數學建模 微分方程專題 part1 微分方程 在研究實際問題時 我們常常不能直接得出變量之間的關系 但卻能容易得出包含變量導數在內的關系式 這就是微分方程 在現實社會中 又有許多變量是離散變化的 如人口數 生產周期與商品價格等 而且離散的運算具有可操作性 差分正是聯系連續與離散變量的一座橋梁 不管是微分方程還是差分方程模型 有時無法得到其解析解 必要時 可以利用計算機求其數值解 既使得到其解析解 尚有未知參數需要估計 這時可利用第二章參數估計方法 而在實際問題中 討論問題的解的變化趨勢很重要 因此 以下只對其平衡點的穩定性加以討論 一維微分方程模型平衡點的穩定性 一階微分方程模型平衡點的穩定性 易知x0也是方程 4 2 的平衡點 4 2 的通解為 關于x0是否穩定有以下結論 這個結論對于 4 1 也是成立的 一階微分方程模型平衡點的穩定性 微分方程組的平衡點的穩定性 如果 則稱平衡點P0是穩定的 微分方程組的平衡點的穩定性 下面給出判別平衡點P0是否穩定的判別準則 設 則當p 0且q 0時 平衡點P0是穩定的 當p 0或q 0時 平衡點P0是不穩定的 微分方程組的平衡點的穩定性 穩定性模型 建模目的是研究時間充分長以后過程的變化趨勢 平衡狀態是否穩定 不求解微分方程 而是用微分方程穩定性理論研究平衡狀態的穩定性 再生資源 漁業 林業等 與非再生資源 礦業等 再生資源應適度開發 在持續穩產前提下實現最大產量或最佳效益 問題及分析 在捕撈量穩定的條件下 如何控制捕撈使產量最大或效益最佳 如果使捕撈量等于自然增長量 漁場魚量將保持不變 則捕撈量穩定 背景 實例 捕魚業的持續收獲 假設 無捕撈時魚的自然增長服從Logistic規律 單位時間捕撈量與漁場魚量成正比 建模 捕撈情況下漁場魚量滿足 r 固有增長率 N 最大魚量 h x Ex E 捕撈強度 x t 漁場魚量 產量模型 穩定性判斷 x0穩定 可得到穩定產量 x1穩定 漁場干枯 E 捕撈強度 r 固有增長率 產量模型 圖解法 P的橫坐標x0 平衡點 P的縱坐標h 產量 產量最大 控制漁場魚量為最大魚量的一半 產量模型 最大產量 效益模型 假設 魚銷售價格p 單位捕撈強度費用c 單位時間利潤 穩定平衡點 求E使R E 最大 漁場魚量 收入T ph x pEx 支出S cE 對于k階差分方程 F n xn xn 1 xn k 0 4 6 若有xn x n 滿足 F n x n x n 1 x n k 0 則稱xn x n 是差分方程 4 6 的解 包含k個任意常數的解稱為 4 6 的通解 x0 x1 xk 1為已知時稱為 4 6 的初始條件 通解中的任意常數都由初始條件確定后的解稱為 4 6 的特解 差分方程模型 若x0 x1 xk 1已知 則形如xn k g n xn xn 1 xn k 1 的差分方程的解可以在計算機上實現 若有常數a是差分方程 4 6 的解 即 F n a a a 0 則稱a是差分方程 4 6 的平衡點 又對差分方程 4 6 的任意由初始條件確定的解xn x n 都有xn a n 則稱這個平衡點a是穩定的 差分方程模型 一階常系數線性差分方程xn 1 axn b 其中a b為常數 且a 1 0 的通解為xn C a n b a 1 易知b a 1 是其平衡點 由上式知 當且僅當 a 1時 b a 1 是穩定的平衡點 差分方程模型 二階常系數線性差分方程xn 2 axn 1 bxn r 其中a b r為常數 當r 0時 它有一特解x 0 當r 0 且a b 1 0時 它有一特解x r a b 1 不管是哪種情形 x 是其平衡點 設其特征方程 2 a b 0的兩個根分別為 1 2 差分方程模型 當 1 2是兩個不同實根時 二階常系數線性差分方程的通解為xn x C1 1 n C2 2 n 當 1 2 是兩個相同實根時 二階常系數線性差分方程的通解為xn x C1 C2n n 則 差分方程模型 當 1 2 cos isin 是一對共軛復根時 二階常系數線性差分方程的通解為xn x n C1cosn C2sinn 易知 當且僅當特征方程的任一特征根 i 1時 平衡點x 是穩定的 差分方程模型 對于一階非線性差分方程xn 1 f xn 其平衡點x 由代數方程x f x 解出 為分析平衡點x 的穩定性 將上述差分方程近似為一階常系數線性差分方程 差分方程模型 問題 供大于求 現象 商品數量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩定 當不穩定時政府能采取什么干預手段使之穩定 描述商品數量與價格的變化規律 數量與價格在振蕩 市場經濟中的蛛網模型 xk 第k時段商品數量 yk 第k時段商品價格 消費者的需求關系 生產者的供應關系 f與g的交點P0 x0 y0 平衡點 一旦xk x0 則yk y0 xk 1 xk 2 x0 yk 1 yk 2 y0 模型建立 設x1偏離x0 P0是穩定平衡點 P0是不穩定平衡點 蛛網模型 穩定性分析 x1 曲線斜率 穩定性分析 在P0點附近用直線近似曲線 P0穩定 P0不穩定 方程模型 方程模型與蛛網模型的一致 穩定性分析 商品數量減少1單位 價格上漲幅度 價格上漲1單位 下時段 供應的增量 消費者對需求的敏感程度 生產者對價格的敏感程度 小 有利于經濟穩定 小 有利于經濟穩定 xk 第k時段商品數量 yk 第k時段商品價格 結果解釋 1 使 盡量小 如 0 以行政手段控制價格不變 2 使 盡量小 如 0 靠經濟實力控制數量不變 結果解釋 政府干預 生產者根據當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產量 生產者管理水平提高 設供應函數為 需求函數不變 二階線性常系數差分方程 模型的推廣 方程通解 c1