第9章拉普拉斯變換,THELAPLACETRANSFORM,4.雙邊拉普拉斯變換的性質；,本章基本內容：,1.雙邊拉普拉斯變換；,2.雙邊拉普拉斯變換的收斂域；,5.系統函數；,6.單邊拉普拉斯變換；,3.零極點圖；,9.0引言Introduction,傅里葉變換是以復指數函數的特例和為基底分解信號的。對更一般的復指數函數和，也理應能以此為基底對信號進行分解。,傅里葉分析方法之所以在信號與LTI系統分析中如此有用，很大程度上是因為相當廣泛的信號都可以表示成復指數信號的線性組合，而復指數函數是一切LTI系統的特征函數。,通過本章及下一章，會看到拉普拉斯變換和變換不僅具有很多與傅里葉變換相同的重要性質，不僅能解決用傅里葉分析方法可以解決的信號與系統分析問題，而且還能用于傅里葉分析方法不適用的許多方面。拉普拉斯變換與變換的分析方法是傅里葉分析法的推廣，傅里葉分析是它們的特例。,將傅里葉變換推廣到更一般的情況就是本章及下一章要討論的中心問題。,9.1拉普拉斯變換,復指數信號是一切LTI系統的特征函數。如果LTI系統的單位沖激響應為，則系統對產生的響應是:,，其中,顯然當時，就是連續時間傅里葉變換。,TheLaplaceTransform,一.雙邊拉氏變換的定義：,稱為的雙邊拉氏變換，其中。,若，則有:,這就是的傅里葉變換。,表明：連續時間傅里葉變換是雙邊拉普拉斯變換在或是在軸上的特例。,由于,所以拉氏變換是對傅里葉變換的推廣，的拉氏變換就是的傅里葉變換。只要有合適的存在，就可以使某些本來不滿足狄里赫利條件的信號在引入后滿足該條件。即有些信號的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存在。這表明拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的適用性。,例1.,在時，積分收斂。,當時，的傅里葉變換存在,顯然，在時，拉氏變換收斂的區域為，包括了（即軸）。,比較和，顯然有,例2.,與例1.比較，區別僅在于收斂域不同。,由以上例子，可以看出:,1.拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問題。并非任何信號的拉氏變換都存在，也不是S平面上的任何復數都能使拉氏變換收斂。,2.使拉氏變換積分收斂的那些復數S的集合，稱為拉氏變換的收斂域。拉氏變換的收斂域ROC（RegionofConvergence）對拉氏變換是非常重要的概念。,3.不同的信號可能會有完全相同的拉氏變換表達式，只是它們的收斂域不同。,5.如果拉氏變換的ROC包含軸，則有,4.只有拉氏變換的表達式連同相應的收斂域，才能和信號建立一一對應的關系。,二.拉氏變換的ROC及零極點圖：,例3.,可見：拉氏變換的收斂域是各個收斂域的公共部分。ROC總是以平行于軸的直線作為邊界的，ROC的邊界總是與的分母的根相對應的。,若是有理函數,分子多項式的根稱為零點，分母多項式的根稱為極點。,將的全部零點和極點表示在S平面上，就構成了零極點圖。零極點圖及其收斂域可以表示一個，最多與真實的相差一個常數因子。,因此，零極點圖是拉氏變換的圖示方法。,9.2拉氏變換的收斂域,可以歸納出ROC的以下性質：,TheRegionofConvergenceforLaplaceTransforms,4.右邊信號的ROC位于S平面內一條平行于軸的直線的右邊。,3.時限信號的ROC是整個S平面。,2.在ROC內無任何極點。,1.ROC是S平面上平行于軸的帶形區域。,若，則,表明也在收斂域內。,若是右邊信號,在ROC內，則有絕對可積，即：,5.左邊信號的ROC位于S平面內一條平行于軸的直線的左邊。