一、選擇題1三段論推理：“對數函數ylogax是增函數，而ylogx是對數函數，所以ylogx是增函數”其中小前提是()ABCD【答案】B2設函數f(x)(xR)為奇函數，f(1)，f(x2)f(x)f(2)，則f(5)等于()A0 B1 C. D5【解析】f(5)f(32)f(3)f(2)f(1)2f(2)，又f(1)f(1)f(2)，f(2)1.f(5).【答案】C3在如圖的程序框圖中，輸出的數S為()A25 B30 C55 D91【解析】實質是求1222324252的值，不難算出為55.【答案】C4(2011年天津市武清區高三下學期第一次模擬)定義某種運算Sab，運算原理如右圖所示，則式子(2tan )ln elg 100()1的值為()A13 B11 C8 D4【解析】(2tan )ln e212(11)4，(lg 100)()1233(21)9，故原式4913.【答案】A5已知xR，有不等式x2，x3，啟發我們可以推廣為xn1(nN*)，則a的值為()Ann B2n Cn2 D2n1【解析】觀察前面兩個式子，得最后一個式子中的x拆成n個的和，所以ann.【答案】A6有一正方體，六個面上分別寫有數字1、2、3、4、5、6，有三個人從不同的角度觀察的結果如圖所示，如果記3對面的數字為m,4對面的數字為n，那么mn的值為()A3 B7 C8 D11【解析】這是一道歸納推理問題，通過部分分析整體從圖2,3看，數字1,2，及4,5均與數字3相鄰，所以數字3對面的數字只有6，同理從圖1,3來看，數字1,6，及3,5均與數字4相鄰，所以數字4對面的數字只有2，即m6，n2，mn8.【答案】C7觀察下列各式：112,23432,3456752,4567891072，可以得出的一般結論是()An(n1)(n2)(3n2)n2Bn(n1)(n2)(3n2)(2n1)2Cn(n1)(n2)(3n1)n2Dn(n1)(n2)(3n1)(2n1)2【解析】可以發現：第一個式子的第一個數是1，第二個式子的第一個數是2，故第n個式子的第一個數是n；第一個式子中有1個數相加，第二個式子中有3個數相加，故第n個式子中有2n1個數相加；第一個式子的結果是1的平方，第二個式子的結果是3的平方，第n個式子應該是2n1的平方故可以得到n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.【答案】B8用數學歸納法證明“n1(nN)” 的第二步：證nk1時(n1已驗證，nk已假設成立)，這樣證明：244，解得x0(35k1,36k1，故選C.【答案】C10實數m，n，x，y滿足m2n2a，x2y2b，那么mxny的最大值為()A. B.C. D.【解析】令mcos ，nsin ，xcos ，ysin ，則mxnycos cos sin sin cos().【答案】B11記f(n)為n21(nN*)的各位數字之和，如n12時，1221145，則f(12)14510.記f1(n)f(n)，f2(n)f(f1(n)，fk1(n)f(fk(n)，(kN*)，則f2011(8)等于()A5 B8 C11 D無法確定【解析】依題意f(8)11，f1(8)f(8)11，f2(8)f(f1(8)f(11)5，f3(8)f(f2(8)f(5)8，f4(8)f(f3(8)f(8)11，f2011(8)f67031(8)f1(8)11.【答案】C12(2009年浙江)對于正實數，記M為滿足下述條件的函數f(x)構成的集合：x1，x2R且x2x1，有(x2x1)f(x2)f(x1)2，則f(x)g(x)M12【解析】對于(x2x1)f(x2x1)(x2x1)，即有，令kf，kf，不妨設f(x)M1，g(x)M2，即有1kf1，2kg2，因此12kfkg12，所以有f(x)g(x)M12.【答案】C二、填空題13根據前面的推理，在下表的空白處添加相應的結論：三角形的兩邊之和大于第三邊三棱錐的三個面面積之和大于第四個面面積三角形的面積等于底乘高的三棱錐的體積等于底面積乘高的三角形的面積等于內切圓的半徑與三角形周長的積的【解析】設三棱錐SABC的內切球半徑為R，球心為O，連接OA，OB，OC，OS，將三棱錐SABC分割成四個小三棱錐OSAB，OSAC，OSBC，OABC，則其體積和為三棱錐SABC的體積，即V(S1S2S3S4)RS表R.【答案】三棱錐的體積等于內切球的半徑與三棱錐表面積的積的14(2010年浙江)在如下數表中，已知每行、每列中的數都成等差數列，第1列第2列第3列第1 行123第2行246第3行369那么位于表中的第n行第n1列的數是_【解析】由題意知第n行第1列的數為n，又知第n行是公差為n，首項為n的等差數列，所以第n行第n1列數是n(n11)nn2n.【答案】n2n15(2010年揭陽市一模)下圖甲是某市有關部門根據當地干部的月收入情況調查后畫出的樣本頻率分布直方圖已知圖甲中從左向右第一組的頻數為4000.在樣本中記月收入在1000,1500)，1500,2000)，2000,2500)，2500,3000)，3000,3500)，3500,4000)的人數依次為A1、A2、A6.圖乙是統計圖甲月工資收入在一定范圍內的人數的程序框圖，則樣本的容量n_；圖乙輸出的S_.(用數字作答)【解析】月收入在1000,1500)的頻率為0.00085000.4，且有4000人，樣本的容量n10000，由圖乙知輸出的SA2A3A61000040006000.