1、二次函數的定義 2、二次函數的圖像及性質 3、求解析式的三種方法 4、a，b，c及相關符號的確定 5、拋物線的平移 6、二次函數與一元二次方程的關系 7、二次函數的應用題 8、二次函數的綜合運用1、二次函數的定義定義： y=ax bx c （ a 、 b 、 c 是常數， a 0 ） 定義要點：a 0 最高次數為2 代數式一定是整式練習：1、y=-x，y=2x-2/x，y=100-5 x，y=3 x-2x+5,其中是二次函數的有_個。2.當m_時,函數y=(m+1) - 2+1 是二次函數？2、二次函數的圖像及性質拋物線頂點坐標對稱軸位置開口方向增減性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0,開口向上a0,開口向下在對稱軸的左側,y隨著x的增大而減小. 在對稱軸的右側, y隨著x的增大而增大. 在對稱軸的左側,y隨著x的增大而增大. 在對稱軸的右側, y隨著x的增大而減小. xy0xy0 例2：已知二次函數（1）求拋物線開口方向，對稱軸和頂點M的坐標。（2）設拋物線與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，求C，A，B的坐標。（3）x為何值時，y隨的增大而減少，x為何值時，y有最大（小）值，這個最大（小）值是多少？（4）x為何值時，y0？3、求拋物線解析式的三種方法1、一般式：已知拋物線上的三點，通常設解析式為_y=ax2+bx+c(a0) 2,頂點式：已知拋物線頂點坐標（h, k），通常設拋物線解析式為_求出表達式后化為一般形式.y=a(x-h)2+k(a0) 3,交點式:已知拋物線與x 軸的兩個交點(x1,0)、 (x2,0),通常設解析式為_求出表達式后化為一般形式.y=a(x-x1)(x-x2) (a0)練習：根據下列條件，求二次函數的解析式。(1)、圖象經過(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三點；(2)、圖象的頂點(2，3)， 且經過點(3，1) ；(3)、圖象經過(0，0)， (12，0) ，且最高點的縱坐標是3 。例1已知二次函數y=ax2+bx+c的最大值是2，圖象頂點在直線y=x+1上，并且圖象經過點（3，-6）。求a、b、c。解：二次函數的最大值是2拋物線的頂點縱坐標為2又拋物線的頂點在直線y=x+1上當y=2時，x=1 頂點坐標為（ 1 ， 2）設二次函數的解析式為y=a(x-1)2+2又圖象經過點（3，-6）-6=a (3-1)2+2 a=-2二次函數的解析式為y=-2(x-1)2+2即： y=-2x2+4x4、a，b，c符號的確定拋物線y=ax2+bx+c的符號問題：（1）a的符號：由拋物線的開口方向確定（2）C的符號：由拋物線與y軸的交點位置確定.（3）b的符號：由對稱軸的位置確定（4）b2-4ac的符號：由拋物線與x軸的交點個數確定（5）a+b+c的符號：因為x=1時,y=a+b+c,所以a+b+c的符號由x=1時，對應的y值決定。當x=1時，y0,則a+b+c0當x=1時，y0，則a+b+c0,則a-b+c0當x=-1，y0,則a-b+c0當x=-1，y=0,則a-b+c=0練習、二次函數y=ax2+bx+c(a0)的圖象如圖所示，則a、b、c的符號為（） A、a0,c0 B、a0,c0 C、a0,b0 D、a0,b0,c0,b0,c=0 B、a0,c=0 C、a0,b0,c0,b0,b=0,c0,0 B、a0,c0,b=0,c0 D、a0,b=0,c0,0，b0，c 0(2)有一個交點b2 4ac= 0(3)沒有交點 b2 4ac 0若拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點,則b2 4ac 0例(1)如果關于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有兩個相等的實數根,則m=,此時拋物線 y=x2-2x+m與x軸有個交點.(2)已知拋物線 y=x2 8x +c的頂點在 x軸上,則c=.(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的兩個根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函數y= 3 x2+x-10與x軸的交點坐標是.判別式：b2-4ac二次函數y=ax2+bx+c（a0）圖象一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根b2-4ac0與x軸有兩個不同的交點（x1，0）（x2，0）xyO有兩個不同的解x=x1，x=x2b2-4ac=0與x軸有唯一個交點xyO有兩個相等的解x1=x2=b2-4ac0與x軸沒有交點xyO沒有實數根7二次函數的綜合運用1.