第一講 直線方程知識歸納：一、 直線的傾斜角與斜率1、確定直線的幾何要素是：直線上兩不同的點或直線上一點和直線的方向兩個相對獨立的條件注意：表示直線方向的有：直線的傾斜角（斜率）、直線的方向向量、直線的法向量2、直線的傾斜角：當直線與軸相交時，我們取軸作為基準，軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角。注意：從用運動變化的觀點來看，直線的傾斜角是由x軸繞交點按逆時針方向轉到與直線重合時所成的角；規定：直線與軸平行或重合時，直線的傾斜角為直線傾斜角的取值范圍是： 在同一直角坐標系下，任何一條直線都有傾斜角且唯一，傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等，傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等。3、直線的斜率：傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，即。它從另一個方面反映了直線的傾斜程度。注意：一條直線必有一個確定的傾斜角，但不一定有斜率，當時，；當時，；當時，不存在，當時，。 即：斜率的取值范圍為例1、給出下列命題：若直線傾斜角為，則直線斜率為；若直線傾斜角為，則直線的傾斜角為；直線的傾斜角越大，它的斜率越大；直線的斜率越大，其傾斜角越大；直線的傾斜角的正切值叫做直線的斜率。其中正確命題的序號為 例2、已知直線的傾斜角為，且，求直線的斜率4、直線斜率的坐標公式經過兩點的直線的斜率公式：注意：斜率公式與兩點的順序無關，即特別地：當時，；此時直線平行于軸或與軸重合；當時，不存在，此時直線的傾斜角為，直線與軸平行或重合。例3、已知點，求直線的斜率并判斷傾斜角的范圍。例4、（三點共線問題）已知三點，證明這三點在同一條直線上例5、（最值問題）已知實數，滿足，當時，求的最大值和最小值5、直線的方向向量：已知是直線上的兩點，直線上的向量及與它平行的向量都稱為直線的方向向量。直線與軸不垂直時，此時，向量也是直線的方向向量，且它的坐標是，即（1，k），其中k為直線的斜率6、直線的法向量：如果向量與直線垂直，則稱向量為直線的法向量。二、直線的方程1、定義：一般地，以一個方程的解為坐標的點都是某條直線上的點，反過來，這條直線上點的坐標都是這個方程的解，這是，這個方程就叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個方程的直線。2、直線方程的幾種形式（1）點斜式：問題：若直線經過點，且斜率為k，求直線的方程。解析：設點是直線上不同于點的任意一點，根據經過兩點的直線的斜率公式，得，可化為，即為過點、斜率為k的直線的方程。方程是由直線上一點及其斜率確定的，把這個方程叫做直線的點斜式的方程，簡稱點斜式。注意：與是不同的，前者表示直線上缺少一個點，后者才是整條直線；當直線的傾斜角為時，即，這時直線的方程為 當直線的傾斜角為時，直線斜率不存在，這時直線與軸平行或重合，它的方程不能用點斜式表示，它的方程是。即：局限性是不能表示垂直于軸的直線。經過點的直線有無數條，可分為兩類情況：、斜率為k的直線，方程為 、斜率不存在的直線，方程為或寫為例6、根據條件寫出下列各題中的直線的方程經過點，傾斜角，經過點，斜率為2 經過點，且與軸平行經過點，且與軸垂直（2）斜截式：問題：已知直線的斜率是k，與軸的交點是，代入直線方程的點斜式，得直線的方程，也就是，我們稱是直線在軸上的截距。 這個方程是由直線的斜率k和它在軸上的截距確定的，所以叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式。注意： 局限性：不表示垂直于軸的直線 斜截式方程和一次函數的解析式相同，都是，但有區別：當斜率不為0時，是一次函數，當時，不是一次函數；一次函數（）必是一條直線的斜截式方程。例7、求傾斜角是直線的傾斜角的，且在軸上的截距為的直線的方程。（3）兩點式：問題：已知直線經過兩點，求直線的方程解析：因為直線經過兩點，所以它的斜率，代入點斜式，得，當時，方程可以寫成這個方程是由直線上兩點確定的，所以叫做直線的兩點式方程，簡稱兩點式。注意：方程與方程比較，后者比前者表示直線的范圍更小了，前者不能表示斜率不存在的直線，后者除此外，還不能表示斜率為0的直線；局限性：不能表示垂直于坐標軸的直線。兩點式方程與這兩個點的順序無關。