1、5.1任意角和弧度制5.1.1 任意角5.1.2 弧度制 P255.2三角函數的概念5.2.1 三角函數的概念 P435.2.2 同角三角函數的基本關系 P63 5.3誘導公式 P865.4三角函數的圖象和性質5.4.1 正弦函數、余弦函數的圖象 P1115.4.2 正弦函數、余弦函數的性質 P1345.4.3 正切函數的性質與圖象 P1585.5三角恒等變換5.5.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 P1785.5.2 簡單的三角恒等變換 P2005.6函數yAsin（x+） P2195.7三角函數的應用 P241學習目標1.了解任意角、相反角的概念，能正確區分正角、負角和零角.2.理解象

2、限角、軸線角、終邊相同的角的概念，會判斷已知角的終邊所在的象限以及幾個已知角是不是終邊相同的角.3.會用集合的形式表示象限角、軸線角和終邊相同的角，能進行簡單的角的集合之間的運算.核心素養：數學抽象、邏輯推理新知學習角的定義【導入】現實生活中隨處可見超出0360范圍的角.例如體操中的“前空翻轉體 540度”“后空翻轉體720度”等動作.這里不僅角度超出了0360，并 且旋轉的方向也不相同.【探究】如圖是兩個咬合的齒輪旋轉的示意圖，可以看出兩 個齒輪旋轉的方向剛好相反，聯想到角的旋轉定義 (一個角的大小取決于繞頂點旋轉的的射線旋轉的角度)，我們知道，要準確描述這些現象，不僅要知道旋轉的度數，還要

3、知道旋轉的方向，這就需要我們對角的概念加以推廣.角的分類【定義】我們規定，一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角，按順 時針方向旋轉形成的角叫做負角. 如果一條射線沒有任何旋轉，那么它就 形成了一個零角.零角的始邊和終邊重合，如果 是零角，那么 . 左圖中的角是一個正角，它等于730.右圖中，正角 ，負角 ， ，正常情況下，如果以零時為起始位置，那么鐘表的時針與分針在旋轉時形成的角總是負角.730 為了簡單起見，在不引起混淆的情況下，角 或 可以簡記為相等角、角的加減【1】設由射線OA繞端點O旋轉而成，由射線OA繞端點O旋轉而成.如果它們 的旋轉方向相同且旋轉量相等，那么就稱=. 設

4、，是任意角，我們規定：把角的終邊旋轉角，這時終邊所對應的角是+. 類似于實數t的相反數是-t，我們引入角的相反角的概念.如圖：我們把射線OA繞端點O按不同方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為相反角.角的相反角記為-，則-=+(-). 于是角的減法可以轉化為角的加法，如圖：+-30-120OA相等角、角的加減【總結】（1）角的概念推廣后，角度的范圍不再局限于0360（2）確定任意角的度數既要知道旋轉量，又要知道旋轉方向，如順時針旋 轉30和逆時針旋轉30縮成的角是不同的，它們互為相反角.（3）用圖像表示角時，箭頭的方向體現角的正負，因此箭頭不能少.（4）角的概念推廣后，角的加減可以類比正負數的加

5、減規則.象限角與軸線角【定義】我們通常在坐標系內討論角.為了方便，我們把角的頂點固定在原點，角 的終邊始終與 軸的非負半軸重合. 那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角.如下圖左 邊的角就是第一象限角，角就是第三象限角. 如果角的終邊在坐標軸上，那么它就不屬于任何一個象限，此時我們稱這個角為軸線角.如上邊右圖的角.象限角與軸線角【問題】銳角，第一象限角，小于90的角，它們之間的區別是什么？=390【答】第一象限角不一定是銳角，如圖左銳角是大于0且小于90的角，一定是第一象限角，如圖中3075小于90的角還包括零角和負角，如圖右=0=-130【問題】把角放在坐標系中之后，給定一個角，

6、就有唯一的一條終邊與之對應，反 過來，對于直角坐標系內的任意一條射線OB，以它為 終邊的角是否唯一？ 答案是否定的.那么終邊相同的角有什么關系？終邊相同的角30OB【答】不難發現，OB除了可以表示30的角之外，還可以表示390，-330等角. 與30終邊相同的這些角都可以表示成30角與k個(kZ)周角的和.390=30+360(k=1) -330=30-360(k=-1)一般地，所有與終邊相同的角，連同角在內，可以構成一個集合S=|=+k360，kZ即任一與終邊相同的角，都可以表示成角與整數個周角的和.【總結】對于S=|=+k360，kZ的理解應注意以下幾點：終邊相同的角【1】是任意角【2】k

