第22講正弦定理和余弦定理考綱要求考情分析命題趨勢掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.2016全國卷，172016四川卷，172016北京卷，15正、余弦定理是解三角形的主要工具.高考中主要考查用其求三角形中的邊和角及進行邊、角之間的轉化.分值：512分1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內容！#2R(R為ABC外接圓半徑)a2！b2c22bccos A#，b2！a2c22accos B#，c2！a2b22abcos C#變形形式a！2Rsin A#，b！2Rsin B#，c！2Rsin C#，sin A！#，sin B！#，sin C！#，abc！sin Asin Bsin Ccos A！#，cos B！#，cos C！#2在ABC中，已知a，b和A，解三角形時解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式absin Aabsin Absin Aabab解的個數！無解#！一解#！兩解#！一解#！一解#！無解#3三角形常用的面積公式(1)Saha(ha表示a邊上的高).(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A.(3)Sr(abc)(r為內切圓半徑).1思維辨析(在括號內打“”或“”).(1)正弦定理和余弦定理對任意三角形都成立.()(2)三角形中各邊和它所對角的弧度數之比相等.()(3)已知兩邊及其夾角求第三邊，用余弦定理.()(4)在ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素.()(5)在ABC中，若sin Asin B，則AB.()解析(1)正確.由正弦定理和余弦定理的證明過程可知，它們對任意三角形都成立.(2)錯誤.由正弦定理可知該結論錯誤.(3)正確.由余弦定理可知該結論正確.(4)錯誤.當已知三個角時不能求三邊.(5)正確.由正弦定理知sin A，sin B，由sin Asin B得ab，即AB.2在ABC中，若A60，B45，BC3，則AC(B)A4B2CD解析由正弦定理得：，即，所以AC2.3在ABC中，a，b1，c2，則A(C)A30B45C60D75解析cos A，又0A180，A60.4在ABC中，若a18，b24，A45，則此三角形有(B)A無解B兩解C一解D解的個數不確定解析，sin Bsin Asin 45，sin B，又ab，B有兩個.5在ABC中，B120，AC7，AB5，則ABC的面積為！#.解析設BCx，由余弦定理得4925x210xcos 120，整理得x25x240，即x3.因此SABCABBCsin B35.一利用正、余弦定理解三角形(1)正弦定理是一個連比等式，在運用此定理時，只要知道其比值或等量關系就可以通過約分達到解決問題的目的，在解題時要學會靈活運用.(2)運用余弦定理時，要注意整體思想的運用.【例1】 如圖，在平面四邊形ABCD中，AD1，CD2，AC.(1)求cos CAD的值；(2)若cos BAD，sin CBA，求BC的長.解析(1)在ADC中，由余弦定理，得cosCAD.(2)設BAC，則BADCAD.因為cos CAD，cos BAD，所以sin CAD，sin BAD.于是sinBACsin (BADCAD)sin BADcos CADcos BADsin CAD.在ABC中，由正弦定理得，BC3.二利用正、余弦定理判定三角形的形狀利用正、余弦定理判定三角形形狀的技巧(1)“角化邊”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉化為只含邊的關系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀.(2)“邊化角”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉化為只含內角的三角函數間的關系，通過三角函數恒等變形，得出內角的關系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應用ABC這個結論.注意：在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解.【例2】 在ABC中，已知a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，試判斷ABC的形狀.解析(1)由已知，根據正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，又0A，所以A.(2)由(1)得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，聯立兩式得sin Bsin C.因為0B，0C，故BC，所以ABC是等腰三角形.三與三角形面積有關的問題三角形面積問題的常見類型及解題策略(1)求三角形的面積.對于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一個角就使用含哪個角的公式.(2)已知三角形的面積解三角形.與面積有關的問題，一般要利用正弦定理或余弦定理進行邊和角的互化.【例3】 ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面積為，求ABC的周長.解析(1)由已知正弦定理，得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C,2cos Csin (AB)sin C故2cos Csin Csin C可得cos C，所以C.(2)由已知，得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理，得a2b22abcos C7.故a2b213，從而(ab)225.所以ABC的周長為5.1(2018山西太原模擬)在銳角ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin A，a2，SABC，則b的值為(A)ABC2D2解析在銳角ABC中，sin A，SABC，cos A，bcsin Abc，bc3 ，由余弦定理得a2b2c22bccos A，(bc)2a22bc(1cos A)4612，bc2 .