例8、已知點，求直線的方程例9、一條光線從點出發，經軸反射，通過點，求入射光線和反射光線所在直線的方程（4）截距式：問題：已知直線與軸的交點為，與軸的交點為，其中，求直線的方程。解析：因為直線經過和兩點，將這兩點的坐標代入兩點式，得，即為如果直線與軸的交點為，則稱為直線在軸上的截距。以上直線方程是由直線在軸和軸上的截距確定的，所以叫做直線的截距式方程，簡稱截距式注意：方程中，所以它不能表示與坐標軸平行（重合）的直線，還不能表示過原點的直線。例10、過兩點，的直線在軸上的截距為 （5）一般式方程：以上幾種形式的直線方程都是二元一次方程，即平面上任何一條直線都可以用一個關于的二元一次方程表示；而關于的二元一次方程，它都表示一條直線。因此我們把的二元一次方程(其中A,B不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式。注意：直線的一般式方程能表示所有直線的方程，這是其他形式的方程所不具備的。直線的一般式方程成立的條件是A,B不同時為0。雖然直線的一般式有三個系數，但是只需兩個獨立的條件即可求直線的方程，若,則方程可化為; 若，則方程可化為，即;若，時，方程化為,它表示與軸平行或重合的直線；若，時，方程化為，它表示一條與軸平行或重合的直線；若時，則方程可化為 因此只需要兩個條件即可。直線方程的其他形式都可以轉化為一般式，因此在解題時若沒有特殊說明，應把最后結果互為直線的一般式例11、設直線的方程為，根據下列條件分別確定m的值（1）在軸上的截距為 -3 （2）的斜率是 -1（6）點向式：問題：設直線經過點，是它的一個方向向量，求直線的方程解析:設是直線上的任意一點，則向量與共線，根據向量共線的充要條件，存在唯一實數，使，即，所以 ，方程組稱為直線的參數式方程。如果直線與坐標軸不平行，則，于是可得，消去參數，得到直線的普通方程 這個方程稱為直線的點向式方程，叫做直線的方向數。思考：若給出直線的一般式方程，如何確定直線的方向向量？（7）點法式：問題：設直線有法向量，且經過點，求直線的方程解析：設是直線上的任意一點，則有，即因為，所以有 這個方向是由直線上一點及直線的法向量確定的，稱為直線的點法式。思考：若給出直線的一般式方程，如何確定直線的法向量？三、直線的位置關系（同一平面上的直線）1、平行與垂直（1）兩條直線平行的判定當兩條直線的斜率存在時，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式為例來研究直線平行的判定設兩條直線分別為，： ： 若，則的傾斜角相等，即由，可得，也即，此時；反之也成立。 所以有且當兩條直線的斜率都不存在時，二者的傾斜角均為，若不重合，則它們也是平行直線注意：當不考慮斜率，即給出直線的一般式時，有如下結論：設兩條直線分別為：，： 可得（其中分母不為0）或（可用直線的方向向量或法向量解釋）例12、已知點和直線：，求過點A和直線平行的直線。（引出平行直線系方程）（2）兩條直線垂直的判定當兩條直線的斜率存在且不為0時，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式為例來研究直線平行的判定設兩條直線分別為，： ： 則得直線的方向向量為： 的方向向量為：，所以有即注意： 或用兩條直線的傾斜角推倒：即，得到兩條直線中，一條斜率不存在，同時另一條斜率等于零，則兩條直線垂直。由得，兩條直線垂直的判定就可敘述為：一般地，或一條斜率不存在，同時另一條斜率等于零。注意：當不考慮斜率，即給出直線的一般式時，有如下結論：設兩條直線分別為：，： 可得例13、求與直線垂直且過點（1，2）的直線方程（引出垂直直線系方程）例14、已知兩直線：，： ，當為何值時，直線與：平行 重合 垂直例15、已知長方形ABCD的三個頂點的坐標分別為A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四個頂點D的坐標例16、求證：不論為取什么實數，直線總通過某一定點例17、已知直線，（1）若時，恒成立，求的取值范圍；（2）若時，恒有，求的取值范圍四、到角、夾角（1）到角公式定義：兩條直線和相交構成四個角，他們是兩對對頂角，為了區別這些角，我們把直線繞交點按逆時針方向旋轉到與重合時所轉的角，叫做到的角，如圖，直線到的角是， 到的角是推倒：設已知直線方程分別是： ：.