7、Z有三層含義：特殊性：每取一個整數值，就對應一個具體的角一般性：表示所有與角終邊相同的角(包括角本身)從集合意義上看，k表示角的終邊按一定的方向旋轉的圈數，k取正整數 時，逆時針旋轉；k取負整數時，順時針旋轉；k=0時，沒有旋轉.【3】集合中的k360與之間用+連接，如k360-30應看成k360+(-30)， 表示與-30角終邊相同的角【整理】各象限角的集合表示終邊相同的角|k360k360+90，kZ|k360+90k360+180，kZ|k360+180k360+270，kZ|k360+270k360+360，kZ【整理】軸線角的集合表示終邊相同的角|=k360，kZ|=k360+180

8、，kZ|=k360+90，kZ|=k360+270，kZ|=k180，kZ|=k180+90，kZ|=k90，kZ【1】銳角是第幾象限角？直角呢？鈍角呢？【解】銳角是第一象限角；直角是軸線角；鈍角是第二象限角.【2】第一象限角一定是銳角嗎？軸線角一定是直角嗎？第二象限角一定是鈍角嗎？【解】第一象限角不一定是銳角，如390； 軸線角不一定是直角，如180； 第二象限角不一定是鈍角，如-210.即時鞏固【3】分別寫出圖中終邊落在兩個陰影部分的角的集合【解】在03600范圍來看，陰影部分的角的 范圍是30105，所以在坐標系中角 的范圍是3075|k360+30k360+105,kZ在0360范圍來

9、看，陰影部分的角的范圍是210285，所以在坐標系中角的范圍是|k360+210k360+285,kZ即時鞏固【4】若是第二象限角，請確定2的終邊所在的位置【解】因為是第二象限角，所以k360+90 k360+180,kZ所以2k360+180 2 2k360+360,kZ 如圖，即2的終邊位于第三或者第四象限，或者位于y軸的負半軸上.即時鞏固即時鞏固【5】若是第二象限角，請確定 的終邊所在的位置【解】因為是第二象限角，所以k360+90 k360+180,kZ所以k180+45 k180+90,kZk=2n(nZ)時，k360+45 k360+90,kZk=2n+1(nZ)時，k360+22

10、5 k360+270,kZ所以 的終邊位于第一或者第三象限.也可以運用圖示的高階方法，從 軸正半軸沿逆時針把每個象限平分成2部分，并且依次標，則標的就是 所在的區域.【5】若是第二象限角，請確定 的終邊所在的位置【解】這次我們直接運用圖示的高階方法，從 軸正半軸沿逆時針把每個象限平分成3部分，并且依次標上，則標的就是 所在的區域.即時鞏固隨堂小測1.下列說法正確的是 A.終邊相同的角一定相等B.鈍角一定是第二象限角C.第四象限角一定是負角D.小于90的角都是銳角2.與457角終邊相同的角的集合是 A.|k360457，kZB.|k36097，kZC.|k360263，kZD.|k360263，

11、kZ解析4572360263，故選C.3.2 018是 A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析2 0185360218，故2 018是第三象限角.4.已知30，將其終邊按逆時針方向旋轉三周后的角度數為_.解析3360301 110.1 1105.如圖所示.(1)寫出終邊落在射線OA，OB上的角的集合；解終邊落在射線OA上的角的集合是|k360210，kZ.終邊落在射線OB上的角的集合是|k360300，kZ.(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.解終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是|k360210k360300，kZ.課堂小結1.對角的理解，初中階段是

12、以“靜止”的眼光看，高中階段應用“運動”的觀點下定義，理解這一概念時，要注意“旋轉方向”決定角的“正負”，“旋轉幅度”決定角的“絕對值大小”.2.關于終邊相同的角的認識一般地，所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合S|k360，kZ，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數個周角的和.注意：(1)為任意角；(2)k360與之間是“”號，k360可理解為k360()；(3)相等的角終邊一定相同；終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數多個，它們相差360的整數倍；(4)kZ這一條件不能少.任意角和弧度制5.1.2 弧度制學習目標1.了解弧度制，體會引入弧度制的必要性.2.理解1弧

13、度的角及弧度的定義.3.掌握角度與弧度的換算公式，能進行角度與弧度的換算，并熟記幾個特殊角的弧度數.4.掌握弧度制中扇形的弧長公式和面積公式.核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學運算新知學習角度制、弧度制的概念【探究】度量長度可以用米、英尺、碼等單位制，度量質量可以用千克、磅等不同 的單位制.不同的單位制能給解決問題帶來方便.角的度量是否也能用不同 的單位制呢？能否像度量長度那樣，用十進制的實數來度量角的大小呢？【導入】我們知道，角可以用度為單位進行度量，1度的角等于周角的 .這種 用度作單位來度量角的單位制叫做角度制.【定義】如圖，射線OA繞著端點O旋轉到OB形成角.在旋 轉過程中，射線OA上

