試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年上海市初中學業水平考試數學試卷一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．下列代數式中，計算正確的是（

）A． B．C． D．2．用代數式表示與差的平方，正確的是（

）A． B． C． D．3．下列函數中，為正比例函數的是（

）A． B． C． D．4．某學校組織了一場體育測試，現抽出60個人的體育考試分數，并對此進行統計，如圖所示．關于這60人的分數，下列說法正確的是（

）A．中位數是12 B．中位數是75 C．眾數是21 D．眾數是855．在正方形中，的值為（

）A． B．1 C． D．26．在銳角三角形中，，，的外接圓為，且半徑為5，邊中點為，如果以為圓心的圓與相交，那么的平徑可以為（

）A．2 B．5 C．8 D．9二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．分解因式：．8．不等式組的解集為．9．已知關于的一元二次方程沒有實數根，則的取值范圍是．10．已知一個反比例函數在各個象限內，隨的增大而減小，那么這個反比例函數的解析式可以是．（只需寫出一個）11．方程的解為．12．將函數的圖像向下平移2個單位后，得到的新函數的解析式為．13．小明與小杰在玩卡牌游戲，已知小明手里有1．2，3，4四張牌，小杰手里有2，4，6，8四張牌，小明從小杰手里抽出一張牌，如果抽到小杰手中四張卡牌中的任意一張概率都相等，那么小明抽出的這張卡牌中，和自己手中某一張卡牌的數字一樣的概率為．14．某公司需要員工上班時通過門禁，在門禁上方設置了人臉掃描儀，已知掃描儀（線段）的豎直高度2.7米，某人（線段）身高為1.8米，掃描儀測得，那么該人與掃描儀的水平距離為米．（備用數據：，，，精確到米）15．為了解乘客到達高鐵站后離開的方式．某地開展問卷調查，共收到有效答復2000張，調查結果如圖所示．如果當地每天離開高鐵站的人數約為1.8萬人，那么當地每天乘坐出租車離開的人數大約為．16．據報道，我國某科研團隊近期成功研制出一種新閃存器件，其快速擦寫速度全球領先．已知一皮秒等于秒，該器件執行一次擦寫需要400皮秒，則該器件一秒可以擦寫次（科學記數法表示）．17．在矩形中，在邊上，關于直線的對稱點為，聯結，，如果四邊形是菱形，那么的值為．18．已知一個圓與一個角的兩邊各有兩個公共點，且在兩邊上截得的兩條弦正好是該圓內接正五邊形的兩條邊，那么這個角的大小是．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．計算：．20．解方程：．21．已知學校熱水器有一個可以儲200升（L）水的儲水裝置，且水在裝滿儲水裝置時會自動停止，如圖所示為儲水量與加水時間的關系，已知溫度（單位：℃）與的關系為：．(1)求關于的函數解析式并寫出定義域；(2)當水加滿時，儲水裝置內水的溫度為多少?22．小明正在進行探究活動：分割梯形并將其拼成等腰三角形，請你幫他一起探究．(1)如圖（1）所示，在梯形中，，．設為邊中點，將繞點旋轉，點旋轉至點的位置，得到的是等腰三角形，其中，設，求邊的長（用表示）；(2)如圖（2）所示，已知梯形中，，且，．請設計一種方案，用一條或兩條直線將梯形分割，并使得分割成的幾個部分可以通過圖形運動拼成與剩余部分不重疊無縫隙的等腰三角形．請寫出兩腰的線段，以及這兩條或一條直線與梯形的交點的位置．（模仿（1）中的論述語言：為邊中點，是梯形的頂點）．23．如圖，已知，為中的兩弦，聯結，交弦于點，，且．(1)求證：；(2)如果，求證：．24．在平面直角坐標系中，拋物線過，，與軸交于點，頂點為．(1)求，的值．(2)設拋物線過點，，且與軸交于點，頂點為．①求的值；②當四邊形是直角梯形時，求該直角梯形中最小內角的正弦值．25．在平行四邊形中，，分別為邊，上兩點．(1)當是邊中點時，①如圖（1），聯結，如果，求證：；②如圖（2），如果，聯結，交邊于點，求的值；(2)如圖（3）所示，聯結，，如果，，，．求的長．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】本題考查代數式的運算，涉及合并同類項、同底數冪相乘、冪的乘方等基本法則；逐一驗證各選項的正確性即可．【詳解】解：A：，合并同類項時，系數相加，字母部分不變，的系數為1，故，結果為，計算正確；B：，加法運算中，指數不改變，僅系數相加；正確結果應為，而非，計算錯誤；C：，同底數冪相乘，底數不變，指數相加；，結果應為，而非，計算錯誤；D：，冪的乘方運算中，底數不變，指數相乘；，結果應為，而非，計算錯誤；故選：A．2．B【分析】本題考查了列代數式，理解題中的數量關系是解題的關鍵；“a與b差的平方”指先求a減b的差，再將這個差整體平方，即．【詳解】解：A.：這是平方差公式的結果，表示的平方減去的平方，而非差的平方，錯誤，不符合題意；B.：表示先求差再平方，正確，符合題意；C.：僅對平方后減去，未對差整體平方，錯誤，不符合題意；D.：表示減去的平方，運算順序錯誤，錯誤，不符合題意；故選：B．3．D【分析】本題考查了正比例函數的定義，形如（為常數且）的函數是正比例函數；根據此定義逐一驗證各選項是否符合該形式即可．