基本不等式（第一課時）教學設計及反思人教版普通高中課程標準實驗教科書數學（必修5）中的“基本不等式”。下面把這節課的教學設計、教后反思記錄下來，愿與同行研討。“基本不等式” 是必修5的重點內容，在課本封面上就體現出來了。它是在學完“不等式的性質”、“不等式的解法”及“線性規劃”的基礎上對不等式的進一步研究在不等式的證明和求最值過程中有著廣泛的應用。求最值又是高考的熱點。同時本節知識又滲透了數形結合、化歸等重要數學思想，有利于培養學生良好的思維品質。本節課是第一課時，設計如下學習目標：1通過兩個探究實例，在老師的引導下從幾何圖形中獲得兩個基本不等式，了解基本不等式的幾何背景，體會數形結合的思想；2進一步提煉、完善基本不等式，并從代數角度給出不等式的證明，自己分析證明方法，加深對基本不等式的認識，提高邏輯推理論證能力；3結合課本的探究圖形，進一步探究基本不等式的幾何解釋，強化數形結合的思想；教學重點：應用數形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程。教學難點：用基本不等式求最值教學過程：第一環節：（5分鐘）設計問題、創設情境（多媒體展示）華羅庚先生的詩：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數無形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數流一體，永遠聯系莫分離。”開場白：華羅庚先生有數學家的睿智、詩人的浪漫。同學們請說出華先生的這首詩表達的思想。生：“數形結合百般好”。師：今天我們一同來體會如何運用數形結合的方法研究問題。設計意圖：使學生了解數學家、數學史、數學思想，盡快進入數學情景；為本節課問題的探究指明方法，做下鋪墊。給學生留下疑問，“我們要運用數形結合研究什么問題呢？如何運用數形結合來研究問題呢？”激發學生學習興趣，使學生對將要出現的探究問題充滿期待。（多媒體展示）第24界國際數學家大會的會標師：第24界國際數學家大會于2002年在北京召開，這是大會的會標，其中的圖案大家見過么？生：見過。這是趙爽弦圖。在初中曾用它證明過勾股定理。師：我們還能在趙爽弦圖中探究出什么信息呢？（多媒體展示）問1：同學們在原來的學習過程中見過這個圖形嗎？問2：在此圖中有哪些幾何圖形？問3：若我們設圖中直角三角形的直角邊分別為、，你能用、表示四個直角三角形的面積和嗎？你能用、表示大正方形的面積嗎？問4：根據圖形，比較四個直角三角形的面積和與大正方形的面積的不等關系，寫出不等式。設計意圖：尋求學生的最近發展區，以學生初中已經接觸過的趙爽弦圖作為導入素材，可使學生有熟悉的感覺，樂于探究新的知識。以、表示直角三角形的兩條直角邊，為下面的學習掃清障礙。若以教材的安排，以、分別代替、，學生不太容易理解。四個問題的設置，便于學生層層深入的研究，使研究方向更明確。第二環節：（10分鐘）學生探究、嘗試解決師生互動：學生觀察圖形，思考問題，寫出結果。教師巡視，了解學生情況，適當時刻，建議學生小組內部相互交流。學生在小組內部對比結果、互相交流、達成共識、展示成果。設計意圖：培養學生獨立動手、動腦能力和應用數學知識、方法、思想解決問題的能力。培養學生交流合作的能力。通過交流培養學生發現問題（不全面）的能力，培養學生全面思考問題的意識，以及努力探究的精神。師：請一位同學展示一下研究成果。預設：有的學生可能會寫出，也可能寫出。師：四個直角三角形的面積和與大正方形的面積有沒有可能相等？相等時，圖形產生了怎樣的變化？、有什么關系？生：有可能相等。四個直角三角形的直角頂點會重合。此時。師：如此一來，我們可以得到如下結論：（多媒體展示并板書）對任意實數，我們有，當且僅當時，等號成立。以上結論，我們是在幾何圖形中的面積關系獲得的。同學們能否運用代數的方法對這個結論進行證明？師生互動：學生觀察結論內容，積極思考，寫出證明過程。教師巡視，及時掌握學生情況，指出學生在證明過程中出現的問題，適當時刻，選擇學生板演證明過程。設計意圖：培養學生獨立思考，解決問題的能力。使學生體會不等式證明的常用方法。在學生感受到幾何的直觀性后，進一步感受代數證明的嚴謹。預設：有的同學會以要證明的結論作為條件使用；有的同學只證明，而忽視了“當且僅當時，等號成立”的證明；有的同學會以為條件，證明“當且僅當時，等號成立”。有的同學會使用作差法證明這個結論。第三環節：（15分鐘）師生交流、解釋規律師生互動：教師對學生板演的證明過程作出評價；注意方法的選擇、步驟的規范；強調等號成立的條件。師：同學們對結論中的“當且僅當”如何理解？生：當時，并且只有時，等號成立。師：同學們理解的很到位！師：如果我們使用兩個正數、分別代替、，那么，以上結論我們可以寫成什么形式？師生共同總結，教師板書：若，可得，通常記為，當且僅當時，等號成立。