14、的一點P(不同于點O)的軌跡 是一條圓弧，這條圓弧對應于圓心角. 設=n，OP=r，點P形成的圓弧PP1的長為 ，由初中所學知識可知：(角度制、弧度制的概念【探究】如圖，在射線OA上任取一點Q(不同于點O)，OQ=r，在旋轉過程中，點Q 所形成的圓弧QQ1的長為 ， 與r的比值是多少?我們能得出什么結論？【結論】可以發現，圓心角所對的弧長與半徑的比值， 只與的大小有關.也就是說，這個比值隨的確 定而唯一確定.這就啟發我們，可以利用圓的弧長 與半徑的關系度量圓心角.(QQ1 我們規定：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度，記作1rad，讀作1弧度.我們把半徑為1的圓叫做單位圓，如圖，在單位

15、元O中，AB的長度等于1，AOB就是1弧度的角.角度制、弧度制的概念 根據上述規定：在半徑為r的圓中，弧長為 的的弧所對的圓心角為 rad，那么有： 對這個式子進行變形，可以得到如下結論： 其中，的正負由角的終邊的旋轉方向決定，即逆時針旋轉為正，順時針旋轉為負.當角的終邊旋轉一周后繼續旋轉，就可以得到弧度數大于2或者小于-2的角.這樣就可以得到弧度為任意大小的角. 一般地，正角的弧度數是正數，負角的弧度數是復數，零角的弧度數是0.角度制、弧度制的概念 不管以弧度還是以角度為單位的角的大小，都是一個與半徑的大小無關的定值，比如圖中，半徑為任意值，只要AOB所對弧的長等于半徑，AOB就是1弧度的角

16、.用角度作為單位來度量角的制度用弧度作為單位來度量角的制度角的大小與半徑無關單位“ ”不能省略單位“rad”不能省略【問題】不管以角度制和弧度制之間怎么換算呢？【答】用角度制解弧度制倆度量零角，單位不同，但量數相同(都是0)；用角度制和 弧度制度量任一非零角，單位不同，數量也不同.因為周角的弧度制是2， 而在角度制下的度數是360，所以有： 360=2 rad，180= rad，角度與弧度的換算一般地，只需根據兩邊同除以180兩邊同除以就可以進行角度和弧度的換算了.弧度數=角度數角度數=弧度數【1】把6730化成弧度.【解】因為6730= ，所以【2】把1.5化成角度.【解】1.5=6730=

17、 【注意】角度中含有分 ()秒()時，化成 弧度制之前，要先化成 度().即時鞏固角度與弧度的換算常見特殊角的角度與弧度對應表： 角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數集R之間建立了一一對應的關系：每個角都有唯一的實數(等于這個叫的弧度)；同樣地，每個實數也都有唯一一個對應的角(弧度數等于這個實數).弧長公式與扇形面積公式【1】若用R表示圓的半徑，(02)為圓心角， 是扇形弧長，S是扇形面積. 則有： 顯然，弧度制下的弧長公式和扇形面積公式簡單了.在今后的學習中，我們還將進一步看到弧度制帶來的便利.【1】把下列角度化成弧度.【解】（1）2230=（1）2230 （2）-210 （3）120

18、0（2）-210=（3）1200=即時鞏固【2】把下列弧度化成角度.【解】即時鞏固【3】用弧度表示： （1）終邊在 軸上的角的集合 （2）終邊在 軸上的角的集合【解】即時鞏固隨堂小測1.下列說法正確的是 A.1弧度就是1度的圓心角所對的弧B.1弧度是長度為半徑的弧C.1弧度是1度的弧與1度的角之和D.1弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角的大小解析由弧度的定義可知D正確.2.把 化為角度是 A.270 B.280 C.288 D.3183.若5，則角的終邊在 A.第四象限 B.第三象限C.第二象限 D.第一象限解析25與5的終邊相同，25是第一象限角，則5也是第一象限角.4.(2021浙江省9

19、1聯盟聯考)如圖，以正方形ABCD的頂點A為圓心，邊AB的長為半徑作扇形EAB，若圖中兩塊陰影部分的面積相等，則EAD的弧度數大小為_.解析設正方形的邊長為a，EAD，課堂小結1.角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數集R之間建立起一一對應的關系：每一個角都有唯一的一個實數(即這個角的弧度數)與它對應；反過來，每一個實數也都有唯一的一個角(即弧度數等于這個實數的角)與它對應.2.解答角度與弧度的互化問題的關鍵在于充分利用“180 rad”這一關系式.3.在弧度制下，扇形的弧長公式及面積公式都得到了簡化，在具體應用時，要注意角的單位取弧度.三角函數的概念5.2.1 三角函數的概念學習目標1.