,若是左邊信號，定義于,在ROC內，則,表明也在收斂域內。,6.雙邊信號的ROC如果存在，一定是S平面內平行于軸的帶形區域。,考查零點，令,例2.,有極點,顯然在也有一階零點，由于零極點相抵消，致使在整個S平面上無極點。,當時，上述ROC有公共部分，,當時，上述ROC無公共部分，表明不存在。,當是有理函數時，其ROC總是由的極點分割的。ROC必然滿足下列規律：,3.雙邊信號的ROC可以是任意兩相鄰極點之間的帶形區域。,2.左邊信號的ROC一定位于最左邊極點的左邊。,1.右邊信號的ROC一定位于最右邊極點的右邊。,例3.,可以形成三種ROC：ROC：ROC：ROC：,此時是右邊信號。,此時是左邊信號。,此時是雙邊信號。,TheInverseLaplaceTransform,一.定義：,由,若在ROC內，則有:,9.3拉普拉斯反變換,當從時,從,拉氏反變換表明:可以被分解成復振幅為的復指數信號的線性組合。,二.拉氏反變換的求法:,對有理函數形式的求反變換一般有兩種方法,即部分分式展開法和留數法。,1.將展開為部分分式。,部分分式展開法：,3.利用常用信號的變換對與拉氏變換的性質,對每一項進行反變換。,2.根據的ROC，確定每一項的ROC。,極點：,例2.,1.求出的全部極點。,留數法（當是有理函數時）：,3.求出在ROC右邊的所有極點處的留數之和，并加負號，它們構成了的反因果部分。,2.求出在ROC左邊的所有極點處的留數之和，它們構成了的因果部分。,例3.,的極點位于ROC的右邊，位于ROC的左邊。,可以用零極點圖表示的特征。當ROC包括軸時，以代入，就可以得到。以此為基礎可以用幾何求值的方法從零極點圖求得的特性。這在定性分析系統頻率特性時有很大用處。,GeometricEvaluationoftheFourierTransformfromthePole-ZeroPlot,9.4由零極點圖對傅里葉變換幾何求值,1.單零點情況：,矢量稱為零點矢量，它的長度表示,其幅角即為。,零點,要求出時的，可以作兩個矢量和，則。,極點,直接由極點向點作矢量（稱為極點矢量），其長度的倒量為,幅角的負值為。,2.單極點情況：,因此有:,對有理函數形式的,3.一般情況：,即：從所有零點向點作零點矢量，從所有極點向點作極點矢量。所有零點矢量的長度之積除以所有極點矢量的長度之積即為。所有零點矢量的幅角之和減去所有極點矢量的幅角之和即為。,當取為軸上的點時，即為傅里葉變換的幾何求值。考查在軸上移動時所有零、極點矢量的長度和幅角的變化，即可得出的幅頻特性和相頻特性。,例1.一階系統：,例2.二階系統：,1.當時，有兩個實數極點，此時系統處于過阻尼狀態。起主要作用。隨著,兩極點相向移動，向處靠攏。,2.當時，兩極點重合于處，成為二階極點。系統處于臨界阻尼狀態。,3.進一步減小，則二階極點分裂為共軛復數極點，且隨的減小而逐步靠近軸。極點運動的軌跡根軌跡是一個半徑為的圓周。,此時系統處于欠阻尼狀態，隨著，位于第2象限的極點矢量比第3象限的極點矢量更短，因此它對系統特性的影響較大（被稱為主極點）。,當時，由于該極點矢量變得很短，因而會使出現峰值。其峰點位于處，,峰值為,在時，若認為主極點矢量增長倍時，對應的頻率是系統帶寬的截止頻率，則可以近似確定此時的系統帶寬約為。,4.當時，兩極點分別位于軸上的處，此時系統處于無阻尼狀態。,系統的相位特性也可以從零極點圖得到。此時，只需考察當動點沿軸移動時所有極點矢量和所有零點矢量的幅角變化，用所有零點矢量的幅角之和減去所有極點矢量的幅角之和，即可得到系統的相位特性。,例3.全通系統：,考查零極點對稱分布的系統,（一階全通系統）,該系統的在任何時候都等于1，所以稱為全通系統。