1925年7月初 海森伯終于完成了題為 從量子理論重新解釋運動學和力學關系 的論文 建立了矩陣力學 1926年 蘇黎世大學的奧地利科學家歐文 薛定諤發展了另一種形式的量子力學 波動力學 薛定諤的波動力學和海森伯的矩陣力學的出發點不同 而且是通過不同的思維過程發展而來的 但是用這兩種理論處理同一問題時 卻得到了相同的結果 包括薛定諤本人在內的許多人已經證明了量子力學的這兩種形式彼此完全等價 海森伯的理論比薛定諤提出的早一些 可是科學家們在接受薛定諤的波動力學時卻顯得迅速得多 歷史回顧 量子力學的建立 矩陣力學和波動力學的提出 第七章量子力學的矩陣形式與表象變換 方陣 行數與列數相等的矩陣 矩陣簡介 1 定義 2 兩矩陣相等 行列數相等 3 兩矩陣相加 行列數相等 4 兩矩陣相乘 一個n列的矩陣A與一個n行的矩陣B相乘 1 稱A B矩陣相互不對易 稱A B矩陣相互對易 2 3 4 但B C不一定成立 5 AB 0 但A 0 B 0不一定成立 6 A2 0 但A 0不一定成立 5 對角矩陣 除對角元外其余為零 6 單位矩陣 單位矩陣與任何矩陣A的乘積仍為A IA A并且與任何矩陣都是可對易的 IA AI 把矩陣A的行和列互相調換 所得出的新矩陣稱為A的轉置矩陣 7 轉置矩陣 共軛矩陣 8 厄密矩陣 如果一個矩陣A和它的共軛矩陣相等 則稱A矩陣為厄密矩陣 表象理論 根據量子力學的基本原理 微觀粒子的量子態用波函數描述 力學量用線性厄密算符描述 前面所使用的波函數及力學量算符均以坐標為變量而寫出其具體表達形式的 是否有其它描述方法 即以其它力學量的本征值譜為變量 回答是 不僅有 而且非常必要 因為恰當選擇描述體系的具體形式 自變量 可給運算帶來很多方便 量子力學中狀態和力學量的具體表示方式 表象常用表象 坐標表象 動量表象 能量表象 角動量表象等 一個定義 表象的定義二個表示 態 波函數 在任意表象中的表示力學量 算符 在任意表象中的表示 三個公式 平均值公式本征值方程薛定諤方程在任意表象中的表示 表象理論中采用的數學工具主要是矩陣矩陣力學 海森堡Heisenberg 7 1量子態的不同表象 討論分立譜的情況 的本征值為 F1 F2 Fn 相應本征函數 構成正交歸一完備系 在坐標表象中設力學量算符 若體系狀態用歸一化波函數 x t 描述 有 說明 給出量子態在t時刻測量粒子坐標為x的概率密度 1 an t 2表示在 x t 所描述的狀態中測量F得Fn的概率密度 二者從不同角度對同一量子態給予描述 物理意義是等價的 數學上也是等價的 2 an t 一般不再是坐標x的函數而是力學量F的本征值Fn的函數 即量子數n的函數 隨n的不同取不同復數值 結論 an t 與 x t 描述體系的同一個態 x t 是這一狀態在坐標表象中的表示 而數列 an t 是這同一狀態在F表象中的表示 我們可以把數列 an t 寫成列矩陣的形式 用 F標記 把矩陣 F稱為 x t 所描寫的狀態在F表象中的波函數 F的共軛矩陣是一個行矩陣 用 F標記 若用矩陣表示歸一化 有 綜上所述 量子力學中體系的同一狀態可以用不同力學量表象中的波函數來描寫 所取表象不同 波函數的形式也不同 我們可以根據處理問題的需要選用適當的表象以方便求解 例 若給出 中心力場能量表象為 Hilbert 希耳伯特 空間 態矢量所在的無限維空間 量子力學中 態的表象這一概念與幾何學中選取不同的坐標系來表示同一矢量的概念十分相似 在量子力學中 我們可以建立一個n維 n可以是無窮大 空間 把波函數 看成是這個空間中的一個矢量 稱為態矢量 選取一個特定力學量F表象 相當于選取特定的坐標系 該坐標系是以力學量F的本征函數系 為基矢 態矢量在各基矢上的分量 則為展開系數 可用這組分量來表示 在F表象中態矢量 F表象的基矢有無限多個 所以態矢量所在的空間是一個無限維的抽象的函數空間 稱為Hilbert空間 7 2力學量 算符 的矩陣表示 力學量算符的具體形式應該與波函數的具體形式相對應 以保證對波函數的作用有意義 F表象中的算符表示 分立譜的情況 設量子態 經過算符 運算后變成另一個態 在以力學量完全集F的本征態 k為基矢的表象 F表象 中 上式變成 以 左乘上式兩邊并對x積分 積分范圍是x變化的 整個區域得 表成矩陣的形式則為 在F表象中的矩陣表示 而矩陣 左邊的一列矩陣和右邊的一列矩陣分別是波函數 和波函數 中的表示 即算符 則有 用 表示這個矩陣 在F表象 的性質 討論 F表象中力學量算符 1 算符在自身表象中是一對角矩陣 對角元素就是算符的本征值 證明 2 力學量算符用厄密矩陣表示 即L矩陣的第m列第n行的矩陣元等于第n列第m行矩陣元的復共軛 這就是厄密矩陣 用L 表示矩陣L的共軛矩陣 則有 其對角矩陣元為實數 證明 一維無限深勢阱能量的本征函數基矢為 