學年第二學期期末考試試卷（同濟大學版）附答案 一、單選題（共15分，每小題3分）1設函數在的兩個偏導， 都存在，則 ( )A在連續 B在可微 C 及 都存在 D存在2若，則等于（ ） 3設是圓柱面及平面所圍成的區域，則） 4 4若在處收斂，則此級數在處（ ） A 條件收斂 B 絕對收斂 C 發散 D 斂散性不能確定5曲線在點（1，1，2）處的一個切線方向向量為（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空題（共15分，每小題3分） 1設，則 .2交 換的積分次序后，_3設，則在點處的梯度為 .4. 已知，則 .5. 函數的極小值點是 .三、解答題（共54分，每小題6-7分）1.（本小題滿分6分）設, 求,.2.（本小題滿分6分）求橢球面的平行于平面的切平面方程，并求切點處的法線方程.3. （本小題滿分7分）求函數在點處沿向量方向的方向導數。4. （本小題滿分7分）將展開成的冪級數，并求收斂域。5（本小題滿分7分）求由方程所確定的隱函數的極值。6（本小題滿分7分）計算二重積分及圍成.7.（本小題滿分7分）利用格林公式計算，其中是圓周（按逆時針方向）.8.（本小題滿分7分）計算，其中是由柱面及平面所圍成且在第一卦限內的區域.四、綜合題（共16分，每小題8分）1（本小題滿分8分）設級數都收斂，證明級數收斂。2（本小題滿分8分）設函數在內具有一階連續偏導數，且，證明曲線積分與路徑無關若對任意的恒有，求的表達式參考答案及評分標準一、單選題（共15分，每小題3分）：1.C 2 D 3 C 4B 5 A二、填空題（共15分，每小題3分）1.-1 2. 3. 4 5. (2,2)三、解答題（共54分，每小題6-7分）1解：; (3分) =+ ( 6分).2. 解：記切點 則切平面的法向量為滿足： ，切點為：或 (3分)，切平面： ( 4分)， 法線方程分別為：或者 ( 6分)3. 解： ( 3分), ( 7分)4. 解：=, ( 2分)因為 ，,所以=,其中 ，即.( 5分)當時，級數為發散；當時，級數為發散,故=， ( 7分)5. 解：由, 得到與, ( 2分) 再代入，得到即。 由此可知隱函數的駐點為與。 ( 4分)由，可知在駐點與有。( 5分)在點，因此 ，所以為極小值點，極小值為；( 6分)在點，因此 ，所以為極大值點，極大值為， ( 7分)6. 解：記，則.（2分） 故 ( 4分) （7分）7. 解：所圍區域：,由格林公式，可得= =.(7分)OOOOO裝O訂O線OOOOOxyz118. 解：如圖，選取柱面坐標系計算方便,此時，所以 ( 4分)=. (7分)四、綜合題（共16分，每小題8分）1證明：因為，（2分）故存在N，當時，因此收斂。（8分）2證明：因為，且，故曲線積分與路徑無關（4分）因此設，從而，（5分），（6分）由此得對任意成立，于是，即（8分）大一學年第一學期期末考試試卷11、 極限概念：=_ 。2、連續（與可導）。 設，若在處連續,則 = _；若不連續，則是第_ 類間斷點。3、極限， ？設 ，求常數 。已知，求。 存在，求。4、等價無窮小： 當時，和等價求常數 。5、設，函數是否可微？6、高階導數：7、導數定義：（1）已知 ，則：（2）可導函數有，對任何均滿足，則（3）已知，是連續的函數，求。（4）討論函數 在處的導數。8、求導數：（1）、，求 （2）、 求 （3）、函數由方程所確定，求（4）、（5）、，求 9、導數的幾何意義、物理意義、經濟含義。（1）設商品的需求函數為，求時的需求價格彈性和收益價格彈性，并說明其經濟意義。（2）設有周期函數 ，周期為5，可導，如果：，求曲線在點處的切線方程。（4）設曲線和相切，求。大一學年第一學期期末考試試卷2一、填空題1 函數的極小值為 。2. 曲線在點（1，2）處的切線方程是 。3. 函數f (x)=1x3x5,則f (x3x5)= 4ex dx= 。 5、微分方程的通解為 。6、通解為的微分方程是 。二、選擇題7 設函數，則（ ） （A）為無窮間斷點； （B）為可去間斷點； （C）為跳躍間斷點； （D）為非無窮第二類間斷點。8. 設函數可微，則的微分=（ ） （A）； （B）； （C）； （D）9. 設函數y = f (x)可導，且，則當時，該函數在x0處的微分是 .（A）x的等階無窮小； （B）x的同階無窮小；（C）x的高階無窮小； （D）x的低階無窮小10. 對于不定積分，在下列等式中正確的是 .（A）； （B）；（C）； （D）11. 