20、借助單位圓理解任意角的三角函數（正弦、余弦、正切）的定義.2.會利用相似關系，由角終邊上任意一點的坐標得出任意角的正弦、余弦和正切的三角函數的定義.3.能根據定義理解正弦、余弦和正切函數在各個象限及坐標軸上的符號，會求一些特殊角的三角函數值.4.理解并掌握公式一，并會用公式一進行三角函數式的化簡或恒等式的證明.核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模新知學習教材引入&任意角的三角函數定義【定義】根據研究函數的經驗，我們選擇在坐標系上研究這個 問題.如圖，以單位圓的圓心為原點， 以射線OA為 軸的非負半軸，建立直角坐標系.則A(1，0)，P 射線OA從 軸非負半軸開始，繞點O按逆時針方向 旋轉角，

21、終止位置為OP.【探究】當 時，點P的坐標是什么？當 或 時，點P的坐標又是什么？給 定一個角，它的終邊OP與單位圓的交點P的坐標是唯一確定的嗎？教材引入&任意角的三角函數定義【分析】利用勾股定理可以發現，當 時，點P的坐標是 ；當 或 時，點P的坐標分別是 和 ，它們都是唯一確定的(如圖).【結論】一般地，任意給定一個角R，它的終邊OP與單位圓的交點P的坐標，無 論是橫坐標 還是縱坐標 ，都是唯一確定的.所以，點P的橫坐標 和 縱坐標 都是角的函數.教材引入&任意角的三角函數定義【定義】設是一個任意角，R，它的終邊OP與單位圓相交于點P（1）把點P的縱坐標 叫做的正弦函數，記作sin，即 =

22、sin（2）把點P的橫坐標 叫做的余弦函數，記作cos，即 =cos（3）把點P的縱坐標和橫坐標的比值 叫做的正切，記作tan，即 =tan ( ). 可以看出，當 時，的終邊始終在y軸上，這時 ，即此時tan無意義.除此之外，正切tan與實數是一一對應的，所以它們之間也是函數關系，我們稱 為正切函數.=tan ( ) 我們把正弦函數、余弦函數和正切函數統稱為三角函數.教材引入&任意角的三角函數定義【總結】三角函數可以看成是以實數(為弧度)為自變量，以 單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數.（1）正弦函數：（2）余弦函數：（3）正切函數：角實數(角的弧度)三角函數值【注意】（1）在任意角

23、的三角函數定義中，是一個使函數有意義的實數（2） 是自變量，離開自變量 的sin,con,tan是沒有意義的（3）三角函數是比值，是一個實數，這個實數的大小和點P在終邊上的 位置無關，終邊確定了，三角函數就確定了.【1】求 的正弦、余弦和正切值.【解】在坐標系中作出AOB= ，易知AOB的 終邊與單位圓的 交點坐標為 ，所以即時鞏固常見角的三角函數值無牢記常見的三角函數值，做題事半功倍！三角函數的定義域和函數值的符號【1】求證：角為第三象限角的充要條件為【證明】首先證明充分性，即如果都成立，那么為第三象限角.因為sin0成立，所以角的終邊位于第三或者第四象限，也可能和Y軸的負半軸重合；又因為c

24、os0成立，所以角的終邊位于第一或者第三象限，綜合可知為第三象限角. 再證明必要性，因為是第三象限角，根據定義有sin0， cos0，所以必要性成立，即充要性成立.即時鞏固誘導公式一 由三角函數的定義，我們知道：終邊相同的角的對應三角函數相同.公式一：其中kZ【問題】公式一說明了角和三角函數值的什么關系？給我們什么啟發？【答】公式一說明了角和三角函數值的對應關系是多角對一值的關系： 即給定一個角，它的三角函數值只要存在，就是唯一的； 反過來，給定一個三角函數值，卻有無數個角與之對因.【啟發】做題時，把角同化為(02)即(0360)終邊相同的角，簡化計算.【1】已知角、的頂點在原點，始邊在 軸的

25、正半軸上，終邊關于 軸對稱， 若角的終邊上有一點的坐標為 ，則tan的值是多少？【解】易知sin= ，cos= .因為角和角的終邊關于y軸對稱，則它們的正弦值相等，即sin=sin同時角和角的余弦值相反，即cos=-cos 所以sin= ，cos= ，所以tan=即時鞏固【2】填表.即時鞏固【3】選擇適當的條件填空sin0 sin0 cos0 cos0 tan0 tan0(1)角為第一象限角的充要條件是 _(2)角為第一象限角的充要條件是 _(3)角為第一象限角的充要條件是 _(4)角為第一象限角的充要條件是 _或或或或或或或或或或或或即時鞏固隨堂小測1.(2021牌頭中學月考)已知角的終邊過

26、點(2,1)，則cos 的值為3.(2021寧波期末)若角的終邊經過點P(1，1)，則A.tan 1 B.sin 14. 若是第二象限角，則點P(sin ，cos )在 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限解析為第二象限角，sin 0，cos 0，點P在第四象限，故選D.5. 已知角的終邊上有一點P(24k,7k)，k0，求sin ，cos ，tan 的值. 解當k0時，令x24k，y7k，當k0時，令x24k，y7k，則有r25k，課堂小結1.正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或比值為函數值的函數.2.角的三角函數值的符號只與角所在象限有關，角所在象

