數據包絡分析法模型與應用研究進展袁 群基金項目：本文得到國家自然科學基金（70673060）和上海市教委基金（2008077）共同資助作者簡介：袁 群(1971-), 女, 江蘇金壇人, 上海海事大學副教授, 博士, 研究方向為交通運輸規劃與管理。通訊地址：（200135）上海市浦東新區苗圃路466弄17號301TELmail:（上海海事大學 上海 200135）摘要：介紹了數據包絡分析方法的基本思想和模型，闡述了DEA方法在多個領域的研究應用狀況，總結了國內外近二十年來DEA方法的研究成果，并對該方法的發展作一展望。Overview of basic ideas and models for DEA Yun Qun(Shanghai Maritime University , Shanghai 200135, China)Abstract The paper gives an overview of basic ideas and models for DEA, related some applications and main research results in the field. Finally, the directions of research areas in the future are given.Key words DEA; Model ; application1 前言1978 年, 著名運籌學家A. Charnes 提出了基于相對效率的多投入多產出分析法數據包絡分析法1(DEA , data envelopment analysis) 。DEA是以凸分析和線性規劃為工具發展起來的一種效率評價方法，根據輸入輸出動態地調整模型權重指標，使模型具有可變性，符合動態評價的要求。DEA特別適用于具有多輸入多輸出的復雜系統2，這主要體現在以下兩點：DEA以決策單元各輸入輸出的權重為變量，從最有利于決策單元的角度進行評價，從而避免了確定各指標在優先意義下的權重；假定每個輸入都關聯到一個或多個輸出，而且輸入輸出之間確實存在某種關系，使用DEA方法則不必確定這種關式的顯示表達式。因此，DEA方法排除了很多主觀因素，具有很強的客觀性。1988魏權齡將DEA理論引入中國，在專著3中嚴格、系統地論述了DEA方法與模型。由于DEA 方法不需要預先估計參數, 在避免主觀因素和簡化運算、減少誤差等方面有著不可低估的優越性，DEA 的首次成功運用是評價為弱智兒童開設的公立學校項目，近年來DEA的應用范圍不僅擴展到軍用飛機的飛行、基地維護與保養、陸軍征兵、城市評價4等方面, 而且在金融機構、電力企業、私人商業公司及公共事業的評價中也得到成功的運用。另外DEA 方法還被應用在學校評價、森林規劃以及棉紡工業、冶煉工業、教育科研機構的評價研究中5。2 DEA基本思想與模型研究進展1978年A.chames等人以單輸入單輸出的工程效率概念為基礎提出了第一個DEA模型一C2R模型1，它是以分式形式給出的， 用于評價生產決策單元DMU（decision making units),的規模且技術有效性。DEA基本思路6是把每一個被評價單位作為一個決策單元DMU,再由眾多DMU構成被評價群體, 通過對投入和產出比率的綜合分析,以DMU 的各個投入和產出指標的權重為變量進行評價運算,確定有效生產前沿面,并根據各DMU 與有效生產前沿面的距離狀況, 確定各DMU 是否DEA 有效,同時還可用投影方法指出非DEA 有效或弱DEA 有效DMU 的原因及應改進的方向和程度。2.1 C2R模型1 、6設有n 個生產決策單元, 每個都有m 種類型的輸入(表示對資源的耗費) 以及s 種類型的輸出(表明成效的信息量) , 則第個DMU的效率評估模型：其中表示投入縮小比率,表示決策單元線性組合的系數，松弛變量和。其對偶形式為：其中表示擴大比率。若, 則稱單元為DEA有效; 若存在非零值,則稱單元為DEA弱有效; 若 , 則稱單元為DEA 無效。投入和產出的CCR模型評價結果一致，即。該DEA 模型是在生產可能集T = (X , Y )/產出Y 可由投入X 生產出來滿足以下公理性假設: 凸性、錐性、無效性和最小性的條件下。2.2 BCC模型1984年，R.D.Banker等人從公理化的模式出發給出了另一個刻畫生產規模與技術有效的DEA模型一BCC模型7。生產可能集的錐性假設有時是不現實或不合理的, 因此去掉該項假設。當生產可能集只是滿足凸性(加入條件)、無效性和最小性時, 便可得到滿足規模收益可變的BCC 模型：（3）為阿基米德無窮小, 為元素為1 的向量.