9.1.2不等式的性質1.理解不等式的性質.2.依據不等式的性質,會解簡單的一元一次不等式.3.能在數軸上表示不等式的解集.4.能解簡單的一元一次不等式的應用題.1.借助于等式、一元一次方程的知識,學習不等式的性質和解不等式.2.通過生活情境理解不等式解的特殊含義.培養學生主動探索的精神和合作交流的意識.【重點】1.不等式的性質和不等式的解法.2.不等式在生活中的簡單應用.【難點】1.用數軸表示不等式的解集.2.理解不等式解集的實際意義.第課時理解不等式的性質.經歷通過類比、猜測、驗證,發現不等式性質的探索過程,初步體會不等式與等式的異同.體會在解決問題的過程中與他人交流合作的重要性.【重點】理解并掌握不等式的性質.【難點】比較等式性質和不等式性質的區別.【教師準備】不等式性質的板書投影.【學生準備】復習等式的有關知識.導入一:設“”“”“”分別表示三種不同的物體,現用天平稱兩次,情況如圖所示,把,這三種物體按質量從大到小排列.解:設,的質量分別為a,b,c,根據圖形,可得a+c2a,2a=3b,故可得cab.即.設計意圖通過這個思維難度不大的情境,需要學生借助于等式的知識進行思考.同時這里也暗含了不等式的性質.導入二:對于某些簡單的不等式,我們可以直接得出它們的解集,例如不等式x+36的解集是x3,不等式2x8的解集是xx- 54,直接得出解集就比較困難.因此,還要討論怎樣解不等式.與解方程需要依據等式的性質一樣,解不等式需要依據不等式的性質.為此,我們先來看看不等式有什么性質.設計意圖借助于教材中的這段引言,直接提出了兩個問題:求不等式的解集不能完全靠觀察,還需要靠計算去求得.另一個問題是依據什么去解不等式.這兩個問題的提出,為本節課的兩個課時的學習指明了方向.過渡語我們知道,等式兩邊加或減同一個數(或式子),乘或除以同一個數(除數不為0),結果仍相等.不等式是否也有類似的性質呢?一、探究不等式的性質問題1等式有哪些性質?問題2用“”或“3,5+23+2,5- 23- 2;(2)- 12,6525,6(- 5)2(- 5);(4)- 2b,那么acbc.問題2根據前面問題當中的(3)和(4),你總結的不等式的性質是什么?怎樣用數學語言去表示?解:不等式兩邊乘(或除以)同一個正數,不等號的方向不變.符號表示:如果ab,c0,那么acbc或acbc.不等式兩邊乘(或除以)同一個負數,不等號的方向改變.符號表示:如果ab,c0,那么acbc或acb,那么acbc.師:讓學生再仿照等式的性質2,在不等式的兩邊乘同一個數,看結果有何特點,交流一下并總結出來.生:先自己任意確定一個不等式,然后按要求變形,觀察特點,交流并總結.說明:這里教師設計了一個不容易發現的陷阱,很可能會引起學生的爭論,這正是教師所期望的,思維快但考慮不周的學生可能會做出類似下面的推導:因為35,3252,312512,所以在不等式的兩邊乘同一個數,不等號的方向不變.而思維縝密的學生會做出類似的反駁:35(- 2),所以上面的總結是錯的.師:引導學生做出正確的總結.生:細致觀察發現在不等式的兩邊乘同一個正數與乘同一個負數結果不同,從而總結出:不等式兩邊乘同一個正數,不等號的方向不變;不等式兩邊乘同一個負數,不等號的方向改變.設計意圖讓學生在爭論中發現等式和不等式的性質的不同之處,從而更好地理解不等式的性質3.總結:不等式性質2:不等式兩邊乘(或除以)同一個正數,不等號的方向不變.符號表示:如果ab,c0,那么acbc或acbc.不等式性質3:不等式兩邊乘(或除以)同一個負數,不等號的方向改變.符號表示:如果ab,c0,那么acbc或ac”或“b,則2a+12b+1;(2)若- 54y10,則y- 8,(3)若a0,則ac+cbc+c.;(4)若a0,b0,cb,將不等式兩邊都乘2,由不等式的性質2,得2a2b,再由不等式的性質1,得2a+12b+1;(2)因為- 54y- 8;(3)因為a0,將不等式兩邊都乘c,由不等式性質2,得acbc,再由不等式的性質1,得ac+c0,b0,兩邊都乘c,而c0,由不等式性質3,得(a- b)c(2)(3)(4)0;a+ba+c;bcac;abac.A.1個B.2個C.3個D.4個解析由數軸上a,b,c對應點的位置可知a0,b0,cbc.因為bc,所以不等式兩邊都減去c,不等號方向不變,所以b- c0,正確;因為bc,所以不等式兩邊都加a,不等號方向不變,所以a+ba+c,正確;因為ba,cac,正確;因為bc,a0,不等式兩邊同乘a,不等號方向不變,所以abac,正確.故選D.知識拓展不等式的概念和性質與等式的概念和性質的相同點和不同點.相同點:不論是等式還是不等式,都可以在它的兩邊加或減同一個數或代數式,乘或除以同一個正數,而保持符號不變.不同點:(1)對于等式,在它的兩邊乘或除以同一個正數或同一個負數,情況是一樣的,等式仍然成立;但對于不等式,在它的兩邊乘或除以同一個正數或同一個負數卻大不一樣:當兩邊乘或除以的是正數時,不等號的方向不變,而當兩邊乘或除以的是負數時,不等號的方向要改變.這是等式沒有的性質,它是不等式特有的,在運用不等式的性質時要特別注意這一點.