3.4基本不等式：3.4.1基本不等式的證明從容說課在前兩節課的研究當中，學生已掌握了一些簡單的不等式及其應用，并能用不等式及不等式組抽象出實際問題中的不等量關系，掌握了不等式的一些簡單性質與證明，研究了一元二次不等式及其解法，學習了二元一次不等式（組）與簡單的線性規劃問題.本節課的研究是前三大節學習的延續和拓展.另外，為基本不等式的應用墊定了堅實的基礎，所以說，本節課是起到了承上啟下的作用.本節課是通過讓學生觀察第屆國際數學家大會的會標圖案中隱含的相等關系與不等關系而引入的.通過分析得出基本不等式：，然后從三種角度對基本不等式展開證明及對基本不等式展開一些簡單的應用,進而更深一層次地從理性角度建立不等觀念.教師應作好點撥，利用幾何背景，數形結合做好歸納總結、邏輯分析，并鼓勵學生從理性角度去分析探索過程，進而更深層次理解基本不等式，鼓勵學生對數學知識和方法獲得過程的探索，同時也能激發學生的學習興趣，根據本節課的教學內容，應用觀察、類比、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，進行啟發、探究式教學并使用投影儀輔助.教學重點 1.創設代數與幾何背景，用數形結合的思想理解基本不等式；2.從不同角度探索基本不等式的證明過程；3.從基本不等式的證明過程進一步體會不等式證明的常用思路.教學難點 1.對基本不等式從不同角度的探索證明；2.通過基本不等式的證明過程體會分析法的證明思路.教具準備 多媒體及課件三維目標一、知識與技能1.創設用代數與幾何兩方面背景，用數形結合的思想理解基本不等式；2.嘗試讓學生從不同角度探索基本不等式的證明過程；3.從基本不等式的證明過程進一步體會不等式證明的常用思路，即由條件到結論，或由結論到條件.二、過程與方法1.采用探究法，按照聯想、思考、合作交流、邏輯分析、抽象應用的方法進行啟發式教學； 2.教師提供問題、素材，并及時點撥，發揮老師的主導作用和學生的主體作用；3.將探索過程設計為較典型的具有挑戰性的問題，激發學生去積極思考，從而培養他們的數學學習興趣.三、情感態度與價值觀1.通過具體問題的解決，讓學生去感受、體驗現實世界和日常生活中存在著大量的不等量關系并需要從理性的角度去思考，鼓勵學生用數學觀點進行歸納、抽象，使學生感受數學、走進數學，培養學生嚴謹的數學學習習慣和良好的思維習慣；2.學習過程中，通過對問題的探究思考，廣泛參與，培養學生嚴謹的思維習慣，主動、積極的學習品質，從而提高學習質量；3.通過對富有挑戰性問題的解決，激發學生頑強的探究精神和嚴肅認真的科學態度，同時去感受數學的應用性，體會數學的奧秘、數學的簡潔美、數學推理的嚴謹美，從而激發學生的學習興趣.教學過程導入新課探究：上圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客，你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？（教師用投影儀給出第24屆國際數學家大會的會標，并介紹此會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客.通過直觀情景導入有利于吸引學生的注意力，激發學生的學習熱情，并增強學生的愛國主義熱情）推進新課師 同學們能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？如何找？（沉靜片刻）生 應該先從此圖案中抽象出幾何圖形.師 此圖案中隱含什么樣的幾何圖形呢？哪位同學能在黑板上畫出這個幾何圖形？（請兩位同學在黑板上畫.教師根據兩位同學的板演作點評）（其中四個直角三角形沒有畫全等，不形象、直觀.此時教師用投影片給出隱含的規范的幾何圖形）師 同學們觀察得很細致，抽象出的幾何圖形比較準確.這說明，我們只要在現有的基礎上進一步刻苦努力，發奮圖強，也能作出和數學家趙爽一樣的成績.（此時，每一位同學看上去都精神飽滿，信心百倍，全神貫注地投入到本節課的學習中來）過程引導師 設直角三角形的兩直角邊的長分別為a、b，那么，四個直角三角形的面積之和與正方形的面積有什么關系呢？生 顯然正方形的面積大于四個直角三角形的面積之和.師 一定嗎？（大家齊聲：不一定，有可能相等）師 同學們能否用數學符號去進行嚴格的推理證明，從而說明我們剛才直覺思維的合理性？ 生 每個直角三角形的面積為，四個直角三角形的面積之和為2ab.正方形的邊長為，所以正方形的面積為a2+b2，則a2+b22ab.師 這位同學回答得很好，表達很全面、準確，但請大家思考一下，他對a2+b22ab證明了嗎？生 沒有，他仍是由我們剛才的直觀所得，只是用字母表達一下而已.師 回答得很好.（有的同學感到迷惑不解）師 這樣的敘述不能代替證明.這是同學們在解題時經常會犯的錯誤.實質上，對文字性語言敘述證明題來說，他只是寫出了已知、求證，并未給出證明.（有的同學竊竊私語，確實是這樣，并沒有給出證明）師 請同學們繼續思考，該如何證明此不等式，即a2+b22ab.