這種模型單純評價DM U 的技術有效性，其對偶形式為 （4）式中：為規模收益指示量，若為（4）式的最優值，則，則規模收益遞增；則，則規模收益不變；則，則規模收益遞減。C2R和BCC這兩個模型的產生不僅擴大了人們對生產理論的認識，而且也為評價多目標問題提供了有效的途徑，使得研究生產函數理論的主要技術手段由參數方法發展成為參數與非參數方法并重，這兩個模型是最基本的DEA模型。2.3 其他的DEA模型自1978年以來，多種派生和專用DEA模型相繼誕生。隨著DEA方法的不斷發展，越來越顯示出它們的重要地位，并成為系統分析的有力工具之一。基于目標規劃的正、負偏差變量思想，為了正確估計有效生產前沿面，當DEA 用來判斷決策單元Pareto 最優性時, 1985年Charnes 和Cooper針對C2R模型中生產可能集的凸性假設在某些條件下是不合理的，給出了另一個評價生產技術相對有效的DEA模型一C2S2模型8。在通常的DEA模型中，輸入m和輸出s指標在評價DMU有效性時，所處的地位都是相同的，因為表明各指標的重要程度的權系數之間沒有任何限制，這些DEA模型沒能體現決策者的偏好。這樣得出的結果可能不符合客觀實際，因而，對權數加以研究是人們一直關注的問題。1986年，Charnes和Cooper，WEI和HUANG等人提出了一個含有決策者偏好的DEA模型一錐比率C2WH模型9，這一模型通過調整錐比率的方式能夠反映人的偏好，從而使決策更能反映人的意愿，并可以將CCR模型中的DMU進行分類和排隊。原始的DEA模型是針對決策單元有限的情況進行討論的，為了解決具有無限多個決策單元的評價問題，1987年Charnes、Cooper和魏權齡等人利用半無限規劃理論將C2R模型推廣到具有無限多個決策單元的情況，給出了C2W模型10。傳統的DEA(Data Envelopment Analysis) 模型在評價決策單元相對有效性時有其局限性。1988年Chames等人給出了一個綜合的DEA模型一C2WY，這一模型除包含了兩個最基本的DEA模型外，還包含C2W模型和C2WH模型。在其基礎上，魏權齡、黃弢等研究了綜合的DEA模型11 、12，綜合DEA 模型(CDEA)不僅能克服傳統DEA 模型的局限性,而且在決策單元相對效率評價和非有效決策單元改進方面能以投入、產出整體最優來優化各決策單元的投入和產出。謝艾國等13提出了全局DEA 模型，該模型能以投入分量的不同壓縮效率之和來判斷DEA 的相對效率,并優化決策單元。針對某些系統用歐氏空間去表示和處理有時會遇到困難。因此，李樹根研究了Banach空間的DEA模型14。此外，Sengupta對動態DEA模型15，以及考慮隨機因素的DEA模型16進行了研究。Thanassoulis提出了帶有類別變量DEA模型17 ，Banker 18研究了決策單元的輸入輸出指標加以修正的DEA 模型以及Dyson 19對權系數加以限制的DEA 模型等。針對評價與決策問題存在著大量的不確定性和確定型DEA模型中存在的不足，楊印生等人提出了基于FUZZY的DEA模型20，能夠處理含有不確定因素的評價與決策問題。李光金等研究了基于多目標規劃的DEA模型21。 2000年Wei提出了逆DEA模型22，后又將其推廣到具有錐結構的情況。2004年針對C2WY模型不能直接進行編程計算的缺點，Y.B. Yun等23給出了一個綜合的DEA模型并探了其求解方法，這一模型不僅包含了多種常用的DEA模型，而且還可以直接編程計算。3 DEA應用發展數據包絡分析的應用極其廣泛24，相對于數理統計方法而言，數據包絡分析法所要求的數據樣本不大，因此，在很多數理統計方法無法較好適用的情況數據包絡分析方法能夠發揮顯著的優勢。此外，對于輸入、輸出變量為定性指標的情形，數據包絡分析仍然適用，這也是其一大優勢。DEA的第一個成功的運用是評價為弱智兒童開設的公立學校項目，之后，隨著人們的深入研究和實踐，DEA的應用范圍不僅由公共事業單位擴大到企業，而且也由橫向的管理效率評價延伸到同一個決策單元歷史發展的縱向評價。近年來，DEA理論主要在三大應用領域發揮著極大的優勢，主要包括生產函數與技術進步研究、經濟系統績效評價和系統的預測與預警研究。3.1生產函數與技術進步生產函數在經濟學中是一個非常重要的概念，作為評價經濟系統相對效率的方法，DEA與生產函數具有緊密的聯系。1989年魏權齡等25介紹了運用DEA模型建立生產函數的方法，同時以國民生產總值生產函數為例，與其他生產函數的確定方法進行比較，并且證明了在單一輸出的情況下，DEA有效曲面就是生產函數曲面26。