27、限確定，則三角函數值的符號一定確定，規律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.3.終邊相同的三角函數值一定相等，但兩個角的某一個函數值相等，不一定有角的終邊相同，更不一定有兩角相等.三角函數的概念5.2.2 同角三角函數的基本關系學習目標1.理解同角三角函數的兩個基本關系： .2.會利用這個基本關系解決較簡單的求值、化簡、恒等式證明等有關問題.核心素養：數學運算、邏輯推理新知學習教材引入&任意角的三角函數定義【導入】因為三個三角函數都是由角的終邊與單位圓的交點確定的，所以它們之間 必然有內在的關系.如圖，設點P 是角的終邊與單位圓的交點，過P 作 軸的垂線，交 軸與M，則OMP是直角三角形，且

28、OP=1，由勾股定理有也就是說，同一個角的正弦余弦的平方和等于1，商等于正切.OM2+MP2=1，即 ，也就是顯然，當的終邊與坐標軸重合時，這個公式也成立.根據三角函數的定義，當 時，有：教材引入&任意角的三角函數定義 這兩個公式稱為同角三角函數的基本關系. 基本關系成立的前提是“同角”，它揭示了同角而不同名的三角函數關系，但 并不是不同的角這兩個關系一定不成立，sin230+cos2150=1也成立，不過這 種關系不具有一般性. “同角”指的是廣義上的，與表達形式無關，30和30是同角，和也是同角 sin2是(sin)2的縮寫，讀作“sin的平方”，不能寫成sin2 等價變形：知 一求 二基

29、本關系的應用【例1】已知 ，求 ， 的值.【解】因為 ，所以是第三或者第四象限角.由 ，得 ，則 或若是第三象限角，則 ,所以若是第四象限角，則 ,所以基本關系的應用【例2】求證：【證法一】由 知 ，所以 ，于是【證法二】因為且 ，所以基本關系的應用【例3】已知 ，為第三象限角，求 ， 的值.【解】由 ，得 ，則 或又因為是第三象限角，則 ,所以所以基本關系的應用【例4】化簡：【解】基本關系的應用【例5】求證：【證明】左邊=右邊，得證【題型1】利用弦切互化求值.【例6】已知 ，求下列各式的值.【解】由 ，得 即時鞏固【題型2】與 有關的求值.【例7】已知 ，求下列各式的值.【解】 即時鞏固【題

30、型3】利用同角三角函數關系式證明恒等式.【例8】已知 ，求證：【證明】由 ，可得 即 ,也就是 整理得： ，即展開得： ，即即時鞏固【例9】化簡： 【解】原式=所以原式=即時鞏固【證明】由題意可知 ，所以sinA0，cosA0聯立解得：所以即時鞏固隨堂小測證明方法一(比較法作差)方法二(比較法作商)課堂小結1.利用同角三角函數的基本關系式，可以由一個角的一個三角函數值，求出這個角的其他三角函數值.2.利用同角三角函數的關系式可以進行三角函數式的化簡，結果要求：(1)項數盡量少；(2)次數盡量低；(3)分母、根式中盡量不含三角函數；(4)能求值的盡可能求值.3.在三角函數的變換求值中，已知sin

31、 cos ，sin cos ，sin cos 中的一個，可以利用方程思想，求出另外兩個的值.4.在進行三角函數式的化簡或求值時，細心觀察題目的特征，靈活、恰當地選用公式，統一角、統一函數、降低次數是三角函數關系式變形的出發點.利用同角三角函數的基本關系主要是統一函數，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化簡或恒等式證明時，注意方法的靈活運用，常用技巧：(1)“1”的代換；(2)減少三角函數的個數(化切為弦、化弦為切等)；(3)多項式運算技巧的應用(如因式分解、整體思想等)；(4)對條件或結論的重新整理、變形，以便于應用同角三角函數關系來求解.4.在進行三角函數式的化簡或求值時，細心觀察題

32、目的特征，靈活、恰當地選用公式，統一角、統一函數、降低次數是三角函數關系式變形的出發點.利用同角三角函數的基本關系主要是統一函數，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化簡或恒等式證明時，注意方法的靈活運用，常用技巧：(1)“1”的代換；(2)減少三角函數的個數(化切為弦、化弦為切等)；(3)多項式運算技巧的應用(如因式分解、整體思想等)；(4)對條件或結論的重新整理、變形，以便于應用同角三角函數關系來求解.5.3誘導公式學習目標1.借助單位圓的對稱性利用定義推導誘導公式.2.掌握三角函數的誘導公式.3.能運用誘導公式化簡簡單的三角函數式及證明簡單的三角恒等式.核心素養：數學運算、邏輯推理

