第三章推理與證明3 1 1歸納推理 推理 是人們思維活動的過程 是根據一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程 日常生活 學習中 我們經常需要進行推理 例如 若實數a b c滿足a b b c 則a c 數列 1 3 7 15 63 那么括號中應填 31 一個人看見一群烏鴉是黑的 于是斷言 天下烏鴉一般黑 新課引入 阿基米德對國王說 給我一個支點 我將撬起整個地球 大家認為可能嗎 他為何敢夸下如此海口 理由何在 探究 他是怎么發現 杠桿原理 的呢 一個小孩 為何能輕松松就提起一大桶水 修筑河堤時 奴隸們是怎樣搬運巨石的 正是基于這兩個發現 阿基米德大膽地猜想 然后小心求證 終于發現了偉大的 杠桿原理 整個過程對你有什么啟發 科學離不開生活 離不開觀察 也離不開猜想和證明 生活 觀察 猜想 證明 歸納推理的發展過程 數學中有各種各樣的猜想 如著名的哥德巴赫猜想 費馬猜想 地圖的 四色猜想 哥尼斯堡七橋猜想及龐加萊猜想等等 某些猜想的證明吸引了大批的數學家和數學愛好者 有的人甚至為之耗費了畢生心血 你知道這些數學猜想是怎樣提出來的么 哥德巴赫猜想 goldbachconjecture 世界近代三大數學難題之一 哥德巴赫是德國著名的數學家 生于1690年 1725年當選為俄國彼得堡科學院院士 1742年 哥德巴赫在教學中發現 每個不小于6的偶數都是兩個素數 只能被和它本身整除的數 之和 如6 3 3 12 5 7等等 公元1742年6月7日哥德巴赫寫信給當時的大數學家歐拉 提出了以下的猜想 數學的故事 a 任何一個 6之偶數 都可以表示成兩個奇質數之和 b 任何一個 9之奇數 都可以表示成三個奇質數之和 這就是著名的哥德巴赫猜想 歐拉在6月30日給他的回信中說 他相信這個猜想是正確的 但他不能證明 敘述如此簡單的問題 連歐拉這樣首屈一指的數學家都不能證明 這個猜想便引起了許多數學家的注意 從提出這個猜想至今 許多數學家都不斷努力想攻克它 但都沒有成功 哥德巴赫列舉了很多的式子 然后大膽的猜想 哥德巴赫的數字游戲 3 3 6 3 5 8 3 7 10 5 7 12 7 7 14 6 3 3 8 3 5 10 3 7 12 5 7 14 7 7 偶數 素數 素數 任何一個不小于6的偶數都可寫成兩個素數的和 他發現 其他偶數是否也有類似的規律呢 2和4呢 滿足么 這個猜想是否成立呢 例1在一個凸多面體中 試通過歸納猜想其頂點數 棱數 面數滿足的關系 4 6 4 5 5 6 5 9 8 6 6 10 6 8 6 12 8 12 7 10 15 f v e 2 猜想 歐拉定理 例2若面積一定 什么樣的平面圖形周長最小 試猜測結論 解析 計算單位面積的一些正多邊形的周長 進行分析歸納 可以發現面積一定的正多邊形中 邊數越多 周長越小 所以可以得到猜測 面積一定時 圓的周長是最小的 以上的推理過程中 有何共同之處 根據一類事物中部分事物具有某種屬性 推斷該類事物中每一個都有這種屬性 我們將這種推理方式稱之為歸納推理 共同之處在于 歸納推理是由部分到整體 由個別到一般的推理 思考 推理是人們對事物屬性的推斷 那么這種判斷是否一定是正確的 觀察下列推理 判斷是否成立 1 銅 鐵 鋁 金 銀等金屬能導電 歸納出 一切金屬都能導電 2 rt 等腰及等邊三角形內角和都是180 歸納出 所有三角形內角和都是180 3 數列5 3 1 1 3 5 7 它的第20項是 35 并非所有的歸納推理得出的結論都是正確的 由此可見 牛刀小試 觀察圖象 發現奧秘 1234567 前n個連續的奇數相加 1 12 根據上面給出的數塔猜測 123456 9 7的值是多少 1 觀察下列式子 1 9 2 1112 9 3 111123 9 4 11111234 9 5 1111112345 9 6 111111 動手做一做 1111111 歸納推理 歸納推理是由部分到整體 由個別到一般的推理 或者說是由個別事實概