【答案】4000600016(2009年福建)五位同學圍成一圈依序循環報數，規定：第一位同學首次報出的數為1，第二位同學首次報出的數也為1，之后每位同學所報出的數都是前兩位同學所報出的數之和；若報出的數為3的倍數，則報該數的同學需拍手一次當第30個數被報出時，五位同學拍手的總次數為_【解析】由題意可知：每報出四個數，將有一個數為3的倍數，即有一位同學拍手，當第30個數被報出時，五位同學拍手的總次數為7.【答案】7三、解答題17已知a0，b0，且ab1，求證：(1)(1)9.【解析】a0，b0，且ab1，b1a0，為了證明(1)(1)9，只需證明(1)(1)9，只需證明(a1)(2a)9a(1a)，即證(2a1)20，(2a1)20成立，(1)(1)9.18某市電信部門規定：撥打本市電話時，如果通話時間不超過3分鐘，則收取通話費0.2元；如果通話時間超過3分鐘，則超過部分以0.1元/分鐘收取通話費(時間以分鐘計，不足1分鐘按1分鐘計)現設計了一個計算通話費用的算法：S1輸入通話時間t(t按題目要求取整數)；S2如果t3，則c0.2，否則c0.20.1(t3)；S3輸出費用c.(1)試寫出該算法的一個程序框圖；(2)表1為A、B、C、D、E五人撥打本市電話的情況，將A、C應繳的話費數填入表1中的適當位置；表1ABCDE第一次通話時間3分鐘3分45秒3分55秒3分20秒6分鐘第二次通話時間0分鐘4分鐘3分40秒4分50秒0分鐘第三次通話時間0分鐘0分鐘5分鐘2分鐘0分鐘應繳話費(元)0.600.900.50(3)根據表1完成表2.表2時間段頻數頻率累積頻率0t320.20.23t44t55t6合計1011【解析】(1)(2)0.201.00(3)表2時間段頻數頻率累積頻率0t320.20.23t450.50.74t520.20.95t610.11合計101119.已知數列an的各項均為正數，觀察程序框圖，若k5，k10時，分別有S和S.(1)試求數列an的通項；(2)令bn2an，求b1b2bn的值 【解析】(1)由框圖可知：S.an是等差數列，設公差為d，則有()，S()()，由題意可知，k5時，S；k10時，S，()，()，解得或(舍去)故ana1(n1)d2n1.(2)由(1)可得：bn2an22n1(nN*)，b1b2bn212322n1(4n1)20已知實數a，b，c滿足條件：0，其中m為正數，對于f(x)ax2bxc.(1)如果a0，證明：af()0；(2)如果a0，試判斷方程f(x)0在區間(0,1)內是否有解，并說明理由【解析】(1)af()aa()2b()cam，且0，af()am0.故af()b0)的左、右焦點(1)若橢圓C上的點A(1，)到F1、F2兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；(2)設點P是(1)中所得橢圓上的動點，Q(0，)，求PQ的最大值(3)已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值試對雙曲線1寫出具有類似特性的性質，并加以證明【解析】(1)橢圓C的焦點在x軸上，由橢圓上的點A到F1、F2兩點的距離之和是4，得2a4，即a2.又A(1，)在橢圓上，1，解得b23，于是c21，所以橢圓C的方程是1，焦點F1(1,0)，F2(1,0)(2)設P(x，y)，則1，x24y2.PQ2x2(y)24y2y2yy2y(y)25.又y，當y時，PQmax.(3)類似的性質為：若M、N是雙曲線C：1上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值證明：設點M(m，n)，則點N(m，n)，其中1，設點P(x，y)，則由kPM，kPN，得kPMkPN，將y2x2b2，n2m2b2，代入上式得：kPMkPN.故性質得證22(2010年湖南)數列(nN*)中，a1a，an1是函數fn(x)x3(3ann2)x23n2anx的極小值點(1)當a0時，求通項an; (2)是否存在a，使數列an是等比數列？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由【解析】易知fn(x)x2(3ann2)x3n2an(x3an)(xn2)令fn(x)0，得x13an，x2n2.若3ann2，則當x0，fn(x)單調遞增；當3anxn2時，fn(x)n2時，fn(x)0，fn(x)單調遞增故fn(x)在xn2取得極小值若3ann2，仿可得，fn(x)在x3an取得極小值若3ann2，則fn(x)0，fn(x)無極值(1)當a0時，a10，則3a112.由有an1n2知a2121.因3a2332，則由中an13an知，a43a334.又因為3a43642，則由知，a53a4324.由此猜測：當n3時，an43n3.下面先用數學歸納法證明：當n3時，3ann2.事實上，當n3時，由前面的討論知結論成立假設當nk(k3)時，3akk2成立，則由知，ak13akk2，從而3ak1(k1)23k2(k1)22k(k2)2k10，所以3ak1(k1)2.故當n3時，3ann2成立于是由知，當n3時，an13an，而a34，因此an43n3.綜上所述，當a0時， an(2)存在a，使數列是等比數列 事實上，由知，若對任意的n，都有3ann2，則an13an. 即數列是首項為a，公比為3的等比數列，且ana3n1.而要使3ann2，即a3nn2對一切nN