已知拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=-x2-3x+7的形狀相同,頂點在直線x=1上,且頂點到x軸的距離為5,請寫出滿足此條件的拋物線的解析式.解:Q拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=-x2-3x+7的形狀相同 a=1或-1 又Q頂點在直線x=1上,且頂點到x軸的距離為5, 頂點為(1,5)或(1,-5) 所以其解析式為: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展開成一般式即可.2.若a+b+c=0,a0,把拋物線y=ax2+bx+c向下平移 4個單位,再向左平移5個單位所到的新拋物線的頂點是(-2,0),求原拋物線的解析式.分析:(1)由a+b+c=0可知,原拋物線的圖象經過(1,0)(2) 新拋物線向右平移5個單位, 再向上平移4個單位即得原拋物線練習題1直線y3 x1與yxk 的交點在第四象限，則k 的范圍是（ ）（A）k （B）k1 （C）k1 （D）k1或k1【提示】由，解得因點在第四象限，故0，0 k1【答案】B【點評】本題應用了兩函數圖象交點坐標的求法，結合了不等式組的解法、象限內點的坐標符號特征等2二次函數yax2bxc 的圖象如圖，則下列各式中成立的個數是（ ）（1）abc0； （2）abc0； （3）acb； （4）a（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【提示】由圖象知a0，0，故b0，而c0，則abc0當x1時，y0，即acb0；當x1時，y0，即acb0【答案】B【點評】本題要綜合運用拋物線性質與解析式系數間的關系因a0，把（4）a兩邊同除以a，得1，即1，所以（4）是正確的；也可以根據對稱軸在x1的左側，判斷出1，兩邊同時乘a，得a，知（4）是正確的3若一元二次方程x22 xm0無實數根，則一次函數y（m1）xm1的圖象不經過（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【提示】由D 44 m0，得m10，則m10，直線過第二、三、四象限【答案】A【點評】本題綜合運用了一元二次方程根的判別式及一次函數圖象的性質注意，題中問的是一次函數圖象不經過的象限4如圖，已知A，B 是反比例函數y的圖象上兩點，設矩形APOQ 與矩形MONB 的面積為S1，S2，則（ ）（A）S1S2 （B）S1S2 （C）S1S2 （D）上述（A）、（B）、（C）都可能【提示】因為SAPOQ|k|2，SMONB2，故S1S2【答案】A【點評】本題可以推廣為：從雙曲線上任意一點向兩坐標軸引垂線，由這點及兩個垂足和原點構成的矩形的面積都等于|k|5若點A（1，y1），B（2，y2），C（p，y3）在反比例函數y的圖象上，則（ ）（A）y1y2y3 （B）y1y2y3 （C）y1y2y3 （D）y1y3y2【提示】因（k21）0，且（k21）y12 y2p y3，故y1y2y3或用圖象法求解，因（k21）0，且x 都大于0，取第四象限的一個分支，找到在y 軸負半軸上y1，y2，y3 的相應位置即可判定【答案】B【點評】本題是反比例函數圖象的性質的應用，圖象法是最常用的方法在分析時應注意本題中的（k21）06直線yaxc 與拋物線yax2bxc 在同一坐標系內大致的圖象是（ ）（A） （B） （C） （D）【提示】兩個解析式的常數項都為c，表明圖象交于y 軸上的同一點，排除（A），（B）再從a 的大小去判斷【答案】D【點評】本題綜合運用了一次函數、二次函數的性質（B）錯誤的原因是由拋物線開口向上，知a0，此時直線必過第一、三象限7已知函數yx21840 x1997與x 軸的交點是（m，0）（n，0），則（m21841 m1997）（n21841 n1997）的值是（ ）（A）1997 （B）1840 （C）1984 （D）1897【提示】拋物線與x 軸交于（m，0）（n，0），則m，n 是一元二次方程x21840 x19970的兩個根所以m21840 m19970，n21840 n19970，mn1997原式（m21840 m1997）m（n21840 n1997）nmn1997【答案】A【點評】本題揭示了二次函數與一元二次方程間的聯系，應用了方程的根的定義、根與系數的關系等知識點，并要靈活地把所求代數式進行適當的變形8某鄉的糧食總產量為a（a 為常數）噸，設這個鄉平均每人占有糧食為y（噸），人口數為x，則y 與x 之間的函數關系為（ ）（A） （B） （C） （D）【提示】糧食總產量一定，則人均占有糧食與人口數成反比，即y又因為人口數不為負數，故圖象只能是第一象限內的一個分支【答案】D【點評】本題考查反比例函數圖象在實際問題中的應用（A）錯在畫出了x0時的圖象，而本題中x 不可能小于0（二）填空題（每小題4分，共32分）9函數y的自變量x 的取值范圍是_【提示】由2 x10，得x；又x10，x1綜合可確定x 