走向高考 數學 路漫漫其修遠兮吾將上下而求索 新課標版 二輪專題復習 集合與常用邏輯用語 函數與導數 專題一 第四講函數與方程 函數的應用 專題一 命題角度聚焦 方法警示探究 核心知識整合 命題熱點突破 課后強化作業 學科素能培養 1 以填空 選擇題方式考查函數的零點存在范圍 個數 或給出零點個數求參數的取值范圍 2 函數的實際應用問題以大題方式呈現 或命制小巧的綜合應用函數圖象與性質解決的與實際生產生活聯系密切的選擇題 填空題 主要考查函數的單調性 導數的應用和均值不等式 不等式的求解與數列等知識 利用轉化思想解決方程問題 利用函數與方程思想解決函數應用問題 利用數形結合的思想方法研究方程根的分布問題是高考命題的趨勢 1 方程的根與函數的零點 方程f x 0有實數根 函數y f x 的圖象與x軸有交點 函數y f x 有零點 2 關于零點問題 要學會分析轉化 能夠把與之有關的不同形式的問題 化歸為適當方程的零點問題 1 f x 在 a b 上連續單調 f a f b 0 f x 在 a b 上存在唯一零點 2 f x 在 a b 上連續 f a f b 0 f x 在 a b 上不一定沒有零點 即零點情形不確定 3 函數模型的實際應用題基本解題步驟 1 閱讀理解 審清題意 讀題要做到逐字逐句 讀懂題中的文字敘述 理解敘述所反映的實際背景 在此基礎上 分析出已知是什么 求什么 從中提煉出相應的數學問題 2 根據所給模型 列出函數關系式 根據問題中的已知條件和數量關系建立函數關系式 在此基礎上將實際問題轉化為函數問題 3 利用數學方法將得到的常規函數 即數學模型 予以解答 求得結果 4 將所得結果轉譯成實際問題的解答 4 要會用導數工具來解決零點問題 1 f x 的圖象在 a b 上連續不斷 并且f a f b 0是f x 在 a b 上存在零點的充分條件 2 單調函數至多有一個零點 已知函數f x 4x m 2x 1有且只有一個零點 求實數m的取值范圍 并求出零點 解析 由已知得方程4x m 2x 1 0有且只有一解 令2x t t 0 則方程t2 m t 1 0有且只有一個正根 設方程t2 mt 1 0的兩根為t1 t2 則t1t2 1 0 函數的零點 解析 在同一坐標系中作出函數y f x 的圖象與直線y m 設兩圖象交點橫坐標從左向右依次為x1 x2 x3 x4 x5 由對稱性知x1 x2 x3 x4 又 x5 10 x1 x2 x3 x4 x5 10 方法規律總結 1 求f x 的零點值時 直接令f x 0解方程 當f x 為分段函數時 要分段列方程組求解 2 已知f x 在區間 a b 上單調且有零點時 利用f a f b 0討論 3 求f x 的零點個數時 一般用數形結合法 討論函數y f x 與y g x 的圖象交點個數 即方程f x g x 的解的個數 一般用數形結合法 4 已知零點存在情況求參數的值或取值范圍時 利用方程思想和數形結合思想 構造關于參數的方程或不等式求解 函數模型及其應用 分析 根據題意建立y與x的函數關系利用函數性質求解 點評 分段函數的最大值 分段函數的最值應分段求出y的最值 或范圍 進行比較 取較大者 如本題第 2 問 問題的轉化 轉化過程應注意等價性 全面性 如1 利潤 銷售總收入 固定成本 直接消耗成本 2 因市場對此產品年需求量為500臺 所以當產品超過500臺時 也只能銷售500臺 3 求x為何值時利潤最大 轉化為求分段函數 使y最大時對應的自變量x的值 4 企業不虧本 轉化為滿足y 0來解決 2 當0 t 10時 y的取值范圍是 1200 1225 當t 5時 y取得最大值為1225 當10 t 20時 y的取值范圍是 600 1200 在t 20時 y取得最小值為600 答 總之 第5天日銷售額y取得最大值為1225元 第20天日銷售額y取得最小值為600元 方法規律總結 1 給出圖象的題目要注意從圖象中提取信息 這類題目常常是先求解析式 再討論有關函數的性質或求最值 解不等式等 2 實際應用問題 要注意將背景中涉及題目解答的部分先行翻譯為數學解題語言 并將條件和結論與學過的數學知識方法掛靠 依據相關知識與方法解決 文 使關于x的不等式 x 1 k x有解的實數k的取值范圍是 a 1 b 1 c 1 d 1 答案 a 數形結合在函數 方程 不等式中的應用 答案 b 方法規律總結 關于函數零點的綜合題 常常將冪函數 指數函數 對數函數 三角函數 二次函數揉合在一起組成一個大題 零點作為其條件的構成部分或結論之一 解題時主要依據題目特點 分離參數 將參數的取值范圍轉化為求函數的值域 數形結合 利用圖象的交點個數對參數取值的影響來討論 構造函數 借助于導數來研究 函數與方程思想 分類討論思想在函數方程不等式中的應用 失誤與防范 本題解題過程中最容易出現的錯誤是 忽視對參數b取值的討論 盲目認定b 0 或b 0 造成漏解 點評 此類含參數的三角 指數 對數等復雜方程解的問題 通常有兩種處理思路 一是分離參數構建函數 將方程有解轉化為求函數的值域 二是換元 將復雜方程問題轉化為熟悉的二次方程 進而利用二次方程解的分布情況構建不等式或構造函數加以解決 方法規律總結 和函數與方程思想密切關聯的知識點 1 函數與不等式的相互轉化 對函數y f x 當y 0時 就化為不等式f x 0 借助于函數的圖象和性質可解決有關問題 而研究函數的性質也離不開不等式 2 數列的通項與前n項和是自變量為正整數的函數 用函數的觀點去處理數列問題十分重要 3 解析幾何中的許多問題 例如直線與二次曲線的位置關系問題 需要通過解二元方程組才能解決 這都涉及二次方程與二次函數的有關理論 4 立體幾何中有關線段 角 面積 體積的計算 經常需要運用列方程或建立函數關系的方法加以解決 引進空間向量后 立體幾何與函數的關系就更加密切 5 理 函數f x a bx n n n 與二項式定理密切相關 利用這個函數 用賦值法和比較系數法可以解決很多有關二項式定理的問題及求和問題 審題之逆向分析 答案 b 方法規律總結 正難則反 在正面思考問題一時無從著手遇到困難時 或正面情形比較多 其對立情形相對很少時 或含有 至多 至少 及否定性命題可考慮逆向思維或用補集思想求解 試求常數m的范圍 使曲線y x2的所有弦都不能被直線y m x 3 垂直平分 分析 正面解決較難 考慮到 不能 的反面是 能 被直線垂直平分的弦的兩端點關于此直線對稱 于是問題轉化為 拋物線y x2上存在兩點關于直線y m x 3 對稱 求m的取值范