3 2雙曲線的簡單性質(zhì) 知識拓展1 等軸雙曲線 實(shí)軸長與虛軸長相等的雙曲線稱為等軸雙曲線 其方程為x2 y2 a2 等軸雙曲線有兩個(gè)非常明顯的特征 1 離心率e 2 兩條漸近線互相垂直 這兩個(gè)特征可用來作為判斷雙曲線是不是等軸雙曲線的充要條件 2 共軛雙曲線 以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸 實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫作原雙曲線的共軛雙曲線 互為共軛的雙曲線具有如下性質(zhì) 1 它們具有相同的漸近線 2 它們的四個(gè)焦點(diǎn)共圓 記憶方法 將中的1改為0即為漸近線 1改為 1即為共軛雙曲線 做一做1 設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上 兩條漸近線為y x 則該雙曲線的離心率e等于 答案 c 解析 由題意知a2 16 即a 4 又e 2 所以c 2a 8 則m c2 a2 48 答案 48 判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內(nèi)打 錯(cuò)誤的打 1 雙曲線的焦點(diǎn)一定位于雙曲線的實(shí)軸上 2 若兩條雙曲線的焦點(diǎn)相同 則其漸近線也一定相同 3 焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線與焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線不可能具有共同的漸近線 探究一 探究二 探究三 思維辨析 雙曲線的簡單性質(zhì) 例1 求雙曲線4x2 y2 4的頂點(diǎn)坐標(biāo) 焦點(diǎn)坐標(biāo) 實(shí)半軸長 虛半軸長 離心率和漸近線方程 并作出草圖 思維點(diǎn)撥 先將所給雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程 再根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求出各有關(guān)量 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟已知雙曲線的方程討論其幾何性質(zhì)時(shí) 需先看所給方程是不是標(biāo)準(zhǔn)方程 若不是 需先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程 再由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸 找準(zhǔn)a和b 才能正確地寫出焦點(diǎn)坐標(biāo) 頂點(diǎn)坐標(biāo)等 注意與橢圓的相關(guān)幾何性質(zhì)進(jìn)行比較 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練1 1 雙曲線2x2 y2 8的實(shí)軸長是 答案 1 d 2 c 探究一 探究二 探究三 思維辨析 由雙曲線的性質(zhì)求雙曲線方程 思維點(diǎn)撥 雙曲線焦點(diǎn)不確定 可分情況討論 也可由共漸近線的雙曲線系方程求解 這樣可避免討論 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解 1 當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí) 探究一 探究二 探究三 思維辨析 直線與雙曲線的位置關(guān)系 例3 已知直線y kx與雙曲線4x2 y2 16 當(dāng)k為何值時(shí) 直線與雙曲線 1 有兩個(gè)公共點(diǎn) 2 有一個(gè)公共點(diǎn) 3 沒有公共點(diǎn) 當(dāng)4 k2 0 即k 2時(shí) 方程 無解 當(dāng)4 k2 0時(shí) 4 4 k2 16 64 4 k2 當(dāng) 0 即 22時(shí) 方程 無解 當(dāng) 0 且4 k2 0時(shí) 不存在這樣的k值 綜上所述 1 當(dāng) 2 k 2時(shí) 直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn) 探究一 探究二 探究三 思維辨析 2 不存在使直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)的k值 3 當(dāng)k 2或k 2時(shí) 直線與雙曲線沒有公共點(diǎn) 反思感悟直線與雙曲線的位置關(guān)系的判斷思路 利用方程組法解決直線與雙曲線的公共點(diǎn)問題 要注意討論轉(zhuǎn)化以后的方程的二次項(xiàng)系數(shù) 即若二次項(xiàng)系數(shù)為0 則直線與雙曲線的漸近線平行或重合 若二次項(xiàng)系數(shù)不為0 則進(jìn)一步研究二次方程的根的判別式 得到直線與雙曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練3直線y ax 1與雙曲線3x2 y2 1相交于a b兩點(diǎn) 1 求線段ab的長 2 當(dāng)a為何值時(shí) 以ab為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) 探究一 探究二 探究三 思維辨析 x1x2 ax1 1 ax2 1 0 即 1 a2 x1x2 a x1 x2 1 0 經(jīng)檢驗(yàn)a 1時(shí) 以ab為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) 探究一 探究二 探究三 思維辨析 因忽視二次項(xiàng)系數(shù)是否為零而致誤 典例 已知直線y kx 1與雙曲線x2 y2 1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn) 則k的值為 易錯(cuò)分析 當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí) 直線與雙曲線也只有一個(gè)交點(diǎn) 探究一 探究二 探究三 思維辨析 當(dāng)1 k2 0 即k 1時(shí) 上述方程為二次方程 直線和雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn) 當(dāng)k 1時(shí) 直線和雙曲線的漸近線平行 此時(shí)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn) 糾錯(cuò)心得將直線與雙曲線方程聯(lián)立 當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí) 所得直線與雙曲線的漸近線平行 此時(shí)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為一個(gè) 當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí) 由 0 得此時(shí)直線與雙曲線相切 交點(diǎn)個(gè)數(shù)為一個(gè) 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練直線l ax y 1 0與雙曲線c x2 2y2 1相交于p q兩點(diǎn) 1 當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí) pq 2 2 是否存在實(shí)數(shù)a 使得以pq為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) 若存在 求出a的值 若不存在 說明理由 解 1 設(shè)點(diǎn)p q的坐標(biāo)分別為 x1 y1 x2 y2 探究一 探究二 探究三 思維辨析 由弦長公式 得 與已知聯(lián)立 得a2 1 故所求的實(shí)數(shù)a 1 2 假設(shè)存在實(shí)數(shù)a 使得以pq為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)o 則由op oq 得x1x2 y1y2 0 從而得a2 2 這與實(shí)數(shù)的性質(zhì)矛盾 故不存在實(shí)數(shù)a 使得以pq為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn) 12345 1 雙曲線mx2 y2 1的虛軸長是實(shí)軸長的2倍 則m等于 解析 曲線mx2 y2 1是雙曲線 m 0 排除選項(xiàng)c d 滿足題意 故選a 答案 a 12345 2 雙曲線 a 0 b 0 的兩焦點(diǎn)分別為f1 f2