的取值范圍【答案】x，且x110若點P（ab，a）位于第二象限，那么點Q（a3，ab）位于第_象限【提示】由題意得a0，ab0，則b0故a30，ab0【答案】一11正比例函數yk（k1）的圖象過第_象限【提示】由題意得k2k11，解得k12，k21（舍去），則函數為y6 x【答案】一、三【點評】注意求出的k1使比例系數為0，應舍去12已知函數yx2（2m4）xm210與x 軸的兩個交點間的距離為2，則m_【提示】拋物線與x 軸兩交點間距離可應用公式來求本題有2，故m3【答案】3【點評】拋物線與x 軸兩交點間距離的公式為，它有著廣泛的應用13反比例函數y的圖象過點P（m，n），其中m，n 是一元二次方程x2kx40的兩個根，那么P 點坐標是_【提示】P（m，n）在雙曲線上，則kxymn，又mn4，故k4【答案】（2，2）【點評】本題是反比例函數、一元二次方程知識的綜合應用由題意得出kmn4是關鍵14若一次函數ykxb 的自變量x 的取值范圍是2x6，相應函數值y 的范圍是11y9，則函數解析式是_【提示】當k0時，有，解得當k0時，有，解得【答案】yx6或yx4【點評】因k 是待定字母，而k 的不同取值，導致線段分布象限不一樣，自變量的取值與函數取值的對應關系也就不同故本例要分k0時自變量最大值對應函數最大值，與k0時自變量最大值對應函數最小值兩種情形討論15公民的月收入超過800元時，超過部分須依法繳納個人收入調節稅，當超過部分不足500元時，稅率（即所納稅款占超過部分的百分數）相同某人本月收入1260元，納稅23元，由此可得所納稅款y（元）與此人月收入x（元）800x1300間的函數關系為_【提示】因1260800460，5%，故在800x1300時的稅率為5%【答案】y5%（x800）【點評】本題是與實際問題相關的函數關系式，解題時應注意并不是每個人月收入的全部都必須納稅，而是超過800元的部分才納稅，故列函數式時月收入x須減去80016某種火箭的飛機高度h（米）與發射后飛行的時間t（秒）之間的函數關系式是h10 t220 t，經過_秒，火箭發射后又回到地面【提示】火箭返回地面，即指飛行高度為0，則10 t220 t0，故t0或t20【答案】20【點評】注意：t0應舍去的原因是此時火箭雖在地面，但未發射，而不是返回地面（三）解答題17（6分）已知yy1y2，y1 與x 成正比例，y2 與x 成反比例，并且x1時y4，x2時y5，求當x4時y 的值【解】設y1k1x，y2，則yk1x把x1時y4，x2時y5分別代入上式，得，解得 函數解析式為y2 x當x4時，y24 所求的y 值為【點評】本題考查用待定系數法求函數解析式關鍵在于正確設出y1，y2 與x 的函數解析式注意兩個比例系數應分別用k1，k2 表示出來，而不能僅用一個k 值表示18（6分）若函數ykx22（k1）xk1與x 軸只有一個交點，求k 的值【提示】本題要分k0，k0兩種情況討論【解】當k0時，y2 x1，是一次函數，此時，直線與x 軸必有一個交點當k0時，函數為二次函數，此時，D 4（k1）24 k（k1）12 k40 k 所求的k 值為0或【點評】注意，當問題中未指明函數形式，而最高次項系數含字母時，要注意這個系數是否為0函數圖象與x 軸有一個交點包括兩種情形：當函數是一次函數時，直線與x 軸必只有一個交點；當函數是二次函數時，在D 0的條件下，圖象與x 軸只有一個交點19（8分）已知正比例函數y4 x，反比例函數y（1）當k 為何值時，這兩個函數的圖象有兩個交點？k 為何值時，這兩個函數的圖象沒有交點？（2）這兩個函數的圖象能否只有一個交點？若有，求出這個交點坐標；若沒有，請說明理由【解】由y4 x 和y，得4 x2k0，D 16 k（1）當D 0，即k0時，兩函數圖象有兩個交點； 當D 0，即k0時，兩函數圖象沒有交點；（2） 比例系數k0，故D 0 兩函數圖象不可能只有一個交點20（8分）如圖是某市一處十字路口立交橋的橫斷面在平面直角坐標系中的一個示意圖，橫斷面的地平線為x 軸，橫斷面的對稱軸為y 軸，橋拱的DGD 部分為一段拋物線，頂點G 的高度為8米，AD 和AD是兩側高為5.5米的立柱，OA 和OA為兩個方向的汽車通行區，寬都為15米，線段CD 和CD為兩段對稱的上橋斜坡，其坡度為14（1）求橋拱DGD所在拋物線的解析式及CC的長（2）BE 和BE為支撐斜坡的立柱，其高都為4米，相應的AB 和AB為兩個方向的行人及非機動車通行區，試求AB 和AB的寬（3）按規定，汽車通過橋下時，載貨最高處和橋拱之間的距離不可小于0.4米，今有一大型運貨汽車，裝載上大型設備后，其寬為4米，車載大型設備的頂部與地面的距離為7米，它能否從OA（OA）安全通過？請說明理由【分析】欲求函數的解析式，關鍵是求出三個獨立的點的坐標，然后由待定系數法求之所以關鍵是由題中線段的長度計算出D、G、D的坐標，當然也可由對稱軸x0解之至于求CC、AB、AB的數值，則關鍵是由坡度的定義求解之；到底能否安全通過，則只需在拋物線的解析式中令x4，求出相應的y 值，即可作出明確的判斷【解】（1）由題意和拋物線的對稱軸是x0，可設拋物線的解析式為yax