(2)由于不等號“”或“b,則a- b0,其根據是()A.不等式的性質1B.不等式的性質2C.不等式的性質3D.以上選項均不對解析:根據不等式的性質1,不等式兩邊都減去b,得a- b0.故選A.2.若xy,則下列式子錯誤的是()A.x- 3y- 3B.- 3x- 3yC.x+3y+3D.x3y3解析:由不等式的性質1,2可知把不等式xy兩邊分別減3,加3,除以3,不等號的方向均不變,所以選項A,C,D正確,而由不等式的性質3可知把不等式xy兩邊同時乘- 3,不等號方向應改變,所以選項B錯誤.故選B.3.若ax5,則a的取值范圍是()A.a0C.a0(或a=0)解析:兩邊同時除以a,不等號方向發生了改變,說明a是負數,即a”或“b,則2a2b;(2)若- 2y10,則y- 5;(3)若a0,則ac- 1bc- 1;(3)若ab,c(2)(3)(4)b,bcB.若ab,則acbcC.若ab,則ac2bc2D.若ac2bc2,則ab2.已知實數a,b,若ab,則下列結論正確的是()A.a- 5b- 5B.2+a2+bC.a3b3D.- 3a- 3b3.由xay的條件是()A.a0B.a3得a5,變形的根據是.5.用不等號填空,并說明是根據不等式的哪一條性質.(1)若x+25,則x3,根據;(2)若- 34x- 1,則x43,根據.【能力提升】6.已知ab,有下列不等式:- 1+12a- 1+12b;- 3a- 3- 3b- 3;- a+2- b+2;- 2a+2y,則下列不等式中,正確的是()A.axayB.a2xa2yD.a2xa2y(或a2x=a2y)8.實數a,b,c在數軸上對應的點的位置如圖所示,則下列式子中正確的是()A.a- cb- cB.a+cbcD.abcb9.若a2,則- 3a+60(填“”).10.已知ab,比較每組數的大小,并說明理由.(1)a- 2,b- 2;(2)- 34a,- 34b;(3)m2a,m2b(m0).【拓展探究】11.當x=時,不等式5x+62x- 12成立.(在橫線上填上你認為恰當的一個數即可)12.習題課上,老師在黑板上出了一道有關7a與6a的大小比較問題,小文不假思索地回答:“7a6a.”小明反駁道:“不對,應是7ab,bc;選項B.當c=0時,ac=bc,即也不能根據不等式的性質確定acbc;選項C.當c=0時,ac2=bc2,即同樣也不能根據不等式的性質確定ac2bc2;選項D.ac2bc2中隱含c0,則可以根據不等式的性質在不等式的兩邊除以不等于0的c2,從而確定ab.故選D.)2.D(解析:對A,B,C,D四個選項中的不等式逐一驗證,首先看不等式兩邊進行了什么運算,然后再判斷這個運算是否符合不等式的性質,從而得出正確的結論.不等式的性質有三條,分別是:(1)不等式兩邊加(或減)同一個數或式子,不等號的方向不變,由此確定選項A,B都是錯誤的;(2)不等式兩邊乘(或除以)同一個正數,不等號的方向不變,由此確定選項C是錯誤的;(3)不等式兩邊乘(或除以)同一個負數,不等號的方向改變,由此確定選項D是正確的.故選D.)3.B(解析:根據不等式的性質3:不等式的兩邊乘或除以同一個負數,不等號的方向改變解答.因為不等式的兩邊乘a,不等號的方向改變,所以a5.)5.(1)性質1(2)性質36.A(解析:因為ab,所以由不等式的性質2,得12a12b,再由不等式的性質1,得- 1+12a0,因為xy,所以a2xa2y.綜上,得a2xa2y(或a2x=a2y).故選D.)8.B(解析:本題考查了不等式的性質,掌握不等式的三個性質以及讀懂數軸上的數是解題的關鍵.從圖上可知ab0c,所以acbc,選項A是錯的,選項B是對的;選項C應該是accb,錯用不等式的性質3.故選B.)9.(解析:由a- 6;再根據不等式的性質1,兩邊加6,得- 3a+60.)10.解:(1)a- 2b- 2.因為ab,運用不等式的性質1:兩邊減2,得a- 2b- 2.(2)- 34ab,運用不等式的性質3:兩邊乘- 34,得- 34am2b.因為m0,所以m20,所以運用不等式的性質2:兩邊乘m2,得m2am2b.11.2(解析:先根據不等式的性質,將5x+62x- 12變形得到x- 6,只要在x- 6這一范圍內任取一個數即可.答案不唯一.)12.解:他們三人的觀點都不正確,因為沒有全面考慮a的性質,小文、小明分別是把a看作正數、負數來考慮的,顯然都不全面.小芳雖然考慮了a的正、負性,但忽略了a為0的情形.正確的觀點是:(1)當a0時,根據不等式的性質2知7a6a;(2)當a0時,根據不等式的性質3知7a(2)(3)下列變形正確的有.由a- bc- b,得ac;由mn,得m- 3n- 2;由ab,得到ambm;由ma2na2,得到mn- 3,因為n- 2n- 3,所以不能判斷m- 3與n- 2的大小,所以不正確;第題,因為m的取值可能是非正數,所以是錯的;第題,a2不可能等于零且為正數,所以是正確的.故填.解題策略利用性質1要注意:加(或減)的數必須為同一個數.利用性質2要注意:乘(或除)的數必須為同一個正數.利用性質3要注意:乘(或除)的數必須為同一個負數;不等號方向要改變.甲從一個