33、新知學習誘導公式二四【導入】如圖，設坐標系內任意角的終邊與單位圓交于點P （1）做P關于原點的對稱點Q，以OQ為終邊的角與角 有什么關系？角,的三角函數值之間有什么關系？ （2）如果作P點關于兩個橫軸和縱軸的對稱點R和T，又 會得到什么結論？【分析】以OQ為終邊的角都是與角+終邊相同的角，即=2k+(+)(kZ). 因此只需要研究角+和角的三角函數關系即可.設P ，由對稱 關系有Q ，根據三角函數的定義得 ， ， ；這就是公式二：誘導公式二四【回顧1】誘導公式一的內容和作用是什么？【答】內容：作用：把任意角的三角函數值轉化為02上角的三角函數值.【回顧2】點P 關于 軸、 軸和原點的對稱點是什

34、么？【答】關于 軸對稱： ; 關于 軸對稱： ; 關于原點對稱：【思考】通過公式一及公式二你有什么發現？【答】誘導公式二四【拓展】進一步，通過作出P點關于 軸的對稱點和關于 軸的對稱點，我們可以得出如下結論：【公式三】【公式四】誘導公式二四【總結】對于公式一四的概括：【1】+2k，-，()的三角函數值，在絕對值上 等于的同名函數值，正負取決于把看成銳角時 原函數值的符號. 即“函數名不變，符號看象限.”【2】對于正弦與余弦的誘導公式，可以為任意角；對 于正切的誘導公式，的終邊不能落在y軸上，即【3】誘導公式即可以用弧度制表示，也可以用角度制 表示.誘導公式二四【問題1】如何用公式二和公式三推導

35、出公式四？【答】【問題2】關于“函數名不變，符號看象限”的理解.【答】“函數名不變”是指等式兩邊的三角函數同名；“符號看象限”是指把原角看成銳角時新角在原函數下的符號，由 新角所在象限確定符號.如sin(+)，若把看成銳角，則+在 第三象限，所以取負值，故sin(+)=-sin誘導公式的應用【例1】利用公式求下列三角函數的值.【解】誘導公式的應用【利用誘導公式一四把任意角的三角函數轉化成銳角的三角函數的步驟】任意負角的三角函數用公式一或公式三任意正角的三角函數02的角的三角函數用公式二或公式四銳角的三角函數用公式一利用誘導公式化簡的一般思路：切化弦，負化正、大化小；異名化同名，異角化同角.誘導

36、公式的應用【例2】化簡【解】因為所以原式=填表：即時鞏固誘導公式五六【問題1】【分析】作角的終邊關于 的對稱邊，根據集合 對稱關系，設P點坐標為 ，則Q點坐標為 ，由三角函數的定義有：同理我們有誘導公式五六【總結1】公式五和公式六可以概括如下： 的正弦(余弦)函數值，分別等于角的余弦(正弦)函數值，前面 加上一個把看成銳角時原函數值的符號.簡記為：“函數名改變，符號看象限”【總結2】六組誘導公式各有什么用？公式一：將任意角轉化成02之間的角求值公式二：將02之間的角轉化成0之間的角求值公式三：將負角轉化成正角求值公式四：將 之間的角轉化成 之間的角求值公式五、六：實現正弦和余弦之間的相互轉化六

37、組誘導公式的橫向對比六組誘導公式的橫向對比【1】誘導公式都是的三角函數與 的三角函數之間的轉化，記憶口訣是：奇變偶不變，符號看象限【2】“奇變偶不變”：角前面的是 ，如果 是 的奇數倍，那么得到的 三角函數名要發生變化，即正弦變余弦，余弦變正弦；如果 是 的偶數倍， 那么得到的三角函數名不變化【3】“符號看象限”：將角看成一個銳角(為了判斷符號，實際可以不是銳角)， 此時判斷 所在的象限，并觀察原三角函數對這個角運算得到的符號 是正還是負.【4】這些規律對任何三角函數(只要存在，有意義)都成立【例1】證明：【證明】 即時鞏固【例2】已知 ，且 ，求 的值.【分析】注意到(53-)+(37+)=

38、90，如果設= 53-，= 37+，那 么+=90，所以可以利用誘導公式. 【解】設= 53-，= 37+，則+=90，=90-.所以sin=sin(90-)=cos因為-270-90，所以143323由 ，得143180所以所以即時鞏固隨堂小測1.已知tan 4，則tan()等于 A.4 B.4 C.4 D.4解析tan()tan 4.解析sin 585sin(360225)sin(18045)3.(2021牌頭中學月考)利用誘導公式化簡：sin(x)_，sin(x)_.sin x sin x 5.已知600角的終邊上有一點P(a，3)，則a的值為_.解析tan 600tan(360240)

