專題一：簡諧運動及其圖象知識點一：彈簧振子1.彈簧振子如圖，把連在一起的彈簧和小球穿在水平桿上，彈簧左端固定在支架上，小球可以在桿上滑動。小球滑動時的摩擦力可以忽略，彈簧的質量比小球的質量小得多，也可忽略。這樣就成了一個彈簧振子。注意：小球原來靜止的位置就是平衡位置。小球在平衡位置附近所做的往復運動，是一種機械振動。小球的運動是平動，可以看作質點。彈簧振子是一個不考慮摩擦阻力，不考慮彈簧的質量，不考慮振子（金屬小球）的大小和形狀的理想化的物理模型。2.彈簧振子的位移時間圖象（1）振動物體的位移是指由平衡位置指向振子所在處的有向線段，可以說某時刻的位移。說明：振動物體的位移與運動學中位移的含義不同，振子的位移總是相對于平衡位置而言的，即初位置是平衡位置，末位置是振子所在的位置。因而振子對平衡位置的位移方向始終背離平衡位置。（2）振子位移的變化規律振子的運動AOOBBOOA對O點位移的方向向右向左向左向右大小變化減小增大減小增大（3）彈簧振子的位移時間圖象是一條正（余）弦曲線。知識點二：簡諧運動1.簡諧運動如果質點的位移與時間的關系遵從正弦函數的規律，即它的振動圖象(x-t圖象)是一條正弦曲線，這樣的振動，叫做簡諧運動。簡諧運動是機械振動中最簡單、最基本的振動。彈簧振子的運動就是簡諧運動。2.描述簡諧運動的物理量（1）振幅（A）振幅是指振動物體離開平衡位置的最大距離，是表征振動強弱的物理量。（2）周期（T）和頻率（f）周期和頻率的關系是：（3）相位（）相位是表示物體振動步調的物理量，用相位來描述簡諧運動在一個全振動中所處的階段。3. 固有周期、固有頻率簡諧運動的周期只由系統本身的特性決定，與振幅無關，因此T叫系統的固有周期，f叫固有頻率。彈簧振子的周期公式：，其中m是振動物體的質量，k為彈簧的勁度系數。4.簡諧運動的表達式y=Asin（t+），其中A是振幅，是t=0時的相位，即初相位或初相。知識點三：簡諧運動的回復力和能量1.回復力：使振動物體回到平衡位置的力。（1）回復力是以效果命名的力。性質上回復力可以是重力、彈力、摩擦力、電場力、磁場力等，它可能是幾個力的合力，也可能是某個力或某個力的分力。如在水平方向上振動的彈簧振子的回復力是彈簧在伸長和壓縮時產生的彈力；在豎直方向上振動的彈簧振子的回復力是彈簧彈力和重力的合力。（2）回復力的作用是使振動物體回到平衡位置。回復力的方向總是“指向平衡位置”。（3）回復力是是振動物體在振動方向上的合外力，但不一定是物體受到的合外力。2.對平衡位置的理解（1）平衡位置是振動物體最終停止振動后振子所在的位置。（2）平衡位置是回復力為零的位置，但平衡位置不一定是合力為零的位置。（3）不同振動系統平衡位置不同。豎直方向的彈簧振子，平衡位置是其彈力等于重力的位置；水平勻強電場和重力場共同作用的單擺，平衡位置在電場力與重力的合力方向上。3簡諧運動的動力學特征F回-kx ，a回kx/m，其中k為比例系數，對于彈簧振子來說，就等于彈簧的勁度系數。負號表示回復力的方向與位移的方向相反。也就是說簡諧運動是在跟對平衡位置的位移大小成正比、方向總是指向平衡位置的力作用下的振動。彈簧振子在平衡位置時F回=0。當振子振動過程中，位移為x時，由胡克定律（彈簧不超出彈性限度），考慮到回復力的方向跟位移的方向相反，有F回= -kx，k為彈簧的勁度系數，所以彈簧振子做簡諧運動。4.簡諧運動的能量特征知識點四： 簡諧運動過程中各物理量大小、方向變化情況1.全振動振動物體連續兩次運動狀態（位移和速度）完全相同所經歷的的過程，即物體運動完成一次規律性變化。2.