Guo一Pingchnag 27結合DEA方法研究了線性生產函數問題。陳瞬賢等人28運用DEA方法研究了種植業的生產函數。穆東29研究了階段C一D前沿生產函數和外沿生產函數的DEA估計方法。于維生30將DEA方法與回歸分析相結合，估計了我國1988年部分省市的農業生產函數。技術進步與生產函數之間關系密切，所以國內外不少學者曾利用DEA方法研究了技術進步的測定方法。Diewert W E31提出利用DEA方法研究DMU的技術進步問題；魏權齡等32通過由DEA模型確定生產前沿面的途徑給出了一種測算技術進步水平和技術進步速度的模型，文獻33對評估技術進步的幾種方法作了分析和歸納，并借助DEA理論探討了技術進步與規模報酬產關聯關系。3.2系統經濟與管理績效評價數據包絡分析(DEA)是一個應用比較廣泛的評價相對有效的系統分析方法，DEA的經濟意義決定了對企業的經濟效益和管理效益進行績效評價有著非常廣泛的應用價值。 一是對工業企業的經濟效益和管理效率評價進行研究，1990年魏權齡等34應用DEA方法對中國紡織工業部系統內的177個大中型棉紡織企業的經濟效益進行了評價。在此基礎上，曲雯毓、馮英俊等35、36應用改進的DEA模型對工業企業經濟效益問題進行了研究。肖承忠等人37分別對我國機床工業管理的相對有效性進行了綜合評價，并對我國和西歐地區機床工業企業管理的抽樣進行了比較研究，提出了一些改進管理、提高效益的意見。李麗等人38將DEA方法用于吉林省八大城市的經濟評價，并引入了相對和諧度的概念，討論了和諧與DEA有效性的關系。近年來隨著物流業的飛速發展，近年來有相當一部分文獻對供應鏈和物流企業績效進行評價。田宇39、楊茂盛40、孫瑛41、陳芝42等運用數據包絡分析法中的模型，借助MATLAB等計算工具，對物流企業進行綜合績效的評價分析。WANG Tengfei等43運用DEA方法評價港口企業的效率；楊華龍等44 運用DEA方法對大陸主要集裝箱港口績效進行比較分析；云俊45 基于DEA方法對港口企業績效進行評價。 另外，DEA方法在金融領域等也有廣泛的應用：曹廣喜等46在分析了傳統評價方法不足的基礎上, 對比以往文獻樣本容量更大和樣本區間長度更長的樣本, 選取適當的投入指標和產出指標, 運用數據包絡分析方法對33只基金的業績進行了實證研究。丁文恒、韓澤縣、趙旭等47、48、49 也都運用數據包絡分析方法研究和評價了基金的投資效益。此外，秦志強50選取商業銀行傳統業務和創新業務中幾個有代表性的指標，綜合運用Matlab和規劃軟件對十家商業銀行的綜合效益進行研究。 曹敏杰51用C2R模型和投入產出指標體系，對輸入輸出數據進行綜合分析，研究了我國中小保險企業核心競爭力的評價。3.3系統的預測與預警此外，DEA方法還可以用于系統的預測預警研究。B.Golany52將DEA方法推廣到交互式多目標決策，此后DEA在預測方面的應用得到了系統的研究。朱喬等53給出了一種基于DEA方法的預測模型，在此基礎上，吳文江等將弱DEA有效和DEA有效性用于預測問題進行了探討54、55。文獻56把在單輸入/單輸出情況下用生產可能集的DEA前沿面進行預測的方法推廣到多輸入、多輸出的情況，進一步提供了一種用弱DEA有效性進行預測的簡便方法。文獻57提出了一種將C2GS2模型用于預測的方法。此外，盛昭瀚等58還將DEA方法應用于區域國民經濟的預警系統。4 結論本文闡述和總結了數據包絡分析法(DEA)的基本思想、模型和主要應用領域。目前，已有的DEA模型大都是確定型的，而許多評價與決策問題存在著大量的不確定性，因此，今后，DEA模型的發展方向應加強與其它方法的結合，如隨機理論、模糊理論、灰色理論、神經網絡等理論的融合，以及帶有約束錐的DEA模型研究、多目標規劃的DEA 研究、多階段的DEA 模型研究等。同時，要加強軟件的設計、計算效率問題和退化問題的研究。由于DEA 方法是研究具有多個輸入, 特別是具有多個輸出的“ 生產部門”同時為“ 規模有效”和“ 技術有效”的十分理想的工具，因此已滲透到各個應用領域, 同時也由于實際需要促進了方法研究。今后應用上要更加在輸入輸出指標上可作進一步的完善. 在考慮到時間因素時可探討動態多階段的效率評價體系.參考文獻1 Charnes A, Cooper W W, Measuring the efficiency of decision making unitsJ. 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