一元二次方程的解及其圖像 乾安縣實驗中學 一元一次方程二元一次方程 組 分式方程數的開方二次根式 一元二次方程 二次函數 教學目標 1 知道一元二次方程的定義 能熟練地把一元二次方程整理成一般形式 0 并能指出二次項系數 一次項系數和常數項 2 經歷由實際問題抽象出一元二次方程和過程 進一步體會方程是刻畫現實世界數量關系的一種有效數學模型 增加對一元二次方程的感性認識 3 在實際問題轉化為數學模型 一元二次方程 的過程中 體會學習一元二次方程的必要性和重要性 1 下列式子哪些是方程 2 3 53x 25x 3 18x 2y 5 沒有未知數 不是等式 含有未知數的等式叫方程 含有未知數的等式叫方程 不是等式 方程的本質特征是什么 2 我們學過哪些方程 一元一次方程 二元一次方程 分式方程 3 什么叫一元一次方程 方程的 元 和 次 是什么意思 只含有一個未知數 并且未知數的次數是1次的整式方程叫一元一次方程 一元 一次 問題1 綠苑小區住宅設計 準備在每兩幢樓房之間 開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地 并且長比寬多10米 那么綠地的長和寬各為多少 問題1 綠苑小區住宅設計 準備在每兩幢樓房之間 開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地 并且長比寬多10米 那么綠地的長和寬各為多少 x x 10 問題1 綠苑小區住宅設計 準備在每兩幢樓房之間 開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地 并且長比寬多10米 那么綠地的長和寬各為多少 解 設長方形綠地的寬為x米 則長為 x 10 米 可得方程 設未知數 長 寬 面積相等關系 x x 10 900 整理可得 1 去年底 5 今年底 5 5x 5 1 x 明年底 5 1 x 5 1 x x 5 1 x 1 x 5 1 x 2 問題2 學校圖書館去年年底有圖書5萬冊 預計到明年年底增加到7 2萬冊 求這兩年的年平均增長率 解 設這兩年的年平均增長率為x 根據題意得方程 5 1 x 2 7 2 注意 每年都是在上一年的基礎上增長 整理得 x2 10 x 900 0 1 5x2 10 x 2 2 0 2 特征 1 都是整式方程 2 只含有一個未知數 3 未知數的最高次數是2 概括 只含有一個未知數 并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程 一元二次方程通常可寫成如下的一般形式 ax2 bx c 0 a 0 特征 方程的左邊按x的降冪排列 右邊 0 練習 下列方程中哪些是一元二次方程 試說明理由 不是 是 不是 不是 討論 為什么二次項系數a不能為0 假如a 0會出現什么情況 b c能不能為0 ax2 bx c 0 a 0 ax2 bx c 0 二次項 一次項 常數項 二次項系數 一次項系數 a 0 一元二次方程的項和各項系數 練習1 指出下列一元二次方程的二次項系數 一次項系數和常數項 2 1 3 3 0 5 1 3 0 2 將下列一元二次方程化為一般形式 并分別指出它們的二次項系數 一次項系數和常數項 3x2 1x 2 0 2x2 7x 3 0 1x2 5x 0 0 2x2 5x 11 0 友情提示 某一項的系數包括它前面的符號 五 拓展練習 1 關于x的方程ax2 2bx a 2x2 在什么條件下此方程為一元二次方程 在什么條件下此方程為一元一次方程 解 移項 ax2 2bx a 2x2 0 合并同類項 a 2 x2 2bx a 0 所以 當a 2時是一元二次方程 當a 2 b 0時是一元一次方程 2 已知關于x的一元二次方程 m 1 x2 3x 5m 4 0有一根為2 求m 什么叫方程的根 能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值 叫方程的根 解 把x 2代入原方程得 m 1 22 3 2 5m 4 0解這個方程得 m 6 3 已知關于x的方程是一元二次方程 求m的值 分析 因為方程是一元二次方程 故未知數x的最高次數 m 1 2 解之得 m 1或m 1 又因二次項系數m 1 0 即m 1 所以m 1 溫馨提示 注意陷井二次項系數a 0 26 1二次函數y ax2的圖象和性質 知識回顧 1 二次函數的一般形式是怎樣的 y ax bx c a b c是常數 a 0 探究新知 你會用描點法畫二次函數y x2的圖象嗎 觀察y x2的表達式 選擇適當x值 并計算相應的y值 完成下表 9 4 1 1 0 4 9 描點 連線 y x2 二次函數y x2的圖象形如物體拋射時所經過的路線 我們把它叫做拋物線 這條拋物線關于y軸對稱 y軸就是它的對稱軸 對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點 議一議 2 圖象與x軸有交點嗎 如果有 交點坐標是什么 4 當x0呢 3 當x取什么值時 y的值最小 最小值是什么 你是如何知道的 觀察圖象 回答問題 1 圖象是軸對稱圖形嗎 如果是 它的對稱軸是什么 請你找出幾對對稱點 當x 0 在對稱軸的左側 時 y隨著x的增大而減小 當x 0 在對稱軸的右側 時 y隨著x的增大而增大 拋物線y x2在x軸的上方 除頂點外 頂點是它的最低點 開口向上 并且向上無限伸展 當x 0時 函數y的值最小 最小值是0 1 二次函數y x2的圖象是什么形狀 做一做 你能根據表格中的數據作出猜想嗎 2 先想一想 然后作出它的圖象 3 它與二次函數y x2的圖象有什么關系 在學中做 在做中學 x y 0 4 3 2 1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 2 1 描點 連線 y x2 當x 0 在對稱軸的左側 時 y隨著x的增大而增大 當x 0 在對稱軸的右側 時 y隨著x的增大而減小 y 拋物線y x2在x軸的下方 除頂點外 頂點是它的最高點 開口向下 并且向下無限伸展 當x 0時 函數y的值最大 最大值是0 1 拋物線y ax2的頂點是原點 對稱軸是y軸 2 當a 0時 拋物線y ax2在x軸的上方 除頂點外 它的開口向上 并且向上無限伸展 當a 0時 拋物線y ax2在x軸的下方 除頂點外 它的開口向下 并且向下無限伸展 3 當a 0時 在對稱軸的左側 y隨著x的增大而減小 在對稱軸右側 y隨著x的增大而增大 當x 0時函數y的值最小 當a 0時 在對稱軸的左側 y隨著x的增大而增大 在對稱軸的右側 y隨著x增大而減小 當x 0時 函數y的值最大 二次函數y ax2的性質 歸納 做一做 1 拋物線y 2x2的頂點坐標是 對稱軸是 在對稱軸側 y隨著x的增大而增大 在對稱軸側 y隨著x的增大而減小 當x 時 函數y的值最小 最小值是 拋物線y 2x2在x軸的方 除頂點外 2 拋物線在x軸的方 除頂點外 在對稱軸的左側 y隨著x的 在對稱軸的右側 y隨著x的 當x 0時 函數y的值最大 最大值是 當x0時 y 0 六 本課小結 1 只含有一個未知數 并且未知數的最高次數是2的整式方程 叫做一元二次方程 2 一元二次方程的一般