廣東省廣州市2019屆高三數(shù)學(xué)第二次模擬考試試題 理（含解析）一、選擇題.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義建立不等式關(guān)系即可.【詳解】，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則，解得，所以的取值范圍是，故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的問題，屬于簡單題目.2.已如集合，則（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】先解分式不等式求集合A，再由補(bǔ)集的定義直接求解即可【詳解】解：由10，即0，即解得，即，則R故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ)3.某公司生產(chǎn)，三種不同型號(hào)的轎車，產(chǎn)量之比依次為，為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為的樣本，若樣本中種型號(hào)的轎車比種型號(hào)的轎車少8輛，則（ ）A. 96B. 72C. 48D. 36【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分層比例列式求解.【詳解】由題意得選B.點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值是（ ）A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】B【解析】試題分析：運(yùn)行第一次，；運(yùn)行第二次，；運(yùn)行第三次，；運(yùn)行第四次，不滿足，停止運(yùn)行，所以輸出的的值是，故選B考點(diǎn)：程序框圖5.已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱列式求解.【詳解】設(shè),則，選D.【點(diǎn)睛】本題考查關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)問題，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.6.從某班6名學(xué)生（其中男生4人，女生2人）中任選3人參加學(xué)校組織的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng).設(shè)所選3人中女生人數(shù)為，則數(shù)學(xué)期望（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先列隨機(jī)變量，再分別求解對(duì)應(yīng)概率，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋砸虼?選B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)期望，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.7.已知，其中，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求得,再根據(jù)二倍角正切公式得結(jié)果.【詳解】因，且，所以，因?yàn)椋?，因此，從而，選D.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.8.過雙曲線 的左焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，延長交雙曲線右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)條件得,再根據(jù)切線得OE，結(jié)合雙曲線定義列等式，解得離心率.【詳解】設(shè)右焦點(diǎn)，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?由雙曲線定義得,因?yàn)镻F,所以PF,因此，選A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線定義以及離心率，考查基本分析求解能力，屬中檔題.9.若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，且點(diǎn)在直線（其中，）上，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)A（s，t），求得函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)可得切線的斜率，解方程可得切點(diǎn)A，代入直線方程，再由基本不等式可得所求最小值【詳解】解：設(shè)A（s，t），yx32x2+2的導(dǎo)數(shù)為y3x24x，可得切線的斜率為3s24s，切線方程為y4x6，可得3s24s4，t4s6，解得s2，t2或s，t，由點(diǎn)A在直線mx+nyl0（其中m0，n0），可得2m+2n1成立，（s，t，舍去），則（2m+2n）（）2（3）2（3+2）6+4，當(dāng)且僅當(dāng)nm時(shí)，取得最小值6+4，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線斜率，以及基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題10.函數(shù) 的部分圖像如圖所示，先把函數(shù)圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖像向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)圖象求，再根據(jù)圖象變換得，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求對(duì)稱軸.【詳解】由圖得，從而，,選C.【點(diǎn)睛】本題考查由圖象求函數(shù)解析式、三角函數(shù)圖象變換以及正弦函數(shù)性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬中檔題.11.已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，的中點(diǎn)為，且，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先確定所在直線，再根據(jù)，得軌跡為一條線段，最后根據(jù)斜率公式求結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，所以M在直線上，即，因?yàn)?，所以軌跡為一條線段AB,其中,因此的取值范圍為,選B.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求范圍，考查基本分析求解能力，屬中檔題.12.