圖形計算器在高一函數教學中的幾個應用李光輝 天津外國語大學附屬外國語學校（300230）王光明天津師范大學教師教育學院（300387） 摘要：函數是高中數學教學的重要內容。應用圖形計算器的函數功能和繪圖功能，可以大大的簡化問題，使學生在應用中加深對函數概念的理解，逐步體會數形結合的重要思想，激發學生學習數學的興趣。利用圖形計算器建立數學模型的一般步驟：首先，運用圖形計算器做出散點圖；其次，猜測函數模型，求出函數解析式；最后，做出函數圖像，對擬合程度進行分析比較，也可運用相應數值進行檢驗分析。關鍵字：圖形計算器；函數教學；函數模型；數學應用引言：現代信息技術的廣泛應用正在對數學課程內容、數學教學、數學學習等方面產生深刻的影響。高中數學課程注重信息技術與數學課程的有機整合，利用信息技術來呈現以往教學中難以呈現的課程內容，在保證筆算訓練的前提下，盡可能使用科學型計算器、各種數學教育技術平臺，加強數學教學與信息技術的結合，鼓勵學生運用計算機、計算器等進行探索和發現，這樣有利于學生認識數學的本質，激發學習數學的熱情，提高數學素養。使現代信息技術成為學生學習的有效手段和工具，成為獲取信息資源和開展學習交流的廣闊平臺。在認識并發揮現代信息技術對數學課程改革的積極作用的同時，高中數學課程隨著圖形計算器、計算機等輔助工具的進入逐步搭建了基于信息技術的數學活動平臺，學生借助計算器和簡單的數學應用軟件在數值計算和圖像、圖形等問題的探索研究中經歷了通過數字化數學活動觀察數學現象、探究數學問題的過程，體驗應用現代信息技術解決數學問題的可能性和優越性，認識它與傳統數學方法不同的特點。“圖形計算器（Graphing Calculator，GC），是一種手持的數學工具，更具體的說是一種專門用于數學學習與教學（中學與大學）的手持技術。” 王長沛.圖形計算器,不可替代的“數學工具”?J.中小學信息技術教育,2007(3).圖形計算器具有如：“便攜，實時，準確，綜合，直觀” 吳紹兵,于明.關于課堂教學圖形計算器使用恰當性的研究J.數學教育學報,2009(2).等優點，它具有強大的數據處理功能、函數功能、圖形功能、簡單的編程功能和進行一些數理實驗功能，可以用數字的、解析的和圖形的等多種方式表示各種數學對象，具有很好的交互性。利用這些功能學生可以充分動手實踐進行數學活動。因此，信息技術與數學課程的整合可以基于圖形計算器作為手持技術搭建教師和學生理想的數學活動平臺。下面結合自身教學實踐，談一下圖形計算器在高一數學函數教學中的一些應用。函數是高中數學教學的重要內容，高中數學的絕大多數問題都與函數有緊密地聯系。但是，因為函數部分的概念抽象，綜合程度高，解題方法靈活多樣，故其難點較多，學生學習起來也很吃力。應用圖形計算器的函數功能和繪圖功能，可以大大的簡化問題，使學生在應用中加深對函數概念的理解，逐步體會數形結合的重要思想，激發學生學習數學的興趣。1 借助GC，研究初等函數的性質基本初等函數是高一數學的重要內容，也是教學中的重難點。傳統的教學主要是老師傳授知識，學生學得慢，忘得快，而且學習興趣不高。借助圖形計算器讓學生自主探究這些基本初等函數的圖像和性質，學生學習興趣高，學得快，而且記得牢。例如：在指數函數的教學中，指數函數的底數與函數圖象的關系，既是教學的重點，又是難點。多數情況下，老師會直接給出函數的圖像，然后通過圖像告訴學生指數函數的一些性質。這樣教學雖然教師講起來會比較省力，但是學生接受起來會比較困難，更重要的一點是，學生忘得快。俗話說：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，如果能將探索指數函數性質的任務交給學生，讓學生利用圖形計算器來探究指數函數的底數與函數圖象的關系，教師做適當的引導。這樣處理，一方面減輕了教師的負擔，另一方面也能取得較為理想的效果，可謂一舉兩得。