1 楊浦高級中學 2014 學年度高三學科測試 數學試卷 摸底考 2014 9 考生注意 1 答卷前 考生務必在答題紙規定處寫上姓名 考號 2 本試卷共有 23 道題 滿分 150 分 考試時間 120 分鐘 一 填空題 本大題滿分 56 分 本大題共有 14 題 考生應在答題紙相應編號的空格內直接 填寫結果 每個空格填對得 4 分 否則一律得零分 1 已知集合 11Mx x 2 230 Nx xx 那么MN 答案 2 3 2 命題 若ab 則 22 acbc 的逆否命題是 答案 若 22 acbc 則ab 3 函數 0 1 2 lg x f xx x 的定義域是 答案 0 1 1 2 2 4 當0 x 時 9 x x 的最大值是 答案 6 5 函數 2 2 0 f xxx x 的反函數為 答案 1 11 0 fxx x 6 方程 2 33 log 10 1 logxx 的解為 答案 5 7 已知 f x是定義在R上的奇函數 當0 x 時 3 1 f xxx 則函數 f x的解析式 為 答案 3 3 1 0 1 0 xxx f x xxx 8 設 2t 或5t 22 210 R ttat 若 是 的充分非必要條件 則正實 數a的取值范圍是 答案 0 1 2 9 用min a b c表示 a b c三個數中的最小值 設 min 2 2 10 x f xxx 0 x 則 函數 f x的值域為 答案 6 10 在正方體八個頂點中任取四個 能組成三棱錐的概率為 答案 29 35 11 已知定義在 9 9 上的偶函數 yf x 在 0 9 上單調遞減 則關于x的不等式 3 4 fxf x 的解集為 答案 3 2 1 3 12 在直三棱柱 111 ABCABC 中 4 3ABACBC D為AB的中點 則點C到平面 11 A ABB的距離為 答案 5 13 函數 2 2yaxx 的圖像上有且僅有兩個點到x軸的距離為2 則實數a的取值范圍是 答案 11 0 22 分析 勿易漏0a 的情況 0a 時 只需頂點的縱坐標在 2 2 之間即可 14 x表示不超過x的最大整數 也可稱為x的整數部分 則方程 1 8 xxx 在 1 1 上的解集為 答案 22222 444 分析 討論10 x 01x 1x 三種情況即可 二 選擇題 本大題滿分 20 分 本大題共有 4 題 每題有且只有一個正確答案 考生應在 答案紙的相應編號上 填上正確的答案 選對得 5 分 否則一律得零分 15 已知非零實數 a b滿足ab 則下列不等式中成立的是 A 22 ab B 11 ab C 22 a bab D 22 ab ba 答案 D 16 設命題甲 x和y滿足 12 34 x y 命題乙 46 38 xy xy 那么甲是乙的 A 充分非必要條件 B 必要非充分條件 3 Q B O A S C 充要條件 D 既非充分又非必要條件 答案 A 17 已知函數 1 2 3 0 log 0 x x f x x x 若 0 3f x 則 0 x的取值范圍是 A 0 8x B 80 0 x C 0 0 x或80 0 x D 0 0 x或8 0 x 答案 C 18 已知函數 1 2 3 2014 1 2 3 f xxxxxxxx 2014 x Rx 且 2 32 1 f aaf a 則a的值有 A 2 個 B 3 個 C 4 個 D 無數個 答案 D 分析 對于函數 f x在 1 1 x 時為常值 因此 2 1321 11 1 aa a 解得 35 2 2 a 所以a的值有無數個 三 解答題 本大題滿分 74 分 本大題共 5 題 解答下列各題必須在答題紙相應編號的規 定區域內寫出必要的步驟 19 本題滿分 12 分 如圖 過圓錐軸的截面為等腰直角三角形SAB Q為底面圓周上一點 已知2 3BQ 圓錐體積為 8 3 點O為底面圓的圓心 設異面直線SA與BQ所成角 的大小為 求tan 的值 解 設底面圓的半徑為R 則由題意得RSO 2 18 33 R R 2R 3 分 聯結QO并延長交圓周于C點 圖略 再聯結 AC AQBC SC 4 則AOBOQOOC 所以 四邊形AQBC是平行四邊形 2 分 AC QB SAC 的大小為異面直線SA與BQ所成角 的大小 2 分 在SAC 中 2 2 2 3 SASCACQB 2 分 過點S作SHAC 于點H 則 22 515 tan 33 SHSAAH AHAH 3 分 20 本題滿分 14 分 本題共有 2 個小題 第 1 小題滿分 6 分 第 2 小題滿分 8 分 設U為全集 A B是兩個非空集合 定義A與B的 差集 為 AB x xAxB 且 1 試在右圖中用圖示法表示AB 并用集合的 交集 并集和補集的符號表示AB 2 若RU 2 4 Mx yx 2 2 x Ny y x 試求MN 答案 1 圖略 3 分 U ABAB 3 分 2 2 2 M 3 分 0 8 N 3 分 2 444 24 22 x yx xx 由基本不等式求值域 0 2 MN 2 分 21 本題滿分 14 分 本題共有 2 個小題 第 1 小題滿分 6 分 第 2 小題滿分 8 分 已知函數 2 log 424 xx f xb g xx 1 當5b 時 試判斷該函數的奇偶性 2 若 f xg x 對一切2x 恒成立 求b的取值范圍 U A B 5 解 1 由45 240 xx 2 分 解得 f x的定義域為 0 2 2 分 所以該函數為非奇非偶函數 2 分 本題也可通過代入具體的數值來證明非奇非偶 2 由 f xg x 得4242 xxx b 即 4 12 2 x x b 2 分 令 4 12 2 x x h x 任取 12 