求一維無限深勢阱中粒子的坐標算符 及哈密頓算符 在能量表象中的矩陣表示 解 能級 n 1 2 3 例 當時 非對角元為 當m n時 對角元為 坐標算符 哈密頓算符 對角元 7 3量子力學公式的矩陣表示 一 Schr dinger方程 在F表象中 t 按力學量算符F的本征函數展開 表示為 左乘 j 對x整個空間積分 取標積 F表象中的Schr dinger方程 表示為矩陣形式 二 平均值公式 在量子態 下 力學量L的平均值為 F表象中力學量L的平均值的矩陣形式 特例 若 則 對角矩陣 則 假定 已歸一化 即 則 表示在 態下測量L得到Lk值的概率 三 本征值方程 在F表象中 t 按力學量算符F的本征函數展開 表示為 左乘 j 對x整個空間積分 取標積 的本征方程在F表象中的矩陣形式 它是ak k 0 1 2 滿足的線性齊次方程組 有非平庸解的條件為 此方程組有非零解的條件 其系數行列式等于零 即 即 稱為久期方程 設表象空間維數為N 則上式是的 N次冪代數方程 對于可觀測量 Ljk為厄米矩陣 可以證明 上列方程必有N個實根 記為 j 0 1 2 N 可求出相應的解 k 0 1 2 N 表成列矢 相應的本征態在F表象中的表示 與本征值 給定算符如何求本征值與本征函數 1 先求用矩陣表示的本征方程 2 代入久期方程求得本征值的解 3 本征值代入本征方程求本征函數 1 在A表象中 算符A B的矩陣表示 2 在A表象中 算符B的本征值和本征函數 例1 設Hermite算符 滿足 且AB BA 0 求 解題思路 由A的本征函數的定義 很容易求出在A表象中A的本征函數及矩陣 利用A B之間的反對易關系和幺正性 即可給出B的矩陣 本征函數和本征值 由 解 1 在A的自身表象中 若無簡并 A的矩陣為 由AB BA 0 所以 因為 有 bc 1即 所以 在A表象下 2 設在A表象中 B的本征函數與本征值為 久期方程為 同理 當 1時本征函數為 結合歸一化條件 當 1時本征函數為 例2 已知體系的哈密頓算符 與某一力學量算符 在能量表象中的矩陣形式為 1 H和B是否是厄密矩陣 其中 和b為實常數 問 3 算符B的本征值及相應的本征函數 2 H和B是否對易 解 1 所以H和B是厄密矩陣 2 所以H和B對易 3 設B的本征值為 代入久期方程有 例題3在正交歸一化基矢 所張的三維矢量空間中 t 0時的態矢 而物理體系的能量算符H和另外兩個物理量算符A與B的矩陣形式為 態中算符A B的 均為實數 求 1 所采用的是什么表象 基矢是什么 2 表象中波函數 態矢 的表示 3 態的能量可能值及相應概率 4 可能值 相應概率及平均值 解 1 因為矩陣H為對角矩陣 所以是能量表象 此表象 為H的本征態 基矢在能量表象中為 2 表象中波函數的表示為x表象 有 故能量表象中態矢為 3 由對角矩陣可知 能量取值只能是 且 是兩度簡并的 取 和 的概率分別是 故 或 4 卻不是A的本征函數集 令A在能量表象中的本征態為 是H的本征函數集 則本征方程為 本征值為 故 故 故 解久期方程 得 時 當 當 當 時 時 可見 由于能量表象不是 的自身表象 故 的矩陣形式不同于 要求A的可能值 2a a a 在 態中 即 態中 的概率分布 就要把 按A的本征態展開 最后得A表象中態矢表達式 所以A取值為 2a a 的概率分別為 量子力學可以不涉及具體表象來討論粒子的狀態和運動規律 這種抽象的描述方法是由Dirac首先引用的 所以該方法所使用的符號稱為Dirac符號 4Dirac符號 1 右矢空間 ket 量子體系的一切可能狀態構成一個Hilbert空間 空間中的一個矢量 方向 一般為復量 用以標記一個量子態 在抽象表象中Dirac用右矢空間的一個矢量 與量子狀態相對應 該矢量稱為右矢 若要標志某個特殊的態 則在右矢內標上某種記號 因為力學量本征態構成完備系 所以本征函數所對應的右矢空間中的右矢也組成該空間的完備右矢 或基組 即右矢空間中的完備的基本矢量 簡稱基矢 右矢空間的任一矢量 可按該空間的某一完備基矢展開 例如 右矢空間中的每一個右矢量在左矢空間都有一個相對應的左矢量 記為 2 左矢空間 bra 左矢相應的一個抽象態矢 例如 互為共軛態矢 與 3 標積 記為 態矢間的標積 有 為歸一化態矢 正交 若 則稱 與 若 則稱 設力學量完全集F的本征態 離散 記為 k 它們的正交歸一性表示為 4 態矢在具體表象中的表示 在F表象中 基矢記為 k 態矢 可用 k 展開 即 展開系數是態矢 在基矢 k 上的投影 分量 當所有ak都給定時 就確定了一個態 記為 所以這一組數 就是態 在F表象中的表示 常寫成列矢形式 用Dirac符號表示為 式中 是一個投影算符 記為 Pk對任何態矢 運算后 就得到態矢 在基矢 k 方向上的分量矢量 這一組基