,其相位特性,全通系統的零極點分布呈四角對稱特征。,全通系統被廣泛用于對系統進行相位均衡。,例4.最小相位系統：,顯然這兩個系統的幅頻特性是相同的。但零點在左半平面的系統其相位總小于零點在右半平面的系統。因此將零極點均位于左半平面的系統稱為最小相位系統。,工程應用中設計的各種頻率選擇性濾波器，如：Butterworth、Chebyshev、Cauer濾波器都是最小相位系統。,當工程應用中要求實現一個非最小相位系統時，通常采用將一個最小相位系統和一個全通系統級聯來實現。,從本質上講系統的特性是由系統的零、極點分布決定的。對系統進行優化設計，實質上就是優化其零、極點的位置。,PropertiesoftheLaplaceTransform,9.5拉氏變換的性質,拉氏變換與傅氏變換一樣具有很多重要的性質。這里只著重于ROC的討論。,1.線性（Linearity）：,若,而,ROC擴大為整個S平面。,當與無交集時，表明不存在。,例.,（原因是出現了零極點相抵消的現象）,2.時移性質（TimeShifting）:,若,3.S域平移（Shiftinginthes-Domain）:,表明的ROC是將的ROC平移了一個。這里是指ROC的邊界平移。,例.,顯然,4.時域尺度變換（TimeScaling）:,若,則,當時收斂，時收斂,可見：若信號在時域尺度變換，其拉氏變換的ROC在S平面上作相反的尺度變換。,特例,5.共軛對稱性（Conjugation）：,如果是實信號，且在有極點（或零點），則一定在也有極點（或零點）。這表明：實信號的拉氏變換其復數零、極點必共軛成對出現。,當為實信號時，有：,由此可得以下重要結論：,或,包括,6.卷積性質:（ConvolutionProperty）,顯然有:,例.,ROC擴大,原因是與相乘時，發生了零極點相抵消的現象。當被抵消的極點恰好在ROC的邊界上時，就會使收斂域擴大。,7.時域微分:（DifferentiationintheTimeDomain）,8.S域微分:（Differentiationinthes-Domain）,9.時域積分:（IntegrationintheTimeDomain）,若,包括,如果是因果信號，且在不包含奇異函數，則,初值定理,時，且在不包含奇異函數。,Proof:,將在展開為Taylor級數有：,10.初值與終值定理:（TheInitial-andFinal-ValueTheorems),對上式兩邊做拉氏變換：,如果是因果信號，且在不包含奇異函數，除了在可以有單階極點外，其余極點均在S平面的左半邊，則,終值定理,的實部可以大于零，因此,除了在可以有一階極點外，其它極點均在S平面的左半平面（即保證有終值），故的ROC中必包含軸。表明：,當時，,極點在S平面的分布與信號終值的關系,AnalysisandCharacterizedofLTISystemsUsingtheLaplaceTransform,一.系統函數的概念：,以卷積特性為基礎，可以建立LTI系統的拉氏變換分析方法，即,其中是的拉氏變換，稱為系統函數或轉移函數、傳遞函數。,9.7用拉氏變換分析與表征LTI系統,這就是LTI系統的傅里葉分析。即是系統的頻率響應。,這些方法之所以成立的本質原因在于復指數函數是一切LTI系統的特征函數。當以為基底分解信號時，LTI系統對輸入信號的響應就是,如果的ROC包括軸，則和的ROC必定包括軸，以代入，即有,連同相應的ROC也能完全描述一個LTI系統。系統的許多重要特性在及其ROC中一定有具體的體現。,；而以為基底分解信號時，系統的輸出響應就是。,二.用系統函數表征LTI系統：,1.因果性：,如果時，則系統是因果的。,如果時，則系統是反因果的。