2xx 21 21 12 4 22 1 2 xx xx h xh x 21 12 4 224 10 2 xx xx 所以 12 h xh x h x在 2 單調遞減 3 分 則 2 4h xh 1 分 當4b 時 f xg x 恒成立 2 分 22 本題滿分 16 分 本題共有 3 個小題 第 1 小題滿分 4 分 第 2 小題滿分 6 分 第 3 小題滿分 6 分 國際上鉆石的重量計量單位為克拉 已知某種鉆石的價值V 美元 與其重量W 克拉 的平方成正比 且一顆重為 3 克拉的該種鉆石的價值為 54000 美元 1 寫出 關于 的函數關系式 2 若把一顆鉆石切割成重量比為 1 3 的兩顆鉆石 求價值損失的百分率 3 把一顆鉆石切割成兩顆鉆石 若兩顆鉆石的重量分別為 m 克拉和 n 克拉 試用你所學 的數學知識證明 當 m n 時 價值損失的百分率最大 注 價值損失的百分率 原有價值 現有價值原有價值 100 在切割過程中的重量損耗忽略不計 解 1 依題意設 v k 2 1 分 又當 3 時 v 54000 k 6000 1 分 故 v 6000 2 0 2 分 2 設這顆鉆石的重量為 a 克拉 由 可知 按重量比為 l 3 切割后的價值為 6000 1 4 a 2 6000 3 4 a 2 6 價值損失為 6000a2一 6000 1 4 a 2 6000 3 4 a 2 價值損失的百分率為 222 2 13 6000 6000 6000 44 0 37537 5 6000 aaa a 5 分 答 價值損失的百分率為 37 5 1 分 3 證明 價值損失的百分率應為 2 222 222 2 6000 60006000 21 2 6000 2 mn mnmnmn mnmnmn 2 分 等號當且僅當 m n 時成立 2 分 即把一顆鉆石切割成兩顆鉆石 當兩顆鉆石的重量相等時 價值損失的百分率達到最大 2 分 23 本題滿分 18 分 本題共有 3 個小題 第 1 小題滿分 4 分 第 2 小題滿分 6 分 第 3 小題滿分 8 分 已知二次函數 2 f xaxbxc 0a 1 當1ac Zb 時 關于x的二次方程 2f x 在區間 1 3 2 內有兩個不相等的實 數根 求函數 f x的解析式 2 在 1 的條件下 若 1 xt 1t 時 總有 4 4f xx 成立 求t的最大值 3 若關于x的方程 f xx 沒有實數根 試判斷關于x的方程 f f xx 是否有實數根 并證明你的結論 解 1 由已知 2 2 0 1 3 22 3 310 11 10 22 b b b 解得 38 Z 23 bb 2 分 所以2b 2 21f xxx 2 分 7 2 由 4 4f xx 知 2 1090 xx 解得19x 4 分 因為 1 xt 1t 總有不等式恒成立 所以t的最大值為9 2 分 3 沒有實數根 2 分 2 1 0f xxaxbxc 無實數根 2 1 40bac 0f f xx 1 分 222 0a axbxcb axbxccx 222 1 1 1 0axbxc a xa bxbac 2 分 于是 2 1 0axbxc 或 22 1 10a xa bxbac 2 1 1 40bac 1 分 222222 2 1 4 1 1 44 40a ba acbabaca 2 分 故均不存在實數根 方法二 若0a 則 f xx 恒成立 若存在x f xx 則 f xx 必有實根 2 分 于是 f f xf xx 2 分 若0a 則 f xx 2 分 于是 f f xf xx 所以 f f xx 沒有實數根 2 分 8 楊浦高級楊浦高級中學中學 2014 學年度高三學科測試學年度高三學科測試 數學 數學 雙向細目表雙向細目表 2014 9 認知水平認知水平 知識點知識點 題號題號 題型題型 記憶水平記憶水平 解釋性理解解釋性理解 探究性理解探究性理解 分值分值 合計合計 得分得分 率率 大大 小小 知道知道 理解理解 掌握掌握 集合與命題 不等式 集合的運算 解 絕對值不等式 一 元二次不等式 一 1 填空題 4 4 集合與命題 四種命題形式 一 2 填空題 4 4 函數及其基本性質 函數的定義域 一 3 填空題 4 4 不等式 基本不等式 一 4 填空題 4 4 反函數 求反函數 一 5 填空題 4 4 冪 指 對函數 對數方程 一 6 填空題 4 4 函數及其基本性質 奇偶性 一 7 填空題 4 4 集合與命題 不等式 子集與推出關 系 含參不等式 一 8 填空題 4 4 函數及其基本性質 學習型題 函數 的值域 一 9 填空題 4 4 概率 對立事件 一 10 填空題 4 4 函數及其基本性質 奇偶性 單調性 一 11 填空題 4 4 簡單幾何體 一 12 填空題 4 4 9 直三棱柱模型 點面距離 線面垂 直 函數及其基本性質 二次函數的圖像 與性質 一 13 填空題 4 4 函數及其基本性質 絕對值函數的性 質 學習型問題 一 14 填空題 4 4 不等式 不等式的性質 二 15 選擇題 5 5 命題 不等式 充要條件 不等 式的性質 二 16 選擇題 5 5 函數及其基本性質 解指對不等式 分段函數 二 17 選擇題 5 5 不等式 函數及其基本性質 絕對值函數的性 質 奇偶性 解 一元二次不等式 組 二 18 選擇題 5 5 簡單幾何體 圓錐的性質 圓 錐的體積 異面直 線所成的角 三 19 解答題 12 12 集合 函數及其基本性質 集合的運算 學 習型題 函數的值 域 三 20 解答題 6 8 14 函數及其基本性質 奇偶性 恒成立 問題 函數單調性 的證明 求函數的 三 21 解答題 6