廊坊明遠培訓學校課件小船過河問題【模型解析】兩種情況：船速大于水速；船速小于水速。兩種極值：渡河最小位移；渡河最短時間。例1 一條寬度為L的河，水流速度為，已知船在靜水中速度為，那么：（1）怎樣渡河時間最短？（2）若，怎樣渡河位移最小？（3）若，怎樣渡河船漂下的距離最短？解析：（1）小船過河問題，可以把小船的渡河運動分解為它同時參與的兩個運動，一是小船運動，一是水流的運動，船的實際運動為合運動。如圖1所示。設船頭斜向上游與河岸成任意角。這時船速在垂直于河岸方向的速度分量為，渡河所需要的時間為，可以看出：L、v船一定時，t隨sin增大而減小；當時，（最大）。所以，船頭與河岸垂直。圖1（2）如圖2所示，渡河的最小位移即河的寬度。為了使渡河位移等于L，必須使船的合速度v的方向與河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。這時船頭應指向河的上游，并與河岸成一定的角度，所以有，即。圖2因為，所以只有在時，船才有可能垂直河岸渡河。（3）若，則不論船的航向如何，總是被水沖向下游，怎樣才能使漂下的距離最短呢？如圖3所示，設船頭v船與河岸成角。合速度v與河岸成角。可以看出：角越大，船漂下的距離x越短，那么，在什么條件下角最大呢？以v水的矢尖為圓心，v船為半徑畫圓，當v與圓相切時，角最大，根據圖3船頭與河岸的夾角應為，船沿河漂下的最短距離為：此時渡河的最短位移：【模型演練】1.（2005祁東聯考）小河寬為d，河水中各點水流速度大小與各點到較近河岸邊的距離成正比，x是各點到近岸的距離，小船船頭垂直河岸渡河，小船劃水速度為，則下列說法中正確的是（ ）A. 小船渡河的軌跡為曲線B. 小船到達離河岸處，船渡河的速度為C. 小船渡河時的軌跡為直線D. 小船到達離河岸處，船的渡河速度為答案：A2(湖南長沙一中0910學年高一下學期期中)一人游泳渡河，以垂直河岸不變的劃速向對岸游去，河水流動速度恒定下列說法中正確的是()A河水流動速度對人渡河無任何影響B人垂直對岸劃水，其渡河位移是最短的C由于河水流動的影響，人到達對岸的時間與靜水中不同D由于河水流動的影響，人到達對岸的位置向下游方向偏移答案：D3(河北正定中學0809學年高一下學期月考)某河水的流速與離河岸距離的變化關系如圖所示河寬300，船在靜水中的速度與時間的關系如圖乙所示若要使船以最短時間渡河，則()A船渡河的最短時間是75sB船在行駛過程中，船頭始終與河岸垂直C船在河水中航行的軌跡是一條直線D船在河水中的最大速度是5m/s答案：BD4.在抗洪搶險中，戰士駕駛摩托艇救人，假設江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度為v1，摩托艇在靜水中的航速為v2，戰士救人的地點A離岸邊最近處O的距離為d，如戰士想在最短時間內將人送上岸，則摩托艇登陸的地點離O點的距離為( C ) A B0 C D解析：摩托艇要想在最短時間內到達對岸，其劃行方向要垂直于江岸，摩托艇實際的運動是相對于水的劃行運動和隨水流的運動的合運動，垂直于江岸方向的運動速度為v2，到達江岸所用時間t=；沿江岸方向的運動速度是水速v1在相同的時間內，被水沖下的距離，即為登陸點距離0點距離。答案：C5.某人橫渡一河流，船劃行速度和水流動速度一定，此人過河最短時間為了T1；若此船用最短的位移過河，則需時間為T2，若船速大于水速，則船速與水速之比為（ ） (A) (B) (C) (D) 解析：設船速為 ，水速為 ，河寬為d ，則由題意可知 ： 當此人用最短位移過河時，即合速度方向應垂直于河岸，如圖所示，則聯立式可得： ，進一步得 6有一小船欲從A處渡河，如圖所示，已知河寬為400m，其下游300m處是暗礁淺灘的危險水域，水流速度恒為5m/s，欲使小船能安全到達對岸，求：船相對靜水的最小速度應是多少？此時船頭的指向與河岸的夾角又是多大？答案：4m/s37解析：小船要想在到達危險區域之前恰好到達對岸，則其合位移必為OA，如圖所示，設水速為v1，小船速度為v2，由平行四邊形和幾何知識知v2v時v2有最小值，方向如圖所示，由圖知v2v1cos，cos08，即37v14m/s.7.河寬d60m，水流速度v16ms，小船在靜水中的速度v2=3ms，問：(1)要使它渡河的時間最短，則小船應如何渡河?最短時間是多少?(2)要使它渡河的航程最短，則小船應如何渡河?最短的航程是多少?解析：