命題形式；3）分析“n=k+1時”命題是什么，并找出與“n=k”時命題形式的差別，弄清左端應增加的項；4）明確等式左端變形目標，掌握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆項、配方等；5）兩個步驟、一個結論缺一不可，否則結論不能成立：遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉,用數學歸納法證明恒等式的步驟及注意事項：,15,MicrosoftOfficePowerPoint，是微軟公司的演示文稿軟件。用戶可以在投影儀或者計算機上進行演示，也可以將演示文稿打印出來，制作成膠片，以便應用到更廣泛的領域中。利用MicrosoftOfficePowerPoint不僅可以創建演示文稿，還可以在互聯網上召開面對面會議、遠程會議或在網上給觀眾展示演示文稿。叫演,16,題型二用數學歸納法證明不等式問題,17,例5、用數學歸納法證明:,證:(1)當n=2時,左邊=不等式成立.,(2)假設當n=k(k2)時不等式成立,即有:,則當n=k+1時,我們有:,題型二用數學歸納法證明不等式問題,18,即當n=k+1時,不等式也成立.,由(1)、(2)原不等式對一切都成立.,例6、證明不等式:,證:(1)當n=1時,左邊=1,右邊=2,不等式顯然成立.,(2)假設當n=k時不等式成立,即有:,則當n=k+1時,我們有:,19,即當n=k+1時,不等式也成立.,根據(1)、(2)可知,原不等式對一切正整數都成立.,20,例7、求證:,證:(1)當n=2時,左邊=,右邊=,由于故不等式成立.,(2)假設n=k()時命題成立,即,則當n=k+1時,21,即當n=k+1時,命題成立.,由(1)、(2)原不等式對一切都成立.,22,例8、已知x1，且x0，nN，n2求證：(1+x)n1+nx.,（2）假設n=k時，不等式成立，即(1+x)k1+kx當n=k+1時，因為x1，所以1+x0，于是左邊=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右邊=1+(k+1)x因為kx20，所以左邊右邊，即(1+x)k+11+(k+1)x這就是說，原不等式當n=k+1時也成立根據(1)和(2)，原不等式對任何不小于2的自然數n都成立.,證明：（1）當n=2時，左(1x)2=1+2x+x2x0，1+2x+x21+2x=右n=1時不等式成立,23,例9、已知求證:.,證:(1)當n=2時,不等式成立.,(2)假設當n=k(k2)時不等式成立,即,則當n=k+1時,有:,即當n=k+1時,不等式成立.,由(1),(2)所證不等式對一切都成立.,24,題型三用數學歸納法證明整除問題,25,例11、用數學歸納法證明:當n為正偶數時,xn-yn能被x+y整除.,證:(1)當n=2時,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命題成立.,(2)假設當n=2k時,命題成立,即x2k-y2k能被x+y整除.,則當n=2k+2時,有,都能被x+y整除.,故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即當n=2k+2時命題成立.,由(1)、(2)知原命題對一切正偶數均成立.,26,例12、用數學歸納法證明:能被8整除.,證:(1)當n=1時,A1=5+2+1=8,命題顯然成立.,(2)假設當n=k時,Ak能被8整除,即是8的倍數.,那么:,因為Ak是8的倍數,3k-1+1是偶數即4(3k-1+1)也是8的倍數,所以Ak+1也是8的倍數,即當n=k+1時,命題成立.,由(1)、(2)知對一切正整數n,An能被8整除.,27,例13、求證:x3n-1+x3n-2+1能被x2+x+1整除.,證:(1)當n=1時,x3n-1+x3n-2+1=x2+x+1,從而命題成立.,(2)假設當n=k時命題成立,即x3k-1+x3k-2+1能被x2+x+1整除,則當n=k+1時,x3(k+1)-1+x3(k+12+1=x3k+2+x3k+1+1,=x3(x3k-1+x3k-2+1)-x3+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)-(x-1)(x2+x+1),因為x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被x2+x+1整除,所以上式右邊能被x2+x+1整除.,即當n=k+1時,命題成立.,根據(1)、(2)知,對一切正整數n,命題成立.,28,題型四用數學歸納法證明幾何問題,29,例15、平面內有n(n2)條直線，任何兩條都不平行，任何三條不過同一點，問交點的個數為多少?并證明.,當n=k+1時：第k+1條直線分別與前k條直線各交于一點，共增加k個點，,由1）、2）可知，對一切nN原命題均成立。,證明：1）n=2時：兩條直線交點個數為1,而f(2)=2(2-1)=1,命題成立。,k+1條直線交點個數=f(k)+k=k(k-1)+k=k(k-1+2)=k(k+1)=(k+1)(k+1)-1=f(k+1),即當n=k+1時命題仍成立。,2）假設n=k(kN,k2)時，k條直線交點個數為f(k)=k(k-1),題型四用數學歸納法證明幾何問題,30,題型五用數學歸納法解決探究性問題,31,32,題型五