案例一：指數函數的圖象和性質教學案例節選問題：你能類比前面討論函數性質時的思路，提出研究指數函數性質的內容和方法嗎？教學方法：利用圖形計算器，分組探究，合作學習。研究方法：全班分成若干小組，小組成員借助圖形計算器，畫出函數的圖象，結合圖象研究指數函數的性質。研究內容：指數函數的定義域、值域、特殊點、單調性、最大（小）值、奇偶性。探索研究：教師設疑：1請你利用圖形計算器，作出下列函數的圖象：（1），觀察這三個函數圖像與底數之間有什么關系？小組探究：，的圖像分別如下： 總結歸納：當底數1時，底數越大，圖像在第一象限上升越快。（2），觀察這三個函數圖象與底數之間有什么關系？小組探究：，的圖像分別如下： 總結歸納：當0底數”or“”or“”or“”or“”or“”or“”or“”or“”）通過學生自己動手，在教師的引導下主動探究，歸納總結出指數函數的性質，一方面激發了學生學習數學的興趣，活躍了課堂氣氛，同時培養了學生自己研究問題的意識和能力，另外，還取得了較傳統教學好的教學效果，可謂一舉多得。2 借助GC，研究未知函數圖像和性質在學習函數的性質時，對于未知的函數，學生往往無從下手。此時，如果我們能夠借助圖形計算器，讓學生自己動手畫出圖像，總結性質，無疑將會有利于培養學生的自主探究意識和數學能力。尤其是在研究復合函數時，學生往往不明白為什么需要判斷“內、外”層函數的單調性，在處理這一問題時，教師往往也沒用很好的辦法，只能讓學生先記住方法，通過死記硬背來做題。如果借助圖形計算器，讓學生能夠首先直觀的得到復合函數的圖像，再來研究和理解“同增異減”，就容易多了。案例二：復合函數單調性的研究1 請你利用圖形計算器，研究函數的單調性，以及的單調性與，單調性的關系？2 可以讓學生分別作出函數，和的圖像，然后通過觀察和教師的引導，得出復合函數單調性的判斷方法“同增異減”。內層函數的圖像： 單調區間：單調減區間；單調增區間。外層函數的圖像： 單調區間：在整個定義域上為增函數。復合函數的圖像： 單調區間：單調減區間；單調增區間。總結：在區間上單調遞減，單調遞增，二者單調性相異，所以復合函數在上單調遞減；在區間上單調遞增，也單調遞增，二者單調性相同，所以復合函數在上單調遞增。接下來，我再以高中階段一個重要的函數“對勾函數”為例，簡單介紹一下GC在研究未知函數圖像和性質中的應用。案例三：研究函數的圖象及性質在函數的教學中，遇到函數的時候，老師會直接給出它的圖像和關鍵點，并讓學生牢記，以便運用。學生可利用圖形計算器作出它的圖像，總結出它的性質，和以前老師講解的進行驗證比對。利用圖形計算器作出函數的圖象畫出函數圖象后，利用坐標跟蹤功能可度量出函數圖象在第一象限和第三象限的最低點的橫坐標是1和1， 歸納性質：函數的單調遞增區間是( ,1)和( 1 ,+)，單調遞減區間是( 1 ,0) 和 ( 0 , 1) ，圖象關于原點對稱，是一個奇函數拓展延伸：由此，我們又畫出了的圖象，發現了圖象在第一象限和第三象限的最低點的橫坐標分別是和， 可知：圖象在第一象限和第三象限的最低點的橫坐標是和，并且函數的單調遞增區間是( ,)和(,+)，單調遞減區間是( ,0) 和 ( 0 , ) ，圖象關于原點對稱，是奇函數小結：利用圖形計算器研究未知函數的一般步驟：利用圖形計算器的繪圖功能，作出函數圖像（可以先選擇特殊的，如要研究的性質，可以先做出的圖像）；根據函數圖象，找到圖像的最值點；利用最值點，將圖像劃分為幾部分，分別判斷函數在這幾部分的單調性和奇偶性；將這些性質推廣到一般形式。學生可以通過更多的操作，感知和體會知識的發生過程及數學問題的本質，方便學生對規律的探究和結果的驗證。這樣的學習不僅僅使學生獲取知識更具有實踐性、主動性，同時也有助于學生形成一種良好的學習習慣和學習觀念，讓學生認識到：數學的學習不能只是被動的接受，而是需要自己主動地建構。