,因此，因果系統的是右邊信號，其的ROC必是最右邊極點的右邊。由于反因果系統的是左邊信號，的ROC必是最左邊極點的左邊。,應該強調指出，由ROC的特征，反過來并不能判定系統是否因果。ROC是最右邊極點的右邊并不一定系統因果。,2.穩定性：,如果系統穩定，則有。因此必存在。意味著的ROC必然包括軸。,只有當是有理函數時，逆命題才成立。,綜合以上兩點，可以得到：因果穩定系統的，其全部極點必須位于S平面的左半邊。,顯然，ROC是最右邊極點的右邊。,的全部極點都在S平面的左半邊。,的ROC是最右邊極點的右邊，但是非有理函數，系統是非因果的。,由于ROC包括軸，該系統仍是穩定的。,而對系統,仍是非有理函數，ROC是最右邊極點的右邊，但由于，系統是因果的。,結論：,如果LTI系統的系統函數是有理函數，且全部極點位于S平面的左半平面，則系統是因果、穩定的。,2.如果LTI系統的系統函數是有理函數，且系統因果，則系統函數的ROC是最右邊極點的右邊。若系統反因果，則系統函數的ROC是最左邊極點的左邊。,三.由LCCDE描述的LTI系統的系統函數：,是一個有理函數,的ROC需要由系統的相關特性來確定。,1）如果LCCDE具有一組全部為零的初始條件，則的ROC必是最右邊極點的右邊。,2）如果已知LCCDE描述的系統是因果的，則的ROC必是最右邊極點的右邊。,3）如果已知LCCDE描述的系統是穩定的，則的ROC必包括軸。,四.系統特性與系統函數的關系:,自學。請關注例9.25、9.26、9.27,五.Butterworth濾波器:,通常Butterworth濾波器的特性由頻率響應的模平方函數給出。對N階Butterworth低通濾波器有：,（N為濾波器的階數）,由于,Butterworth濾波器的沖激響應應該是實信號，,將函數拓展到整個S平面有：,共有2N個極點,表明N階Butterworth低通濾波器模平方函數的全部2N個極點均勻分布在半徑為的圓周上。,極點分布的特征：,極點分布總是關于原點對稱的。,相鄰兩極點之間的角度差為。,軸上不會有極點。當N為奇數時在實軸上有極點，N為偶數時實軸上無極點。,2N個極點等間隔均勻分布在半徑為的圓周上。,要實現的濾波器應該是因果穩定系統，因此位于左半平面的N個極點一定是屬于的。,據此，確定出后，也就可以綜合出一個Butterworth濾波器。,9.8系統函數的代數屬性與方框圖表示,SystemFunctionAlgebraandBlockDiagramRepresentations,一.系統互聯時的系統函數：,1.級聯：,包括,3.反饋聯結：,2.并聯：,包括,包括,二.LTI系統的級聯和并聯型結構：,LTI系統可以由一個LCCDE來描述。,對其進行拉氏變換有：,是一個有理函數,1.級聯結構：,將的分子和分母多項式因式分解,這表明：一個N階的LTI系統可以分解為若干個二階系統和一階系統的級聯。在N為偶數時，可以全部組合成二階系統的級聯形式。,其中,如果N為奇數，則有一個一階系統出現。,2.并聯結構：,將展開為部分分式(假定的分子階數不高于分母階數，所有極點都是單階的），則有：,將共軛成對的復數極點所對應的兩項合并:,（N為偶數時）,N為偶數時又可將任意兩個一階項合并為二階項，由此可得出系統的并聯結構：,TheUnilateralLaplaceTransform,單邊拉氏變換是雙邊拉氏變換的特例。也就是因果信號的雙邊拉氏變換。單邊拉氏變換對分析LCCDE描述的增量線性系統具有重要的意義。,一.定義:,如果是因果信號，對其做雙邊拉氏變換和做單邊拉氏變換是完全相同的。,9.9單邊拉普拉斯變換,單邊拉氏變換也同樣存在ROC。其ROC必然遵從因果信號雙邊拉氏變換時的要求，即：一定位于最右邊極點