的間斷點類型是（ ） （A）可去； （B）跳躍； （C）無窮； （D）A、B、C都有.12、微分方程的通解為（ ）A、; B、; C、; D、;13、設,則( ) A、; B、; C、; D、;14、方程的特解形式為（ ）A、; B、;C、;D、;三、解答題15、設，且存在，求16、17、求（用兩種方法）18. 設： 求 19. 已知函數，試求：（1）的單調區間；（2）的凹凸區間及拐點；（3）曲線的漸近線.20.設函數在a,b上連續，在(a, b)上可導且，試證明存在，使得21、設，求。22. 設非負函數在上滿足 ，曲線與直線及坐標軸圍成圖形的面積為2，求函數大一學年第一學期期末考試試卷3一、選擇題1. 下列函數中,奇函數是（ ） ; ; ; 2. 當時,下列哪個是的高階無窮小（ ）; ; . （ ） ; ; ; . （ ） ; ; ; .5. 下列論斷正確的是（）A、 可導極值點必為駐點B、 極值點必為駐點 C、 駐點必為可導極值點D、 駐點必為極值點6、已知曲線經過原點，且在原點處的切線與直線平行，而 滿足微分方程，則曲線的方程為（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。7、下列方程中，設是它的解，可以推知也是它的解的方程是（ ） (A) ； (B) ；(C) ； (D) 。二、填空題 . . . 13. 若，則f(x)=_。14、微分方程的特解可設為 。15、函數在點處具有任意階導數，則在處的Taylor展開式中的Taylor系數 三、計算題 20. 設函數f(x)，g(x)在a,b上連續且f(a)g(a)，f(b)g(b)，求證：在（a,b）內，曲線y=f(x)與y=g(x)至少有一個交點。北京郵電大學高等數學綜合練習題一、填空：1. 函數的定義域為_.1. 函數的定義域為_.2. 若的定義域為，則的定義域為_. 3. 若的定義域為，則的定義域為_.4. 若的定義域為，則的定義域為_.5. 若，則=_.6. 若，則=_.7. 若，則=_.8. 若，則=_.9. 若，則=_.10. 設為偶函數，為奇函數，定義域均為. 若.則=_, =_.11. 若，則=_.12. 函數的反函數為_.13. 函數的反函數為_.14. 若，則=_.15. ln(x+1)與x是當_時的等價無窮小.16. 與是當_時的等價無窮小.17. 若 在=0處連續，則=_. 18. 若在定義區間內連續，則=_.19. 若在定義區間內連續，則=_.20. 若在處連續，則=_.21. 的間斷點為_.22. 若=0，=-3，則=_.23. 若，則=_.24. 若=2，則=_.25. 若=3，則=_.26. 設存在二階導數且，若，則_.27. 曲線在（e，e）點處的切線方程為_.28. 函數的單調增加區間為_.29. 若在點處有極大值且存在，則=_.30. 曲線的拐點為_.31. 若是的一個原函數，則=_.32. 若，則=_.33. 若，則_.34. 設是上的連續函數，則=_.35. 設是上的連續函數，則=_.36. 微分方程的通解為_.二、單項選擇：1. 函數的定義域為（ ）.A. (1, 4) B. -4, -1 C. (-4, -1) D. 1, 42. 函數與相同的區間是（ ）.A. (-, 0) B. (0, +) C. (-, +) D. (-1, 1)3. 下列四組函數中與表示同一函數的是（ ）.A. ， B. ，C. ， D. ，4. 若，則=（ ）.A. 64 B. 16 C. D. 5. 下列函數中是奇函數的是（ ）.A. B. C. D. 6. 若，則=（ ）.A. B. C. D. 7. 函數的反函數y =（ ）.A. B. C. D. 8. 函數的反函數（ ）. A. B. C. D. 9. 是當（ ）時的無窮小. A. B. 1 C. 0 D. -110. 是當（ ）時的無窮小. A. - B. + C. -1 D. 111. 當=（ ）時， 在=0處連續.A. 2 B. -2 C. 0 D. -412. 設在的某鄰域內有定義，若，則=（ ）.A. 1 e B. e C. 1 D. 013. 若=3，則=（ ）.A. 3 B. 3 C. 6 D. 614. 若 存在，則=（ ）. A . B. C. D. 015. 若，則（ ）.A. 2 B. C. 1 D. 1 16. 設曲線在點M處的切線斜率為3，則點M的坐標為（ ）.A . (0, 1) B. (1, 1) C. (1, 0) D. (0, 0)17. 