由得bc，故選A2(2018遼寧五校第一次聯考)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若直線bxycos Acos B0與axycos Bcos A0平行，則ABC一定是(C)A銳角三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰或直角三角形解析由兩直線平行可得bcos Bacos A0，由正弦定理可知sin Bcos Bsin Acos A0，即sin 2Asin 2B，又A，B(0，)，且AB(0，)，所以2A2B或2A2B，即AB或AB.若AB，則ab，cos Acos B，此時兩直線重合，不符合題意，舍去，故AB，則ABC是直角三角形，故選C3(2018東北育才模擬)已知ABC是斜三角形，內角A，B，C所對的邊的長分別為a，b，c.若csin Aacos C(1)求角C；(2)若c，且sin Csin(BA)5sin 2A，求ABC的面積.解析(1)根據，可得csin Aasin C，又csin Aacos C，asin Cacos C，sin Ccos C，tan C，C(0，)，C.(2)sin Csin(BA)5sin 2A，sin Csin(AB)，sin(AB)sin(BA)5sin 2A，2sin Bcos A25sin Acos A.ABC為斜三角形，cos A0，sin B5sin A.由正弦定理可知b5a，c2a2b22abcos C，21a2b22aba2b2ab，由解得a1，b5，SABCabsin C15.4(2016北京卷)在ABC中，a2c2b2ac.(1)求B的大小；(2)求cos Acos C的最大值.解析(1)由余弦定理及題設得cos B.又因為0b，所以B.(2)由(1)知AC，cos Acos Ccos Acoscos Acos Asin Acos Asin Acos.因為0A0，B為銳角，sin B.sin Asin B，AB，cos A.cos Ccos (AB)cos(AB).課時達標第22講解密考綱本考點考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形，判斷三角形的形狀，求三角形的面積等.三種考查內容均有呈現，一般排在選擇題、填空題的中間位置或解答題靠前的位置，題目難度中等偏易.一、選擇題1在ABC中，三內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a1，b，A，則B(B)AB或C或D解析根據正弦定理，得，sin B，B或.2在ABC中，若AB2，AC2BC28，則ABC面積的最大值為(C)AB2CD3解析AC2BC22ACBC，ACBC4.cos C，cos C，0C60.SACBCsin C，由不等式的性質可知當ACBC2時，面積S有最大值，Smax22，故選C3在ABC中，A45，C105，BC，則邊長AC為(B)A1B1C2D1解析根據題意有B1801054530，根據正弦定理，得AC1，故選B4在ABC中，AC，BC2，B60，則BC邊上的高等于(B)ABCD解析設ACb，BCa，ABc，由余弦定理b2a2c22accos B，得74c22c，解得c3.設BC邊上的高為h，則hcsin B.5鈍角三角形ABC的面積是，AB1，BC，則AC(B)A5BC2D1解析SABBCsin B1sin B，sin B，B或.當B時，根據余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B1225，AC，此時ABC為鈍角三角形，符合題意；當B時，根據余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B1221，AC1，此時AB2AC2BC2，ABC為直角三角形，不符合題意，故AC.6在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2(ab)26，C，則ABC的面積是(C)A3BCD3解析c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcosa2b2ab.由，得ab60，即ab6.SABCabsin C6.二、填空題7ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數列.若sin B，cos B，則ac的值為！3#.解析a，b，c成等比數列，b2ac.sin B，cos B，ac13，b2a2c22accos B，a2c237，(ac)263，ac3.8在ABC中，A60，AC4，BC2，則ABC的面積等于！2#.解析如圖所示，在ABC中，由正弦定理，得，解得sin B1，所以B90.所以SABCAB222.9在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若bca，2sin B3sin C，則cos A的值為！#.解析由2sin B3sin C及正弦定理得2b3c，即bc.又bca，ca，即a2c.由余弦定理，得cos A.三、解答題10在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(2cos A1)sin B2cos A1(1)求A的大小；(2)若5b2a22c2，求的值.解析(1)(2cos A1)sin B2cos A1，(2cos A1)(sin B1)0.0B0，cos A.0A，A.(2)在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos Ab2c2bc.5b2a22c2，5b2b2c2bc2c2，4b2bc3c20，4230.解得1(舍)或，.11ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知ab，c，cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B(1)求角C的大小；(2)若sin A，求ABC的面積.解析(1)由倍角公式，原等式可化為sin 2Asin 2B，即sinsin.ab，AB.又A，B(0，)，2B2A，解得AB，C(AB).(2)由正弦定理可求得a.ac，AC，cos A.sin Bsin(AC)sin(AC)，SA