彈簧振子振動過程中各物理量大小、方向變化情況過程：物體從A由靜止釋放，從AOBOA，經歷一次全振動，圖中O為平衡位置，A、B為最大位移處：取OB方向為正： 位移s 速度v 加速度a 回復力F 動能Ek 勢能EP 運動性質 A 最大(-) 0最大 最大kA 0最大 AO 減小(-) 增大(+) 減小(+) 減小(+)增大 減小 a的變加速運動O 0最大 00最大 0 勢能全部轉化為動能 OB 增大(+) 減小(+)增大(-) 增大(-) 減小 增大 a的變減速運動B 最大 0最大 最大 0最大動能全部轉化為勢能 BO 減小(+) 增大(-)減小(-) 減小(-)增大 減小 a的變加速運動O 0最大 00最大 0 勢能全部轉化為動能 OA 增大(-) 減小(-)增大（+） 增大(+) 減小 增大 a的變減速運動小結：彈簧振子的運動過程是完全對稱的。 (1)B、O、A為三個特殊狀態 O為平衡位置，即速度具有最大值vmax，而加速度a0 A為負的最大位移處，具有加速度最大值amax，而速度v0 B為正的最大位移處，具有加速度最大值amax，而速度v0 （2）其運動為變加速運動與變減速運動的交替過程，在此過程中，機械能守恒，動能和彈性勢能之間相互轉化 加速度a與速度v的變化不一致(3)任一點C的受力情況 重力G與彈力N平衡；F回F彈kx，可看出回復力方向始終與位移方向相反 知識點五：簡諧運動圖象的應用1. 簡諧運動圖象的物理意義圖象描述了做簡諧運動的質點的位移隨時間變化的規律，即是位移時間函數圖象。注意振動圖象不是質點的運動軌跡。2. 簡諧運動圖象的特點簡諧運動的圖象是一條正弦（余弦）曲線。（1）從平衡位置開始計時，函數表達式為，圖象如圖1。（2）從最大位移處開始計時，函數表達式，圖象如圖2。3.簡諧運動圖象的應用(1)確定振動質點在任一時刻的位移。如圖中，對應t1、t2時刻的位移分別為x1=+7cm、x2=-5cm。(2)確定振動的振幅、周期和頻率。圖中最大位移的值就是振幅，如圖表示的振動振幅是10cm；振動圖象上一個完整的正弦(余弦)圖形在時間軸上拉開的“長度”表示周期。由圖可知，OD、AE、BF的間隔都等于振動周期T=0.2s；頻率。(3)確定各時刻質點的速度、加速度(回復力)的方向。加速度方向總與位移方向相反。只要從振動圖象中認清位移的方向即可。例如在圖中t1時刻質點位移x1為正，則加速度a1為負，兩者方向相反；t2時刻，位移x2為負，則a2便為正；判定速度的方向的方法有：a.位移時間圖象上的斜率代表速度。某時刻的振動圖象的斜率大于0，速度方向與規定的正方向一致；斜率小于0，速度的方向與規定的正方向相反；b.將某一時刻的位移與相鄰的下一時刻的位移比較，如果位移增大，振動質點將遠離平衡位置；反之將靠近平衡位置。例如圖中在t1時刻，質點正遠離平衡位置運動；在t3時刻，質點正向著平衡位置運動。(4)比較不同時刻質點的速度、加速度、動能、勢能的大小。加速度與位移的大小成正比。如圖中|x1|x2|，所以|a1|a2|；而質點的位移越大，它所具有的勢能越大，動能、速度則越小。如圖中，在t1時刻質點的勢能EP1大于t2時刻的勢能EP2，而動能則Ek1Ek1，速度v1v1。規律方法指導1正確分析振動物體的受力回復力是根據效果來命名的，而不是某種特殊性質的力，它可以是重力、彈力、摩擦力，或者是幾個力的合力。2.簡諧運動的對稱性和周期性瞬時量的對稱性：做簡諧運動的物體，在關于平衡位置對稱的兩點，回復力、位移、加速度具有等大反向的關系。另外速度的大小具有對稱性，方向可能相同或相反。過程量的對稱性：振動質點來回通過相同的兩點間的時間相等，如；質點經過關于平衡位置對稱的等長的兩線段時時間相等，如。由于簡諧運動有周期性，因此涉及簡諧運動時，往往出現多解，分析時應特別注意：物體在某一位置時，位移是確定的，而速度不確定；時間也存在周期性關系。3.簡諧運動中路程和時間的關系振動質點在t時間經過的路程與t和質點的初始狀態有關，計算比較復雜。