到的角是 若，即，那么 若，設、的傾斜角分別為，則由圖1）的，所以由圖2）的，所以于是即 就是到的角的正切值，簡稱為到角公式（2）夾角公式定義：由（1）得，到的角是，所以當與相交但不垂直時，在和中有且只有一個角是銳角，我們把其中的銳角叫做兩條直線的夾角，記夾角為，則，即為夾角公式當直線時，直線與的夾角為例18、等腰三角形一腰所在直線的方程是，底邊所在直線的方程是，點在另一腰上，求這條腰所在直線的方程五、兩條直線的交點坐標：1、設兩條直線分別為：，： 則與是否有交點，只需看方程組是否有唯一解若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行；若方程組有無窮多解，則兩直線重合例19、求經過兩直線和的交點且與直線平行的直線方程。經過兩直線與交點的直線系方程為，其中是待定系數，在這個方程中，無論取什么實數，都得到，因此，它不能表示直線。2、對稱問題（1）點關于點的對稱，點A(a，b)關于的對稱點B（m，n），則由中點坐標公式，即B（） 。（2）點關于直線的對稱，點關于直線（A、B不同時為0）的對稱點，則有AA的中點在上且直線AA與已知直線垂直。（3）直線關于直線的對稱，一般轉化為點關于直線的對稱解決，若已知直線與對稱軸相交，則交點必在與對稱的直線上，然后再求出上任意不同于交點的已知點關于對稱軸對稱的點，那么經過交點及點的直線就是；若直線與對稱軸平行，則在上任取兩不同點、，求其關于對稱軸的對稱點、，過、的直線就是。例題20、已知直線，試求點P(4,5)關于的對稱坐標；直線關于直線的對稱的直線方程。例題21、求函數的最小值。六、兩點間的距離，點到直線間的距離（1）兩點間的距離：已知則（2）點到直線的距離:已知點，直線（A、B不同時為0），求點到直線的距離。解法一：如圖，作于點，設，若A,BO,則由,得，從而直線的方程為，解方程組得容易驗證當A=0或B=0時，上式仍然成立。解法二：如圖，設A0,B0，則直線與x軸和y軸都相交，過點分別作x軸和y軸的平行線，交直線于R和S，則直線的方程為，R的坐標為（-）；直線的方程為，S的坐標為（-），于是有,。設，由三角形面積公式可得.于是得因此，點到直線的距離容易驗證，當A=0或B=0時，上式仍成立。注意:若給出的方程不是一般式，則應先把方程化為一般式，再利用公式求距離；點到直線的距離是點到直線上的點的最短距離；若點在直線上，則點到直線的距離為0，但距離公式仍然成立，因為此時。（3）兩平行線間的距離。定義；兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間公垂線段的長，即一條直線上的點到另一條直線的距離。兩條平行直線與的距離公式推導過程：設為直線上任意一點，則到的距離為，又因為在上，所以，即,所以。注意：應用此公式時，要把兩直線化為一般式，且x、y的系數分別相等。例題22、求經過點A(-1,2)與B()的直線上一點C（5，n）到直線的距離。例題23、求經過點A（1，2）且到原點的距離等于1 的直線方程。例題24、已知三角形ABC中，點A（1，1），B（m，）（1m4），C（4，2）,求m為何值時三角形面積最大。例題25、求過點P（1，2）且與A（2，3），B(4,-5)兩點距離相等的直線方程。作業：1、設，則直線的傾斜角為（ ） 2、設P（x，y）是曲線C：上任意一點，則的取值范圍是( )A B C D3、已知M(2，3)，N(3，2)，直線l過點A(1，1)且與線段MN相交，則直線l的斜率k的取值范圍是A.k或k4B.4kC.k4D.k44過點P（6，2）且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線的方程是ABC D5、若直線l經過點(1,1),且與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為2,則直線l的條數為 (A)1 (B)2 (C)3 (D)46、如圖所示，直線l1：axyb=0與l2：bxya=0(ab0,ab)的圖象只可能是( ) 7、若三點A(3,a)、B(2,3)、C(4,b)在一條直線上,則有 ( )(A)a=3,b=5 (B)b=a+1 (C)2ab=3 (D)a2b=38、直線經過原點和點(1,1),則它的傾斜角是 a A. B. C.或 D.9.已知直線：A1x+B1y+C10與直線：A2x+B2y+C20相交，則方程1（A1xB1yC1）2（A2x+B2y+C2）=0,(0)表示 （ ） A.過與交點的一切直線 B.過與的交點，但不包括可包括的一切直線C.過與的交點，但包括不包括的一切直線 D.過與的交點，但既不包括又不包括的一切直線10.方程(a1)xy+2a+1=0(aR)所表示的直線 ( )A.恒過定點(2,3) B.恒過定點(2，3)