函數的單調減少區間為（ ）. A. B. C. (-, 0) D. (0, +)18. 設存在二階導數，如果在區間內恒有（ ），則在內曲線上凹.A. B. C. D. 19. 若，=（ ）.A. B. C. D. 20. 若是的一個原函數，則=（ ）. A. B. C. D. 21. =（ ）.A. 0 B. C. D. 22. 若，則=（ ）. A. B. C. D. 23. 若，則=（ ）. A. B. C. D. 24. 微分方程是（ ）階微分方程.A. 2 B. 3 C. 4 D. 525. 微分方程的通解為（ ）. A. B. C. D. （c為任意常數）三、計算下列極限： 1. 2.3. 4.5. 6.7. 8.9. 10.11. 12.13. 14.15. 16.17. 18.19. 20. 21. 22.23. 24. 25. 26.27. 28.29. 30.31. 32. 四、求下列導數或微分： 1. 設，求.2. 設，求.3. 設，求.4. 設，求.5. 設，求.1. 設，求.2. 設，求.3. 設，求.4. 設，求.5. 設，求.6. 設，求.7. 設，求.8. 設，求.9. 設，求.10. 設，求.11. 設，求.12. 設，求.13. 設，求.14. 設，求.15. 設，求.16. 設，求、.17. 設，存在且不為零，求、.18. 設，求、.19. 設，求、.20. 設，求.21. 設，求.22. 設，求.23. 設，求.五、求下列各積分：1. 2.3. 4.5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.25. 26.27. 28. 29. 30.六、求解下列各題：1. 求函數的極值.2. 求函數的極值.3. 求函數的極值.4. 求曲線的凹凸區間及拐點.5. 求函數的圖形的凹凸區間及拐點.6. 證明：當時，有成立.7. 證明：當時，有成立.8. 設是內的可導函數，若令，用導數定義證明：是奇函數.9. 若是奇函數且連續，證明：是偶函數.10. 求由曲線和所圍成的平面圖形的面積.11. 求由曲線和所圍成的平面圖形的面積.12. 求由曲線與所圍成的圖形的面積.13. 求由曲線、和所圍成的平面圖形的面積.14. 求由曲線、和所圍成的平面圖形的面積.15. 求由曲線、和所圍成的平面圖形的面積.16. 求由與和x軸所圍成的平面圖形的面積.17. 求由曲線、和所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周所成的立體的體積.18. 求由曲線和所圍成的平面圖形繞y軸旋轉一周所成的立體的體積.19. 求微分方程的通解. 20. 求微分方程的通解.1、當時，與相比較是 無窮小。2、 3、曲線在處的切線斜率為 4、當滿足條件_時，積分收斂5、曲線的極值點是 6、設函數則 7、若，則 8、 9、若，則 10、微分方程的通解為_1、當時，與相比較是 無窮小.2、設函數，則 .3、設，則方程有 個實根.4、當滿足條件_時，積分收斂.5、設函數，則 .6、函數的極值點是 .7、 .8、若，則 .9、 .10、微分方程的通解為_.一、 單項選擇題（每小題2分，共10分）1、函數的定義域為（ ）A B C D 2、函數在處是在處連續的( )A. 充分非必要條件 B. 必要非充分條件C. 充要條件 D. 無關條件3、函數在處（ ）A 不連續 ； B 可導； C 連續但不可導； D 無定義4、 下列式子中，正確的是（ ） A. B. C. D.5、設，則_. A B. C. D. 二、單項選擇題（每小題2分，共10分）1函數的定義域為（ ）.A； B. ； C. ； D. 2、若在的鄰域內有定義，且，則（ ）.A 在處有極限，但不連續； B 在處有極限，但不一定連續;C 在處有極限，且連續； D在處極限不存在，且不連續。3、函數在處（ ）.A 不連續 ； B 可導； C 連續但不可導； D 無定義4、若，則（ ）. A 3； B 5; C 2； D 15、若是的原函數，則（ ）. A ; B C ; D 二、 計算題（每小題8分，共32分）1、求2、設方程確定隱函數，求3、設 求4、求解微分方程三、計算題（每小題8分，共32分）1、求2、設由確定，求3、求曲線在點（0，1）處的法線方程4、求解微分方程四、計算題（每小題10分，共20分）1、求2、求四、計算題（每小題10分，共20分）1、求2、求五、應用題（12分）欲做一個底為正方形，容積為108立方米的長方體開口容器，怎樣做法所用材料最省？