39、tan(18060)課堂小結1.明確各誘導公式的作用2.誘導公式的記憶這四組誘導公式的記憶口訣是“函數名不變，符號看象限”.其含義是誘導公式兩邊的函數名稱一致，符號則是將看成銳角時原角所在象限的三角函數值的符號，看成銳角，只是公式記憶的方便，實際上可以是任意角.3.已知角求值問題，一般要利用誘導公式三和公式一，將負角化為正角，將大角化為02之間的角，然后利用特殊角的三角函數求解.必須對一些特殊角的三角函數值熟記，做到“見角知值，見值知角”三角函數的圖象和性質5.4.1 正弦函數、余弦函數的圖象學習目標1.理解正弦函數、余弦函數圖象的畫法.2.借助圖象變換，了解函數之間的內在聯系.3.通過三角函

40、數圖象的三種畫法（描點法、幾何法、五點法），體會用“五點法”作圖給我們的學習帶來的好處，并會熟練地畫出一些較簡單的函數的圖象.核心素養：數學抽象、直觀想象、邏輯推理新知學習正弦函數的圖像【探究】首先我們研究 的圖像，從畫函數 開始.如圖，在直角坐標系中畫出以原點O為圓心的單位圓， O 與 軸正半軸的交點為A(1,0)，在單位圓上講點A繞著點O旋轉 弧度到點B，根據定義有點B的縱坐標 .由此，以 為橫坐標， 為縱坐標化點，即得到函數圖像上的點正弦函數的圖像【探究】若把 軸上 這一段分成12等份，讓 的值分別為 ， 它們所對應的角的終邊與單位圓的交點將圓周12等分，再按剛才畫點 的方法，就可以畫出

41、自變量取這些值時，圖像上對應函數值的點.利用信息技術取到足夠多的點，再將這些點用光滑的曲線連起來，就可以得到比較精確的函數 的圖像.正弦函數的圖像【探究】由誘導公式一 可知，每經過 個單位長度，函 數 會重復出現，所以只需將 內的函數圖像不段復制平移 即可得到 的圖像(幾何畫法).幾何畫法的步驟：建系畫圖12等分圓找橫坐標連線得圖找縱坐標左右平移五點畫圖法【問題】在確定正弦函數的圖像形狀時，有哪些關鍵的點？【答】觀察圖像可知，處于函數連接處和轉折處的五個點起關鍵作用.在非精確作圖時，一般選取這五個點快速畫出正弦函數的圖像來解決問題.五點畫圖法【三種作圖法的比較】描點法幾何法五點法列表描點連線利

42、用單位圓在0，2上取足夠多的點連線描最高點最低點,圖像和坐標軸的三個交點只能取近似值，誤差較大較為精確，但步驟繁瑣實用，高效余弦函數的圖像【分析】對于函數 ，由誘導公式 ，得到，而函數 的圖像可以通過正弦函數 的圖像向左平移 個單位長度得到.所以，將正弦函數的圖像向左平移 個單位長度，就得到余弦函數的圖像，如圖. 余弦函數 的圖像叫做余弦曲線，它和正弦曲線有相同形狀“波浪起伏”的連續光滑曲線.【1】畫出函數的簡圖：【解】如圖：即時鞏固【2】畫出函數的簡圖：【解】如圖：即時鞏固函數圖像的平移和對稱變換【平移】【對稱】左加右減，上加下減.【例1】畫出函數 的簡圖.【解】 取五個關鍵點列表： 把 的

43、圖像向下平移1個單位即可得到 的圖像即時鞏固【例2】用五點法分別畫出函數 和函數 在 上的圖像.【解】 取五個關鍵點列表： 即時鞏固【例3】思考函數 和函數 的關系,并畫出函數 的圖像.【解】 把函數 圖像在 軸下方的部分翻折到 軸上方，加上原來上方的部分就可以得到函數 的圖像(藍色部分)，如圖.即時鞏固【例4】已知函數 （1）作出函數 的圖像； (2)求方程 的解.【解】 (1)當 時， 當 時， 所以 ，圖像如圖所示.(2)由圖像可知方程 的解是 即時鞏固隨堂小測1.用“五點法”作y2sin 2x的圖象時，首先描出的五個點的橫坐標是 解析由ysin x在0,2上的圖象作關于x軸的對稱圖形，

44、應為D項.2.下列圖象中，ysin x在0,2上的圖象是 3.不等式cos x0)，則f(x)的奇偶性A.與有關，且與有關 B.與有關，但與無關C.與無關，且與無關 D.與無關，但與有關解析因為當k，kZ時，函數f(x)cos(x)cos x，為偶函數；sin x，為奇函數.所以f(x)的奇偶性與無關，但與有關.A.最小正周期為的奇函數 B.最小正周期為的偶函數f(x)cos 2x.又f(x)cos(2x)cos 2xf(x)，f(x)是最小正周期為的偶函數.4.函數ycos x在區間，a上為增函數，則a的取值范圍是_.(，0解析因為ycos x在，0上是增函數，在0，上是減函數，所以只有0，

