3.1.3概率的基本性質學習目標1.了解互斥事件概率的加法公式.2.理解事件的關系與運算.3.會用對立事件的特征求概率知識點一事件的關系與運算1事件的關系定義表示法圖示包含關系一般地，對于事件A與事件B，如果事件A發生，則事件B一定發生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)BA(或AB)相等關系AB且BAAB2.關于事件的運算定義表示法圖示并事件若某事件發生當且僅當事件A發生或事件B發生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件若某事件發生當且僅當事件A發生且事件B發生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)AB(或AB)知識點二互斥與對立互斥事件和對立事件的定義互斥事件定義若AB為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥符號AB圖示注意事項例如，在擲骰子試驗中，記C1出現1點，C2出現2點，則C1與C2互斥對立事件定義若AB為不可能事件，AB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件符號AB，且AB圖示注意事項A的對立事件一般記作知識點三概率的基本性質概率的幾個基本性質1概率的取值范圍為0,12必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0.3概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(AB)P(A)P(B)特別地，若A與B為對立事件，則P(A)1P(B)P(AB)1，P(AB)0.1若兩個事件是互斥事件，則這兩個事件是對立事件()2若兩個事件是對立事件，則這兩個事件也是互斥事件()3若兩個事件是對立事件，則這兩個事件概率之和為1.()題型一事件關系的判斷例1從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點數從110各10張)中，任取一張(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”判斷上面給出的每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由解(1)是互斥事件，不是對立事件理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發生的，所以是互斥事件同時，不能保證其中必有一個發生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件(2)既是互斥事件，又是對立事件理由是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個事件不可能同時發生，但其中必有一個發生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件(3)不是互斥事件，當然不可能是對立事件理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”這兩個事件可能同時發生，如抽得牌點數為10，因此，二者不是互斥事件，當然不可能是對立事件反思感悟(1)要判斷兩個事件是不是互斥事件，只需要分別找出各個事件包含的所有結果，看它們之間能不能同時發生在互斥的前提下，看兩個事件的并事件是否為必然事件，從而可判斷是否為對立事件(2)考慮事件的結果間是否有交事件可考慮利用Venn圖分析，對于較難判斷的關系，也可考慮列出全部結果，再進行分析跟蹤訓練1(1)從裝有5個紅球和3個白球的口袋內任取3個球，那么下列各對事件中，互斥而不對立的是()A至少有一個紅球與都是紅球B至少有一個紅球與都是白球C至少有一個紅球與至少有一個白球D恰有一個紅球與恰有兩個紅球(2)一個人打靶時連續射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A至多有一次中靶B只有一次中靶C兩次都中靶D兩次都不中靶答案(1)D(2)D解析(1)根據互斥事件與對立事件的定義判斷A中兩事件不是互斥事件，事件“三個球都是紅球”是兩事件的交事件；B中兩事件是對立事件；C中兩事件能同時發生，如“恰有一個紅球和兩個白球”，故不是互斥事件；D中兩事件是互斥而不對立事件(2)A，B，C中的事件均能與事件“至少有一次中靶”同時發生，故A，B，C錯誤，選D.題型二事件的運算例2在擲骰子的試驗中，可以定義許多事件例如，事件C1出現1點，事件C2出現2點，事件C3出現3點，事件C4出現4點，事件C5出現5點，事件C6出現6點，事件D1出現的點數不大于1，事件D2出現的點數大于3，事件D3出現的點數小于5，事件E出現的點數小于7，事件F出現的點數為偶數，事件G出現的點數為奇數，請根據上述定義的事件，回答下列問題：(1)請舉出符合包含關系、相等關系的事件；(2)利用和事件的定義，判斷上述哪些事件是和事件解(1)因為事件C1，C2，C3，C4發生，則事件D3必發生，所以C1D3，C2D3，C3D3，C4D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1與事件D1相等，即C1D1.(2)因為事件D2出現的點數大于3出現4點或出現5點或出現6點，所以D2C4C5C6(或D2C4C5C6)同理可得，D3C1C2C3C4，EC1C2C3C4C5C6，FC2C4C6，GC1C3C5.