學點一 學點二 學點三 學點四 1 在定義域內(nèi) 對于自變量x的不同取值區(qū)間 有不同的對應法則 這樣的函數(shù)叫 2 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的 其值域是各段值域的 分段函數(shù) 并集 并集 已知函數(shù) 1 畫出函數(shù)的圖象 2 根據(jù)已知條件分別求f 1 f 3 f f 3 f f f 3 的值 分析 給出的函數(shù)是分段函數(shù) 應注意在不同的范圍上用不同的關(guān)系式 1 函數(shù)f x 在不同區(qū)間上的關(guān)系都是常見的基本初等函數(shù)關(guān)系 因而可利用常見函數(shù)的圖象作圖 2 根據(jù)自變量的值所在的區(qū)間 選用相應的關(guān)系式求函數(shù)值 解析 1 分別畫出y x2 x 0 y 1 x 0 y 0 x 0 的圖象 即得所求函數(shù)的圖象如圖所示 2 f 1 12 1 f 3 0 f f 3 f 0 1 f f f 3 f f 0 f 1 12 1 評析 分段函數(shù)的對應關(guān)系是借助于幾個不同的表達式來表示的 處理分段函數(shù)的問題時 首先要確定自變量的數(shù)值屬于哪一個區(qū)間 從而選相應的對應關(guān)系 對于分段函數(shù) 各個分段的 端點 要注意處理好 已知函數(shù)f x 的解析式為 1 求的值 2 畫出這個函數(shù)的圖象 3 求f x 的最大值 2 如圖 在函數(shù)y 3x 5圖象上截取x 0的部分 在函數(shù)y x 5圖象上截取01的部分 圖中實線組成的圖形就是函數(shù)f x 的圖象 3 由函數(shù)圖象可知 當x 1時 f x 的最大值為6 學點二分段函數(shù)的求值問題 分析 求分段函數(shù)的函數(shù)值時 一般先確定自變量的取值在定義域的哪個子區(qū)間 然后用與這個區(qū)間相對應的對應關(guān)系來求函數(shù)值 已知求f f f 3 評析 解決此類問題應自內(nèi)向外依次求值 解析 3 2 f 3 32 4 3 3 3 2 f f 3 f 3 3 2 2 f f f 3 f 已知函數(shù) 1 求 2 若f a 3 求a的值 3 求f x 的定義域與值域 1 2 f a 3 當a 1時 a 2 3 a 1 1 舍去 當 1 a 2時 2a 3 a 1 2 當a 2時 a2 3 a 2 綜上知 當f a 3時 a 或a 3 f x 的定義域為 1 1 2 2 r 當x 1時 f x 1 當 1 x 2時 f x 2 4 當x 2時 f x 2 1 2 4 2 r f x 的值域為r 學點三分段函數(shù)的解析式 如圖所示 等腰梯形abcd的兩底分別為ad 2 bc 1 bad 45 直線mn ad交ad于m 交折線abcd于n 記am x 試將梯形abcd位于直線mn左側(cè)的面積y表示為x的函數(shù) 并寫出函數(shù)的定義域和值域 分析 求函數(shù)解析式是解決其他問題的關(guān)鍵 根據(jù)題意 此題應對n分別在ab bc cd三段上分三種情況寫出函數(shù)的解析式 解析 過b c分別作ad的垂線 垂足分別為h和g 則ah ag 當m位于h左側(cè)時 am x mn x y s amn x20 x 當m位于h g之間時 y ah hb hm mn x x x 當m位于g d之間時 y s梯形abcd s mdn 2 1 2 x 2 x x2 2x x 2 評析 分段函數(shù)的定義域是各部分x的取值范圍的并集 值域也是y在各部分值的取值范圍的并集 因此 函數(shù)的解析式 定義域 值域通常是逐段求解 最后綜合求出 所求函數(shù)的關(guān)系式為 函數(shù)的定義域為 0 2 值域為 0 如圖所示 在邊長為4的正方形abcd的邊上有一點p 沿著折線bcda由點b 起點 向點a 終點 運動 設點p運動的路程為x abp的面積為y 1 求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式 2 畫出y f x 的圖象 1 當p點在bc上 即0 x 4時 s abp 4 x 2x 當p點在cd上時 s abp 4 4 8 當p點在ad上時 s abp 4 12 x 2 畫出y f x 的圖象 如右圖所示 所求的函數(shù)關(guān)系式為 a b兩地相距150公里 某汽車以每小時50公里的速度從a地運行到b地 在b地停留2小時之后 又以每小時60公里的速度返回a地 寫出該車離開a地的距離s 公里 與時間t 小時 的函數(shù)關(guān)系 解析 由50t1 150得t1 3 由60t2 150得t2 當0 t 3時 s 50t 當3 t 5時 s 150 當5 t 7 5時 s 150 60 t 5 450 60t 所求函數(shù)關(guān)系式為 學點四分段函數(shù)的應用問題 分析 因行駛速度不一樣 故s與t的關(guān)系需用分段函數(shù)表示 評析 解決數(shù)學應用題的一般步驟 首先要在閱讀材料 理解題意的基礎上 把實際問題抽象成數(shù)學問題 經(jīng)過去粗取精 利用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型 再利用數(shù)學知識對數(shù)學模型進行分析 研究 得出數(shù)學結(jié)論 最后把數(shù)學結(jié)論 結(jié)果 返回到實際問題中 某汽車以52km h的速度從a地運行到260km遠處的b地 在b地停留面1 5h后 再以65km h的速度返回a地 試將汽車離開a地后行走的路程s表示為時間t的函數(shù) 因為行駛速度不一樣 可考慮分段表示 260 52 5 h 260 65 4 h 所以 1 怎樣正確地理解分段函數(shù) 對于自變量x的不同取值區(qū)間 有著不同的對應法則的函數(shù) 稱為分段函數(shù) 不能認為它是幾個函數(shù) 它只是一個函數(shù)的表達式 只是在表達形式上同以前學過的函數(shù)不同 在表示時 用 表示出各段解析式關(guān)系 2 如何加強對分段函數(shù)的認識 首先對分段函數(shù)的定義要理解并掌握 其次從簡單的分段函數(shù)入手多認識 多識記 教材中通過例題的形式給出了 分段函數(shù) 的概念 從而說明 對于一個函數(shù)來說 對應法則可以由一個解析式來表示 也