若質點運動時間t是周期T的整數倍，即滿足t=nT（n1、2），則那么振動質點在t時間內通過的路程Sn4A；如果時間t是的整數倍，即t=n（n1、2），那么振動質點在t時間內通過的路程為Sn2A；如果為t為T/4，分三種情形： 計時起點對應質點在三個特殊位置（兩個最大位移處，一個平衡位置），則SA； 計時起點對應質點在最大位移和平衡位置之間，向平衡位置運動，則SA； 計時起點對應質點在最大位移處和平衡位置之間，向最大位移處運動，則SA。4.簡諧運動圖象反映了振動物體相對于平衡位置的位移隨時間的變化規律。要掌握好這一規律，需要把圖象和振動物體實際的運動聯系起來，要能夠對物理圖景有充分的想象能力。典型例題透析類型一一簡諧運動的判定1、如圖所示，光滑水平面上放有一質量為m的物體，彈簧的勁度系數分別為kl、k2，彈簧現在均處于原長，試證明物體開始振動之后的運動為簡諧運動。舉一反三【變式】輕質彈簧上端固定在天花板上，下端懸掛物體m，彈簧的勁度系數為k，現將物體從平衡位置向下拉開一段距離后釋放，試證明物體的運動是簡諧運動。類型二簡諧運動過程中各物理量的變化2、一彈簧振子做簡諧運動，下列說法正確的是：（ ）A若位移為負值，則速度一定為正值，加速度也一定為正值 B振子通過平衡位置時，速度為零，加速度最大 C振子每次經過平衡位置時，加速度相同，速度也一定相同 D振子每次通過同一位置時，其速度不一定相同，但加速度一定相同 舉一反三【變式1】如果下表中給出的是做簡諧運動的物體的位移x或速度v與時刻的對應關系，T是振動周期，則下列選項中正確的是：（ ）A若甲表示位移x，則丙表示相應的速度v B若丁表示位移x，則甲表示相應的速度vC若丙表示位移x，則甲表示相應的速度v D若乙表示位移x，則丙表示相應的速度v物理量0T/4T/23T/4T甲零正向最大零負向最大零乙零負向最大零正向最大零丙正向最大零負向最大零正向最大丁負向最大零正向最大零負向最大【變式2】如圖所示，一彈簧振子在A、B間做簡諧運動，平衡位置為O，已知振子的質量為M，若振子運動到B處時將一質量為m的物體放到M的上面，且m和M無相對運動而一起運動，下述正確的是：（ ）A.振幅不變B.振幅減小C.最大動能不變D.最大動能減小類型三簡諧運動的圖象3、一質點做簡諧運動的振動圖象如圖所示： （1）該質點振動的振幅是_；周期是_；初相是_。（2）寫出該質點簡諧運動的表達式，并求出當t=1s時質點的位移。舉一反三【變式】做簡諧運動的彈簧振子振動圖象如圖所示，下列說法中正確的是：（ ）At=0時，質點位移為零，速度為零，加速度為零Bt=1s時，質點位移最大，速度為零，加速度最大Ct1和t2時刻振子具有相同的速度和動能Dt3和t4時刻振子具有相同的加速度E5s內振子通過的路程是25cm，而位移是5cm，回復力為零，加速度為零，但速度為最大值，動能最大，勢能為零，選項A錯誤。類型四簡諧運動的周期性和對稱性4、一質點在平衡位置O附近做簡諧運動，從它經過平衡位置起開始計時，經0.13 s質點第一次通過M點，再經0.1s第二次通過M點，則質點振動周期為多大？ 舉一反三【變式】質點在O點附近做簡諧運動，從質點經過O點時開始計時，質點第一次經過O附近的M點需時3s，又經過2s再一次經過M點，求質點第三次經過M點還需經過多長時間? 舉一反三【變式】水平放置的彈簧振子做簡諧運動，周期為T，t1時刻振子不在平衡位置，且速度不為零；t2時刻振子速度與t1時刻的速度大小相等、方向相同；t3時刻振子的速度與t1時刻的速度大小相等、方向相反。若t2t1=t3t2， 則：（ ）At1時刻、t2時刻與t3時刻彈性勢能都相等Bt1時刻與t3時刻，彈簧的長度相等Ct3t1=(2n+)T n=0，1，2， Dt3t1=(n+)T n=0，1，2