生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，(a-b)2是一個完全平方數，它是非負數，即(a-b)20，所以可得a2+b22ab.師 同學們思考一下，這位同學的證明是否正確？生 正確.教師精講師 這位同學的證明思路很好.今后，我們把這種證明不等式的思想方法形象地稱之為“比較法”，它和根據實數的基本性質比較兩個代數式的大小是否一樣.生 實質一樣，只是設問的形式不同而已.一個是比較大小，一個是讓我們去證明.師 這位同學回答得很好，思維很深刻.此處的比較法是用差和0作比較.在我們的數學研究當中，還有另一種“比較法”.（教師此處的設問是針對學生已有的知識結構而言）生 作商，用商和“1”比較大小.師 對.那么我們在遇到這類問題時，何時采用作差，何時采用作商呢？這個問題讓同學們課后去思考，在解決問題中自然會遇到.（此處設置疑問，意在激發學生課后去自主探究問題，把探究的思維空間切實留給學生）合作探究師 請同學們再仔細觀察一下，等號何時取到.生 當四個直角三角形的直角頂點重合時，即面積相等時取等號.（學生的思維仍建立在感性思維基礎之上，教師應及時點撥）師 從不等式a2+b22ab的證明過程能否去說明.生 當且僅當(a-b)2=0，即a=b時，取等號.師 這位同學回答得很好.請同學們看一下，剛才兩位同學分別從幾何圖形與不等式兩個角度分析等號成立的條件是否一致.（大家齊聲）一致.（此處意在強化學生的直覺思維與理性思維要合并使用.就此問題來講，意在強化學生數形結合思想方法的應用）板書：一般地，對于任意實數a、b，我們有a2+b22ab，當且僅當a=b時，等號成立.過程引導師 這是一個很重要的不等式.對數學中重要的結論，我們應仔細觀察、思考，才能挖掘出它的內涵與外延.只有這樣，我們用它來解決問題時才能得心應手，也不會出錯.（同學們的思維再一次高度集中，似乎能從不等式a2+b22ab中得出什么.此時，教師應及時點撥、指引）師 當a0,b0時，請同學們思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b.生 完全可以.師 為什么？生 因為不等式中的a、bR.師 很好，我們來看一下代替后的結果.板書：即 (a0,b0).師 這個不等式就是我們這節課要推導的基本不等式.它很重要，在數學的研究中有很多應用，我們常把叫做正數a、b的算術平均數，把ab叫做正數a、b的幾何平均數，即兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.（此處意在引起學生的重視，從不同的角度去理解）師 請同學們嘗試一下，能否利用不等式及實數的基本性質來推導出這個不等式呢？（此時，同學們信心十足，都說能.教師利用投影片展示推導過程的填空形式）要證：，只要證a+b2，要證，只要證：a+b-20，要證，只要證：顯然是成立的，當且僅當a=b時，中的等號成立，這樣就又一次得到了基本不等式.（此處以填空的形式,突出體現了分析法證明的關鍵步驟，意在把思維的時空切實留給學生，讓學生在探究的基礎上去體會分析法的證明思路，加大了證明基本不等式的探究力度）合作探究老師用投影儀給出下列問題.如圖，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DD，連結AD、BD.你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？（本節課開展到這里，學生從基本不等式的證明過程中已體會到證明不等式的常用方法，對基本不等式也已經很熟悉，這就具備了探究這個問題的知識與情感基礎）合作探究師 同學們能找出圖中與a、b有關的線段嗎？生 可證ACD BCD,所以可得.生 由射影定理也可得.師 這兩位同學回答得都很好，那ab與分別又有什么幾何意義呢？生表示半弦長，表示半徑長.師 半徑和半弦又有什么關系呢？生 由半徑大于半弦可得.師 這位同學回答得是否很嚴密？生 當且僅當點C與圓心重合，即當a=b時可取等號，所以也可得出基本不等式 (a0,b0).課堂小結師 本節課我們研究了哪些問題？有什么收獲？生 我們通過觀察分析第24屆國際數學家大會的會標得出了不等式a2+b22ab.生 由a2+b22ab,當a0，b0時，以、分別代替a、b，得到了基本不等式 (a0,b0).進而用不等式的性質，由結論到條件，證明了基本不等式.生 在圓這個幾何圖形中我們也能得到基本不等式.（此處，創造讓學生進行課堂小結的機會，目的是培養學生語言表達能力，也有利于課外學生歸納、總結等學習方法、能力的提高）師 大家剛才總結得都很好，本節課我們從實際情景中抽象出基本不等式.并采用數形結合的思想，賦予基本不等式幾何直觀，讓大家進一步領悟到基本不等式成立的條件是a0，b0，及當且僅當a=b時等號成立.在對不等式的證明過程中，體會到一些證明不等式常用的思路、方法.以后，同學們要注意數形結