45、xR)的周期T .2.判斷函數的奇偶性，必須堅持“定義域優先”的原則，準確求函數定義域和將式子合理變形是解決此類問題的關鍵.如果定義域關于原點對稱，再看f(x)與f(x)的關系，從而判斷奇偶性.3.求函數yAsin(x)(A0，0)的單調區間的方法4.比較三角函數值的大小，先利用誘導公式把問題轉化為同一單調區間上的同名三角函數值的大小比較，再利用單調性作出判斷.5.求三角函數值域或最值的常用方法將y表示成以sin x(或cos x)為元的一次或二次等復合函數，再利用換元或配方或利用函數的單調性等來確定y的范圍.三角函數的圖象和性質5.4.3 正切函數的性質與圖象學習目標1.借助圖象理解正切函數

46、在區間 內的性質.2.能畫出ytan x的圖象.3.會用正切函數的性質解決有關問題.核心素養：數學抽象、邏輯推理、直觀想象新知學習如何研究正切函數的性質和圖象？【思考】根據研究正弦函數和余弦函數的經驗，你認為應該如何研究正切函數的 圖象和性質？能用不同的方法研究正切函數嗎？【解答】(1)應先作出正切函數的圖象，通過觀察圖象獲得對函數性質的直觀認識， 再從代數的角度對性質作出嚴格表述.(2)對于正切函數，也可以從其定義出發研究它的性質，再利用性質研究 其圖象.【問題】正切函數 的定義域是什么？【解答】由正切函數的定義可知，它的定義域是如何研究正切函數的性質和圖象？【正切函數的性質】【1】周期性：

47、 由誘導公式 可知， 正切函數是周期函數，周期是.【2】奇偶性： 由誘導公式 可知， 正切函數有奇偶性，是奇函數.表明正切函數的定義域關于原點對稱表明正切函數的圖象關于原點對稱如何研究正切函數的性質和圖象？【問】你能證明正切函數的周期性嗎？【答】當k是偶數時，當k是奇數時，綜上，有由周期函數的定義可知，正切函數的周求是 是它的最小正周期.【再問】這有什么用？【再答】可以先研究正切函數在 之間的圖象和性質，再加以拓展.如何研究正切函數的性質和圖象？【問】如何畫出函數 的圖象？【答】如圖，設 ，在坐標系中畫出角 的終邊與單 位圓的交點 .過點B作 軸的垂線，垂足為 M；過點A(1，0)作 軸的垂線

48、與角 的終邊交于點T，則由此可見，當 時，線段AT的長度就是角 的正切值，利用線段AT畫出函數 的圖象如圖所示. 觀察可知，函數圖象呈類似于指數型的增長，向右上方無限接近直線如何研究正切函數的性質和圖象？【問】如何畫出正切函數的全部圖象？【答】利用奇偶性和對稱性，把函數在 之間的部分進行復制平移即可. 我們把正切函數的圖象叫做正切曲線。從圖象可以看出，正切曲線是被與y軸平行的一系列直線 所隔開的無數個形狀相同的曲線組成的如何研究正切函數的性質和圖象？【問】正切函數的圖象有怎樣的特征？【答】圖象關于原點對稱圖象在 軸上方的部分下凹；在 軸下方的部分上凸.圖象被相互平行的直線 隔開，圖象無限 接近

49、這些直線，但永不相交。 正切函數和正弦余弦函數一樣，都可以畫出一個周期內的函數圖象，然后進行左右平移，就可以得到全部的圖象。 或者也可以類比正弦余弦函數用三點兩線法.正切函數的單調性和值域【單調性】觀察正切曲線可知，正切函數在區間 上單調遞增； 由周期性可知，正切函數在每個區間 上都單調遞增【問】由正切函數是奇函數，可以得到它的圖象關于原點對稱。結合圖象，還能 發現其它的對稱中心嗎？有對稱軸嗎？【答】正切函數的圖象有無數個對稱中心，包括圖象與橫軸的交點和漸近線與 橫軸的交點。 正切函數不是軸對稱圖形，沒有對稱軸.正切函數的單調性和值域【值域】觀察圖象，當 時， 在 內可以取到任意實數 值，但沒有最大值或者最小值，因此，正切函數的值域是實數集R.奇函數【例1】求函數 的定義域和周期.【解】自變量 的取值滿足條件所以函數的定義域是設 ，又 ，所以即因為 都有所以，函數的周期為2即時鞏固【例2】觀察正切曲線，直接寫出滿足下列條件的 的范圍.【解】即時鞏固【例3】求下列函數的周期.【解】所以函數 的周期為 .所以函數 的周期為 .即時鞏固【例4】若 在 內為減函數，則（ ）【解】由題意有 ，且 ，所以