師：對這個結論，我們能否進行證明？師生互動：學生觀察結論內容，積極思考，寫出證明過程。教師巡視，及時掌握學生情況，指出學生在證明過程中出現的問題，適當時刻，選擇學生板演證明過程。預設：有的同學面對不知如何使用完全平方公式；有的同學會預習教材，運用分析法解決問題，需指明分析法的書寫規則。師生互動：教師對學生板演的證明過程作出評價；注意方法的選擇、步驟的規范；進一步強調等號成立的條件。師：結論（1）我們是在趙爽弦圖中發現的，那么，我們能不能找到結論（2）的幾何解釋呢？同學們來看這個問題。（多媒體展示）師生互動：學生觀察圖形，閱讀問題內容，積極思考，寫出結果，反思結果的幾何意義。教師提問并板書：，由圖可得：。設計意圖：結論（1）由形到數，結論（2）由數到形，進一步使學生體會數形結合的思想。師：什么時候等號成立？生：時，等號成立。師：有什么幾何解釋呢？生：圓內半弦不超過半徑。師：以上我們通過代數證明和幾何解釋兩方面對結論（2）進行了驗證，驗證了它的正確性。結論（2）中的不等式在現實生活與數學研究方面有廣泛的運用，我們通常稱之為“基本不等式”。這就是我們本節課的課題。（板書課題）設計意圖：明確本節課的學習內容。為整個探究過程作出最終成果。使學生感受成功的喜悅。師：對于一個公式，我們首先要觀察結構、進行記憶。同學們觀察基本不等式兩側，你想到了原來學過的哪些知識？預設：有的同學會回答平均數；有的同學可能會回答等比中項、等差中項。師：是我們平時求平均數的方法，我們稱之為算數平均數；我們稱為幾何平均數。基本不等式我們可以解釋為幾何平均數不大于算術平均數。這是它的代數解釋。第四環節：（10分鐘）運用規律、解決問題師：基本不等式與我們學習過的其它公式有所不同。我們比較熟悉的完全平方公式、平方差公式等都是等式的形式，而基本不等式是以不等式的形式出現的。同學們在運用的時候可能有些顧慮。其實，只要滿足基本不等式使用的條件（，），只要符合它的結構特征，我們完全可以進行套用。下面我們通過幾個例題來考慮在運用基本不等式過程中還需要注意哪些問題，（多媒體展示）例1、下列各式錯誤的是 （ ）A、 B、C、 D、例2、已知、都是正數，求證。師生互動：學生自主解決，通過學生的交流，得出結論。設計意圖：通過例題的訓練，提高學生解絕問題能力，加深對基本不等式的理解，明確公式的使用條件，套用方法及等號成立的條件反思小結、觀點提煉（多媒體展示）本節課你學到了哪些數學知識和數學方法？本節課你能感受到哪些數學思想？師生互動：學生通過思考，逐一回答。教師進行總結。設計意圖：對本節課所學習的內容、方法、思想進行總結，畫龍點睛。布置作業：必做題：優化訓練第1，2，9題探究：我們已經知道了、的大小關系，那么它們與的大小關系如何？先猜猜，再試著證證，想想能否也用幾何圖形對它加以解釋！教學反思：基本不等式這一節有幾個高考考點，但是對于學生而言，剛剛接觸，理解的不是很透徹。準備按照下面的方式來進行：一，第一節只講基本不等式及其幾何意義。讓學生通過練習，充分理解不等式中的“一正，二定，三相等”的具體含義和應用。并輔以高考題型，是學生掌握高考動向。二，第二節再講拼湊和分離這兩種與之前所學函數知識有關的題型。體現出不等式與函數的關聯，說明函數在高中數學的重要性，順便回顧函數中的拼湊和分離這兩種方法。三，第三節課再講“1”的代換和圖像法。這兩種方法考察學生對知識的靈活變化以及對數形結合思想的應用，又比第二節的知識深一點。這樣的話，三節課知識層層加深，讓學生體會到知識的關聯，明確各個知識點在高考中的具體應用。而初始方法中，一節課先把所有高考重點全講給學生，使學生容易迷惑，不知道本節課的重點到底是什么，而且學生不易掌握，畢竟容量大的話，練習量就會相應減少。而等到第二節，第三節再講時，學生掌握的不熟練，還得再次復習，有點“燙剩飯”的感覺。所以在新課講解方面，我仔細研讀教材，發現本節課主要是讓學生明白如何用基本不等式求最值。如何用好基本不等式，需要學生理解六字方針：一正二定三等。這是比較抽象的內容。尤其是“定”的相關變化比較靈活，不可能在一節課解決。因為我把這部分內容放到第二節課。本節課主要讓學生掌握“正”“等”的意義。鞏固練習中設計了選擇題，讓學生理解六字方針的內涵。還從“和定”、“積定”兩方面設計了相關練習，讓學生逐步熟悉基本不等式求最值的方法。教學中，我應用“情景問題研究”模式教學，展示了“數學教學是數學活動的教學”，教師是活動的組織者、指導者、協作者和調控者。學生是數學建構活動的主人。教學設計不是用傳統的公式+例子+練習模式設計，而是把公式的建立當做一種情境，設計問題串為學習搭建腳手架，引發學生去操作、活動、討論、反思。本節課通過4個教學環節，強調過程教學，在教師的引導下，啟動觀察、分析、感知、歸納、探究等思維活動，從各個層面認識基本不等式，并理解其幾何背景。課堂教