反思感悟事件間運算方法(1)利用事件間運算的定義列出同一條件下的試驗所有可能出現的結果，分析并利用這些結果進行事件間的運算(2)利用Venn圖借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現的結果，把這些結果在圖中列出，進行運算跟蹤訓練2盒子里有6個紅球，4個白球，現從中任取3個球，設事件A3個球中有一個紅球，兩個白球，事件B3個球中有兩個紅球，一個白球，事件C3個球中至少有一個紅球，事件D3個球中既有紅球又有白球則：(1)事件D與事件A，B是什么樣的運算關系？(2)事件C與事件A的交事件是什么事件？解(1)對于事件D，可能的結果為1個紅球2個白球或2個紅球1個白球，故DAB.(2)對于事件C，可能的結果為1個紅球2個白球，2個紅球1個白球或3個紅球，故CAA.題型三用互斥、對立事件求概率例3某射擊運動員在一次射擊中射中10環、9環、8環、7環、7環以下的概率分別為0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.計算這個運動員在一次射擊中：(1)射中10環或9環的概率；(2)至少射中7環的概率解設“射中10環”、“射中9環”、“射中8環”、“射中7環”、“射中7環以下”的事件分別為A，B，C，D，E，則(1)P(AB)P(A)P(B)0.10.20.3.所以射中10環或9環的概率為0.3.(2)因為射中7環以下的概率為0.1，所以由對立事件的概率公式得，至少射中7環的概率為10.10.9.反思感悟互斥事件、對立事件概率的求解方法(1)互斥事件的概率的加法公式P(AB)P(A)P(B)(2)當求解的問題中有“至多”“至少”“最少”等關鍵詞語時，常常考慮其反面，通過求其反面，然后轉化為所求問題跟蹤訓練3甲、乙兩人下棋，和棋的概率是，乙獲勝的概率為，求：(1)甲獲勝的概率；(2)甲不輸的概率解(1)“甲獲勝”可看成是“和棋或乙獲勝”的對立事件，所以“甲獲勝”的概率為1.(2)方法一“甲不輸”可看成是“甲獲勝”“和棋”這兩個互斥事件的并事件，所以P(甲不輸).方法二“甲不輸”可看成是“乙獲勝”的對立事件，所以P(甲不輸)1，故甲不輸的概率為.用方程的思想求概率典例袋中有外形、質量完全相同的紅球、黑球、黃球、綠球共12個，從中任取一球，得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率也是.(1)試分別求得到黑球、黃球、綠球的概率；(2)從中任取一球，求得到的不是紅球或綠球的概率解(1)從袋中任取一球，記事件“得到紅球”“得到黑球”“得到黃球”“得到綠球”分別為A，B，C，D，則P(A)，P(BC)P(B)P(C)，P(CD)P(C)P(D)，P(BCD)P(B)P(C)P(D)1P(A)1.聯立解得P(B)，P(C)，P(D)，故得到黑球，得到黃球，得到綠球的概率分別為，.(2)事件“得到紅球或綠球”可表示為事件AD，由(1)及互斥事件的概率加法公式得P(AD)P(A)P(D)，故得到的不是紅球或綠球的概率P1P(AD)1.素養評析(1)求概率可以考慮用對立事件、互斥事件的概率加法公式求解如果有多個待求量，可以列方程組求解(2)理解運算對策，選擇運算方法，求得運算結果，這都是數學核心素養數學運算的具體體現1從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事件是()A“至少有一個黑球”與“都是黑球”B“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”D“至少有一個黑球”與“都是紅球”答案C解析A中兩個事件能同時發生，故不互斥；同樣，B中兩個事件也可同時發生，故不互斥；D中兩個事件是對立的，故選C.2口袋內裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A0.42B0.28C0.3D0.7答案C解析摸出黑球是摸出紅球或摸出白球的對立事件，摸出黑球的概率是10.420.280.3，故選C.3在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3，則下列說法正確的是()AAB與C是互斥事件，也是對立事件BBC與D是互斥事件，也是對立事件CAC與BD是互斥事件，但不是對立事件DA與BCD是互斥事件，也是對立事件答案D解析由于A，B，C，D彼此互斥，且由P(ABCD)P(A)P(B)P(C)P(D)1，知ABCD是一個必然事件，故其事件的關系如圖所示由圖可知，任何一個事件與其余3個事件的和事件必然是對立事件，任何兩個事件的和事件與其余兩個事件的和事件也是對立事件，故只有D中的說法正確4中國乒乓球隊中的甲、乙兩名隊員參加奧運會乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率為，乙奪得冠軍的概率為，那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為_答案解析由于事件“中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙奪得冠軍”，但這兩個事件不可能同時發生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式進行計算，即中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為.5由經驗得知，在某商場付款處排隊等候付款的人數及其概率如下：排隊人數012345人及以上概率0.10.150.30.310.10.04則至多2個人排隊的概率為_答案0.55解析P0.10.150.30.55.1互斥事件和對立事件都是針對兩個事件而言的，它們兩者之間既有區別又有聯系在一次試驗中，兩個互斥事件有可能都不發生，也可能有一個發生，但不可能兩個都發生；而兩個對立事件必有一個發生，但是不可能兩個事件同時發生，也不可能兩個事件都不發生所以兩個事件互斥，它們未必對立；反之兩個事件對立，它們一定互斥2互斥事件概率的加法公式是一個很基本的計算公式，解題時要在具體的情景中判斷各事件間是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(AB)P(A)P(B)3求復雜事件的概率通常有兩種方法(1)將所求事件轉化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其對立事件的概率，再求所求事件的概率.