若點(diǎn)與曲線上點(diǎn)距離的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先設(shè)切點(diǎn)B，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義以及最值列式解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?所以由題意得以A為圓心，為半徑的圓與曲線相切于點(diǎn)B,設(shè),則在B點(diǎn)處切線的斜率為，所以，選D.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，考查綜合分析求解能力，屬難題.二、填空題.13.若，是夾角為的兩個(gè)單位向量，向量，則_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件即可求出，從而可以求出，進(jìn)而得出【詳解】解：，；故答案為：【點(diǎn)睛】考查單位向量的概念，向量的數(shù)量積運(yùn)算及計(jì)算公式，向量長度的求法14.若的展開式中的系數(shù)是80，則實(shí)數(shù)的值是_.【答案】2【解析】解：（ax-1）5的展開式中x3的系數(shù)C53（ax）3（-1）2=10a3x3=80x3，則實(shí)數(shù)a的值是2，15.秦九韶是我國南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的著作數(shù)書九章中有己知三邊求三角形面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上.以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí).一為從隅，開平方得積.”如果把以上這段文字寫成公式就是，共中，是的內(nèi)角，的對(duì)邊為.若，且，1，成等差數(shù)列，則面積的最大值為_.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)正弦定理得,再根據(jù)余弦定理化簡得【詳解】因?yàn)椋?因此,因?yàn)椋?，成等差數(shù)列，所以+=2,因此，即面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理以及二次函數(shù)性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬中檔題.16.有一個(gè)底面半徑為，軸截面為正三角形的圓錐紙盒，在該紙盒內(nèi)放一個(gè)棱長均為的四面體，并且四面體在紙盒內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則的最大值為_.【答案】【解析】【分析】先求圓錐內(nèi)切球半徑，再根據(jù)取最大值時(shí)，四面體外接球恰為圓錐內(nèi)切球，解得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐內(nèi)切球半徑為,則,所以,因?yàn)槿∽畲笾禃r(shí)，正四面體外接球恰為圓錐內(nèi)切球，所以,解得.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐內(nèi)切球以及正四面體外接球，考查基本分析求解能力，屬中檔題.三、解答題.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟.17.已知是遞增的等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）解法1：運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公比，即可得到所求通項(xiàng)公式；解法2：運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)建立方程.（2）的通項(xiàng)公式是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積,利用錯(cuò)位相減求和.【詳解】解法1：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋越獾没蛞驗(yàn)槭沁f增的等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為解法2：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，是方程的兩個(gè)根解得或因?yàn)槭沁f增的等比數(shù)列，所以，則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）由（1）知?jiǎng)t，在式兩邊同時(shí)乘以得，-得，即，所以【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的錯(cuò)位相減求和，以及化簡整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題18.科研人員在對(duì)人體脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，如下表：（年齡/歲）26273941495356586061（脂肪含量/%）14.517.821.225.926.329.631.433.535.234.6根據(jù)上表的數(shù)據(jù)得到如下的散點(diǎn)圖.（1）根據(jù)上表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖：（i）求；（i）計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并刻畫它們的相關(guān)程度.（2）若關(guān)于的線性回歸方程為，求的值（精確到0.01），并根據(jù)回歸方程估計(jì)年齡為50歲時(shí)人體的脂肪含量.附：參考數(shù)據(jù)：，參考公式：相關(guān)系數(shù) 回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【答案】(1) （）47 （）見解析；(2) ；%【解析】【分析】（1）（i）根據(jù)上表中的樣本數(shù)據(jù)，利用平均數(shù)的公式求得結(jié)果；（ii）利用公式求得相關(guān)系數(shù)的值，從而可以推斷人體脂肪含量和年齡的相關(guān)程度很強(qiáng)（2）利用回歸直線過樣本中心點(diǎn)，求得，得到回歸直線的方程，再將代入回歸直線方程求得結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)上表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖：（）（） 因?yàn)?，所?由樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷人體脂肪含量和年齡的相關(guān)程度很強(qiáng) （2）因?yàn)榛貧w方程為，即所以【或利用 】所以關(guān)于的線性回歸方程為將代入線性回歸方程得 所以根據(jù)回歸方程估計(jì)年齡為歲時(shí)人體的脂肪含量為%【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)回歸分析的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有平均值的計(jì)算，根據(jù)相關(guān)系數(shù)r的大小判斷相關(guān)性，回歸直線的性質(zhì)，屬于簡單題目.19.