五、應用題（12分）要建造一個體積為的圓柱形封閉容器，問怎樣選擇它的底半徑和高，使所用的材料最省？六、證明題（6分）證明不等式 .六、證明題（6分） 若在時連續且單調增加，試證也單調增加。經濟數學微積分復習提綱第一章函數1、函數的定義域及分段函數的求值。2、基本初等函數：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數。 初等函數：由基本初等函數和常數經過有限次的四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數，稱為初等函數。3、常用的經濟函數(需求函數、供給函數、總成本函數、總收益函數、總利潤函數、庫存函數)第二章極限與連續1、無窮小的定義與性質。 1）極限為零的變量稱為無窮小量。注：（1）無窮小量是個變量而不是個很小的數. （2）零是常數中唯一的無窮小量。 2）無窮小的性質：有限個無窮小的代數和是無窮小、有界函數與無窮小的乘積是無窮小、常數與無窮小的乘積是無窮小、有限個無窮小的乘積也是無窮小。 3）函數極限與無窮小的關系： 的充要條件是 ，其中A為常數，。2、無窮大的定義。 在某一變化過程中，若f(x)的絕對值無限增大,則稱函數f(x)為此變化過程中的無窮大量。 注：無窮大是變量,不是一個絕對值很大的數。3、無窮大與無窮小互為倒數。4、極限的運算法則。 見教材P48 定理1、2、3、4及推論1、25、兩個重要極限。 會用重要極限求函數極限。6、會用等價無窮小代替求極限7、連續的定義。見教材P66函數f(x) 在點x0處連續，必須同時滿足三個條件：1) 在點x0處有定義；2）存在 ；3）極限值等于函數值，即 。8、函數在點連續的充分必要條件是：既左連續又右連續。9、函數在點處連續與該點處極限的關系： 函數在點處連續則在該點處必有極限，但函數在點處有極限并不一定在該點連續。10、如何求連續函數的極限 連續函數極限必存在，且極限值等于函數值，即 111、對于分段函數在分段點處的連續性，若函數在分段點兩側表達式不同時，需根據函數在一點連續的充要條件進行討論。12、如何求連續區間？ 基本初等函數在其定義域內是連續的； 一切初等函數在其定義區間內都是連續的。13、間斷點的定義。14、間斷點的類型。（一）第一類間斷點 1、可去間斷點（1）在處無定義，但存在。（2）在處有定義，在處左右極限存在且相等，但是 。 2、跳躍間斷點： 在點處左右極限都存在，但不相等 。 第一類間斷點的特點:函數在該點處左右極限都存在.（二）第二類間斷點(若左右極限中至少有一個不存在，稱為第二類間斷點。) 1、無窮間斷點。 2、振蕩間斷點。有關習題如下：P47 3 P53 2,3,4 P62 1,2 P65 1,2,3 P73 2,3,5,6第三章導數、微分、邊際與彈性1、函數在點處可導的充要條件是： 在點處的左右導數都存在且相等，2、判斷分段點處是否可導：在分段點處應按定義求出左右導數，在分段點處左右導數都存在且相等，則分段點可導。3、連續與可導的關系：若函數在點可導，則函數在點連續。反之不然4、函數在點處的導數在幾何上表示曲線在點處的切線的斜率。5、切線方程、法線方程6、隱函數的求導法、參數方程所表示函數導數 。7、對數求導法8、可微的定義。9、函數在點可微的充要條件是函數在點可導有關習題如下：P91 7,11,12,15 P100 2,3,5,6,7,10 P105 1,2 P112 1,4,6 P122 3, 4第四章中值定理及導數的應用10、中值定理的內容。11、洛必達法則。12、函數單調性判別法：求極值步驟：13、求最大（小）值的步驟：14、函數的凹凸性及拐點的定義及判斷方法15、導數在經濟中的應用(最大利潤問題、最大收益問題、經濟批量問題、最大稅收問題等)有關習題如下：P142 2 P147 1 P162 1,2,4,5 P168 3第五章不定積分1、原函數與不定積分的關系：全體原函數構成不定積分。即 。積分運算與微分運算有如下互逆關系：1)或 .2) 或 .2、不定積分的換元法和分部積分法。第一類換元法（湊微分法） 。第二類換元法分部積分法有關習題如下：P183 1 P197 1 P203 1第六章定積分1、定積分的性質。2、定積分中值定理。3、為積分上限的函數（或變上限的定積分）。 它的導數是 4、牛頓萊布尼茲公式，又叫微積分基本公式。5、定積分的換元法、分部積分法6、定積分的經濟應用