【詳解】解：A：，該函數含常數項“”，不符合正比例函數的形式，不符合題意；B：，該函數為二次函數（最高次數為2），而正比例函數為一次函數，不符合題意；C：，該函數可寫為，屬于反比例函數，不符合一次函數的形式，不符合題意；D：，該函數可化簡為，符合（）的形式，是正比例函數，符合題意；故答案為：D．4．D【分析】本題考查了眾數與中位數，一組數據中出現次數最多的數叫做眾數；把一組數據按大小排列，最中間一個（奇數個數據）或兩個（偶數個數據）數據的平均數是中位數，按照這兩個概念進行求解即可．【詳解】解：從統計圖知，85分出現的次數最多，故眾數是85；把分數按大小排列，最中間的兩個數是第30與31個數，而，故中位數是；故只有選項D正確；故選：D．5．C【分析】本題考查了向量、向量的加法及向量模，理解這些知識是關鍵；在正方形中，向量相加的模長即為正方形對角線的長，它與邊長的比值可通過勾股定理直接計算即可．【詳解】解：設正方形邊長為，由勾股定理得：；在正方形中，表示從A到B再到C的路徑，其結果為向量，即；∴．故選：C．6．【解析】略7．【分析】原式提取ab進行分解即可．【詳解】解：原式=故答案為：【點睛】此題考查了提公因式法的運用，熟練掌握因式分解的提公因式方法是解本題的關鍵．8．【分析】本題考查求不等式組的解集，先求出每一個不等式的解集，找到它們的公共部分，即為不等式組的解集．【詳解】解：由①，得：；由②，得：；∴不等式組的解集為：；故答案為：．9．【分析】本題考查根的判別式，根據方程沒有實數根，得到，進行求解即可．熟練掌握根的判別式與根的個數之間的關系，是解題的關鍵．【詳解】解：由題意，得：，解得：；故答案為：．10．（答案不唯一）【分析】本題主要考查了反比例函數的增減性，根據增減性可知該反比例函數的比例系數大于0，據此可得答案．【詳解】解：∵一個反比例函數在各個象限內，隨的增大而減小，∴該反比例函數的比例系數大于0，∴符合題意的反比例函數解析式可以為，故答案為：（答案不唯一）．11．【分析】本題考查解無理方程，利用平方法將方程轉化為一元一次方程，進行求解，檢驗即可．【詳解】解：∵，∴，∴；經檢驗，是原方程的解，故答案為：．12．【分析】本題考查了二次函數圖像的平移，平移法則是：左加右減，上加下減；據此法則即可求解．【詳解】解：∵函數的圖像向下平移2個單位，∴平移后的新函數的解析式為；故答案為：．13．【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，直接用小杰手中卡牌上的數字與小明手中卡牌上的數字相同的卡牌數除以小杰的卡牌總數即可得到答案．【詳解】解：∵小杰一共有4種卡牌，其中有2張卡牌上的數字與小明手中卡片的數字相同，∴小明抽出的這張卡牌中，和自己手中某一張卡牌的數字一樣的概率為，故答案為：．14．【分析】本題考查解直角三角形的實際應用，過點作于點，由題意，得，線段的和差求出的長，解，求出的長即可．添加輔助線構造直角三角形，是解題的關鍵．【詳解】解：過點作于點，則：米，∵米，∴米，在中，，∴米；故答案為：．15．1800人【分析】本題考查利用樣本估計總體，扇形統計圖，根據扇形統計圖求出樣本中當地每天乘坐出租車離開的人數所占的比例，再用總人數乘以這個比例，進行計算即可．【詳解】解：（萬人）（人）；故答案為：1800人．16．【分析】本題主要考查了科學記數法，根據題意可得1秒等于皮秒，再由該器件執行一次擦寫需要400皮秒列式求解即可．【詳解】解：，∴該器件一秒可以擦寫次，故答案為：．17．##【分析】本題主要考查了矩形的性質，菱形的性質，軸對稱的性質，勾股定理，由軸對稱的性質可得，設，則，由菱形的性質得到，證明，利用勾股定理可得，據此可得答案．【詳解】解；∵關于直線的對稱點為，∴，設，則，∵四邊形是菱形，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，故答案為：．18．【解析】略19．【分析】本題考查的是實數的混合運算，二次根式的混合運算，分數指數冪的含義，先分母有理化，計算分數指數冪，絕對值，負整數指數冪，再合并即可.【詳解】解：.20．【分析】本題主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化為整式方程，再解方程并檢驗即可得到答案．【詳解】解：方差兩邊同時乘以得：，去括號得：，移項，合并同類項得：，∴，∴或，解得或，檢驗，當時，，此時是原方程的增根，當時，，此時是原方程的解，∴原方程的解為．21．(1)(2)【解析】略22．(1)(2)見解析【分析】本題考查了變換：旋轉、平移與軸對稱，等腰三角形的性質等知識；（1）過點D作于H，則由等腰三角形的性質得；證明四邊形是矩形，則有；再由旋轉知，則可求得的長，最后求得結果；（2）連接，把通過平移變換，再軸對稱變換得到，則為滿足條件的等腰三角形．【詳解】（1）解：如圖，過點D作于H，∵，∴；∵，，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴；由旋轉知，∴，∴，∴；（2）解：如圖（2），連接，把沿平移使M與P對應，得到；再把沿對折，得到，H與N是對應點，則是等腰三角形，其中兩腰分別為，點N、Q分別是梯形的頂點．23．(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，弧，弦與圓心角之間的關系，全等三角形的性質與判定，