3 借助GC，建立數學模型，解決實際問題在中學開展數學建模活動，可以激發學生的學習動機和興趣；可以培養學生的直覺思維能力和發散思維能力。培養學生運用數學建模解決實際問題的能力，關鍵是把實際問題抽象為數學問題。因此必須首先通過觀察分析、提煉出實際問題的數學模型，再把數學模型納入某知識系統去處理。 學生借用圖形計算器這一數學工具既培養了他們的數學思想，又提高了他們的信息素養。在使用圖形計算器的過程中，他們能夠方便、快捷地建立函數模型，從而培養他們利用數學解決生活實際問題的能力，使他們得到成功的喜悅，進一步建立學好數學的信心。例如，在高一數學必修一第三章函數的應用部分，我們就可以利用圖形計算器來讓學生了解數學建模的一般方法和步驟，提高學生的數學應用能力。案例四：利用圖形計算器，建立數學模型，解決實際問題在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數據：年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6根據以上數據，人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關系？ 首先，運用圖形計算器做出散點圖： 其次， 可以運用必修一中函數應用的相關知識，求解相應的函數表達式，但是基于圖形計算器強大的操作功能，所以學生可以直接根據不同需要選擇不同的函數類型進行猜想并擬合。猜想可能的函數模型并求解相應的函數表達式：（1）一次函數：（回歸直線） （2）二次函數： （3）指數函數： （4）對數函數： （5）冪函數： 第三，運用圖形計算器既可以通過圖形觀察函數圖像與散點圖的擬合程度，又可以直接找到相應的函數表達式，簡化了我們求解函數表達式的過程。但是問題也隨之產生，有時候單純從函數圖像，我們并不能發現哪一個函數與實際數據的擬合程度更好。這時我們可以借助選修2-3統計案例中學到的擬合函數的函數值與實際數據的誤差平方和來衡量不同擬合函數的優劣。平方和越小代表函數的擬合程度就越高。具體數據如下： 一次函數擬合誤差 二次函數擬合誤差 指數函數擬合誤差 對數函數擬合誤差冪函數擬合誤差所以根據誤差平方和數值的大小，我們可以判斷出與這一實際數據相對應的對數函數的擬合程度最高。通過上述的建模的過程，學生不但解決了實際問題，同時對于初等函數的圖像和性質有了更深的認識和了解。通過以上這個例子的講解，可以看出，借助圖形計算器我們可以引導學生把不同模塊的內容整合在一起，從不同的角度，不同的方面去思考解決問題的方法。指引學生去尋找解決問題的多種不同方法，讓他們形成做數學，玩數學的學習習慣，這樣才能更大限度的發揮出圖形計算器強大的功能。小結：利用圖形計算器建立數學模型的一般步驟首先，運用圖形計算器做出散點圖；其次，猜測函數模型，求出函數解析式；最后，做出函數圖像，對擬合程度進行分析比較，也可運用相應數值進行檢驗分析。4 結束語作為高中階段最重要的知識點之一，函數既是教學中的重難點，又是學生學習中容易出問題的地方。充分利用圖形計算器，發揮手持技術的優勢，結合高中數學函數教學，通過觀察、猜想、動手操作、問題解決等一系列的學習過程,培養學生的數學應用意識，激發學生學習數學的興趣，樹立學習數學的自信心。 參考文獻：王長沛（2007）.圖形計算器,不可替代的“數學工具”.中小學信息技術教育,3，9-12.吳紹兵,于明（2009）.關于課堂教學圖形計算器使用恰當性的研究.數學教育學報, 18(2)，59-62.史炳星（2001）.談談圖形計算器對我國數學教育的影響.數學教育學報，10（1），38-41.郭立昌（2001）.圖形計算器與中學數學創新教育幾個值得思考的問題.數學教育學報，10（4），47-51.劉艷云（2004）.運用TI圖形計算器開發學生的創造潛能.數學教育學報，13（1），56-59.張楠（2009）.HP圖形計算器在高中數列教學中的應