一、選擇題1袋內裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是()A至少有一個白球與都是白球B至少有一個白球與至少有一個紅球C恰有一個紅球與一個白球一個黑球D至少有一個紅球與紅、黑球各一個答案C解析直接依據互斥事件和對立事件的概念判斷即可2從一批產品(既有正品也有次品)中取出三件產品，設A三件產品全不是次品，B三件產品全是次品，C三件產品有次品，但不全是次品，則下列結論中錯誤的是()AA與C互斥BB與C互斥C任何兩個都互斥D任何兩個都不互斥答案D解析由題意知事件A，B，C兩兩不可能同時發生，因此兩兩互斥3若A，B是互斥事件，P(A)0.2，P(AB)0.5，則P(B)等于()A0.3B0.7C0.1D1答案A解析A，B是互斥事件，P(AB)P(A)P(B)0.5，P(A)0.2，P(B)0.50.20.3.故選A.4某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則下列各對事件中是互斥事件的有()恰有一名男生和全是男生；至少有一名男生和至少有一名女生；至少有一名男生和全是男生；至少有一名男生和全是女生ABCD答案D解析是互斥事件恰有一名男生的實質是選出的兩名同學中有一名男生和一名女生，它與全是男生不可能同時發生；不是互斥事件；不是互斥事件；是互斥事件至少有一名男生與全是女生不可能同時發生5某學校高一年級派甲、乙兩個班參加學校組織的拔河比賽，甲、乙兩個班取得冠軍的概率分別為和，則該年級在拔河比賽中取得冠軍的概率為()A.B.C.D.答案A解析“甲班取得冠軍”和“乙班取得冠軍”是兩個互斥事件，該校高一年級取得冠軍是這兩個互斥事件的和事件，其概率為兩個互斥事件的概率之和，即為.6如果事件A，B互斥，記，分別為事件A，B的對立事件，那么()AAB是必然事件B.是必然事件C.與一定互斥D.與不可能互斥答案B解析用圖示法解決此類問題較為直觀，如圖所示，是必然事件，故選B.7下列四個命題：對立事件一定是互斥事件；若A，B為兩個事件，則P(AB)P(A)P(B)；若事件A，B，C兩兩互斥，則P(A)P(B)P(C)1；事件A，B滿足P(A)P(B)1，則A，B是對立事件其中錯誤命題的個數是()A0B1C2D3答案D解析對立事件首先是互斥事件，故正確；只有互斥事件的和事件的概率才適合概率的加法公式，故不正確；概率的加法公式可以適合多個互斥事件的和事件，但和事件不一定是必然事件，故不正確；對立事件和的概率公式逆用不正確，比如在擲骰子試驗中，設事件A正面為奇數，B正面為1,2,3，則P(A)P(B)1.而A，B不互斥，故不正確84位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為()A.B.C.D.答案D解析由題意知4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，其中4位同學都選周六的概率為，4位同學都選周日的概率為，故周六、周日都有同學參加公益活動的概率P1，故選D.9擲一枚骰子的試驗中，出現各點的概率為.事件A表示“小于5的偶數點出現”，事件B表示“小于5的點數出現”，則一次試驗中，事件A(表示事件B的對立事件)發生的概率為()A.B.C.D.答案C解析由題意知，表示“大于或等于5的點數出現”，事件A與事件互斥，由概率的加法計算公式可得P(A)P(A)P().二、填空題10袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_答案解析由題意知摸出的2只球的顏色相同的概率為，故所求概率P1.11某袋中有編號為1,2,3,4,5,6的6個球(小球除編號外完全相同)，甲先從袋中摸出一個球，記下編號后放回，乙再從袋中摸出一個球，記下編號，則甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是_答案解析設a，b分別為甲、乙摸出球的編號由題意知，摸球試驗共有36種不同的結果，滿足ab的基本事件共有6種所以摸出編號不同的概率P1.12在一次教師聯歡會上，到會的女教師比男教師多12人，從這些教師中隨機挑選一人表演節目，若選中男教師的概率為，則參加聯歡會的教師共有_人答案120解析可設參加聯歡會的教師共有n人，由于從這些教師中選一人，“選中男教師”和“選中女教師”兩個事件是對立事件，所以選中女教師的概率為1.再由題意，知nn12，解得n120.三、解答題13國家射擊隊的隊員為在世界射擊錦標賽上取得優異成績在加緊備戰，經過近期訓練，某隊員射擊一次命中710環的概率如下表所示：命中環數10987概率0.320.280.180.12求該射擊隊員在一次射擊中：(1)命中9環或10環的概率；(2)至少命中8環的概率；(3)命中不足8環的概率解記事件“射擊一次，命中k環”為Ak(kN，k10)，則事件Ak之間彼此互斥(1)設“射擊一次，命中9環或10環”為事件A，那么當A9，A10之一發生時，事件A發生，由互斥事件概率的加法公式得P(A)P(A9)P(