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，且.（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析； （2）.【解析】【分析】（1）先根據(jù)計(jì)算得線線線線垂直，再根據(jù)線面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得結(jié)論，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所?因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以 在中， 為的中點(diǎn)，所以設(shè),則，因?yàn)椋?在中，為的中點(diǎn)，所以在 和 中，因?yàn)?，所?所以所以 因?yàn)?，平面，平面，所以平面因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）因?yàn)?，平面，平面，所以平面所?由（1）得，所以，所在的直線兩兩互相垂直以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 設(shè)，則， 所以，設(shè)平面的法向量為，則 令，則，所以 設(shè)平面的法向量為，則 令，則，所以設(shè)二面角為，由于為銳角，所以 所以二面角的余弦值為 【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空間向量求二面角，考查基本分析論證與求解能力，屬中檔題.20.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)分別與兩個(gè)定點(diǎn)，的連線的斜率之積為.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與軌跡交于，兩點(diǎn)，判斷直線與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.【答案】（1） ； （2）相離.【解析】【分析】（1）根據(jù)直接法求軌跡方程，（2）先用坐標(biāo)表示以線段為直徑的圓方程，再根據(jù)圓心到直線距離與半徑大小進(jìn)行判斷.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?， ， 所以，整理得 所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程 （2）過點(diǎn)的直線為軸時(shí)，顯然不合題意 所以可設(shè)過點(diǎn)的直線方程為， 設(shè)直線與軌跡的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ，由得 因?yàn)?，由韋達(dá)定理得 =， = 注意到 =所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為 因?yàn)?點(diǎn)到直線的距離為 因?yàn)?，即 ，所以直線與以線段為直徑的圓相離【點(diǎn)睛】本題考查直接法求軌跡方程以及直線與圓位置關(guān)系，考查基本分析求解能力，屬中檔題.21.己知函數(shù) .（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍，并證明.【答案】(1)見解析；(2)見證明【解析】【分析】（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+），f（x），x0，利用分類討論思想，結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性（2）先求k的取值范圍是，再證明f（2k）ln（2k）0然后證明x1+x22，即證（1）（1+t）28lnt，即證8lnt+（）（1+t）20，（t0）設(shè)h（t）8lnt+（）（1+t）2，t1則h（t）8lntt22t，t1由此能證明x1+x22【詳解】（1）解：因?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí)，由，得（負(fù)根舍去），當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增 綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）先求的取值范圍：方法1:由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，首先，解得因?yàn)?，且，下面證明設(shè)，則因?yàn)椋运栽谏蠁握{(diào)遞增，所以 所以的取值范圍是 方法2:由，得到 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以由 因?yàn)闀r(shí)，且，要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，必有所以的取值范圍是 再證明：方法1:因?yàn)椋呛瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，令，則所以即所以，即，要證，即證 即證，即證因?yàn)椋约醋C，或證 設(shè)，即，所以所以在上單調(diào)遞減， 所以所以 方法2:因?yàn)?，是函?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，令，則所以即所以，即，要證，需證 即證，即證因?yàn)?，所以即證 設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減， 所以 所以 方法3:因?yàn)?，是函?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，令，則所以即 要證，需證 只需證即證，即證即證 因?yàn)椋裕?所以而，所以成立所以方法4:因?yàn)?，是函?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，令，則由已知得即 先證明，即證明 設(shè)，則所以在上單調(diào)遞增，所以，所證不等式成立 所以有 即因?yàn)椋ǎ?，所以，即所?方法5:要證，其中 ， ，即證 利用函數(shù)的單調(diào)性，只需證明因?yàn)?，所以只要證明，其中 構(gòu)造函數(shù)，則 因?yàn)椋ɡ镁挡坏仁剑?，所以在上單調(diào)遞減 所以所以在上恒成立所以要證的不等式成立【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的討論，考查不等式的性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是難題22.在直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