高 三 數 學20131注意事項：1本試卷共4頁，包括填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）兩部分本試卷滿分160分，考試時間120分鐘2答題前，請您務必將自己的姓名、考試號用毫米黑色字跡的簽字筆填寫在試卷的指定位置3答題時，必須用書寫黑色字跡的毫米簽字筆寫在試卷的指定位置，在其它位置作答一律無效4如有作圖需要，可用鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分不需要寫出解答過程，請把答案直接填在答題卡相應位置上1已知集合M1 ,2,3, 4,5，N2,4,6,8,10，則MN 2已知向量，若，則實數 3.直線與 平行,則實數 4.方程有 個不同的實數根5. 已知,函數的周期比振幅小1,則 6. 在ABC中，則= 7. 在等比數列中，為其前項和，已知，則此數列的公比為 8. 觀察下列等式： 1， 1， 1，由以上等式推測到一個一般的結論：對于nN*， 9. 圓心在拋物線上,并且和拋物線的準線及軸都相切的圓的標準方程為 10. 在菱形中，,則 11.設雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線的右支上，且,則此雙曲線離心率的最大值為 12. 從直線上一點向圓引切線,為切點,則四邊形的周長最小值為 13. 每年的1月1日是元旦節，7月1日是建黨節，而2013年的春節是2月10日，祝同學們新年夢想成真! 因為 ，新年將注定不平凡，請在括號內填寫一個由月份和日期構成的正整數，使得等式成立，也正好組成我國另外一個重要節日.14. 已知x，y為正數，則的最大值為 二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.（本小題滿分14分） 已知；不等式恒成立，若是的必要條件，求實數的取值范圍.16.（本小題滿分14分）已知的面積為，且.（1）求的值；（2）若，求ABC的面積17.（本小題滿分14分）已知,函數R)圖象上相異兩點處的切線分別為，且.（1）判斷函數的奇偶性；并判斷是否關于原點對稱；（2）若直線都與垂直，求實數的取值范圍.18.（本小題滿分16分） 一位幼兒園老師給班上個小朋友分糖果.她發現糖果盒中原有糖果數為,就先從別處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內糖果的分給第一個小朋友;再從別處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內糖果的分給第二個小朋友;,以后她總是在分給一個小朋友后,就從別處抓2塊糖放入盒中，然后把盒內糖果的分給第個小朋友如果設分給第個小朋友后（未加入2塊糖果前）盒內剩下的糖果數為.（1） 當,時,分別求;（2） 請用表示;令,求數列的通項公式; （3）是否存在正整數和非負整數,使得數列成等差數列,如果存在,請求出所有的和,如果不存在,請說明理由.19.（本小題滿分16分） 已知橢圓的中心在原點，長軸在x軸上，右頂點到右焦點的距離與它到右準線的距離之比為. 不過A點的動直線交橢圓于P,Q兩點（1） 求橢圓的標準方程；（2）證明P,Q兩點的橫坐標的平方和為定值；（3）過點 A,P,Q的動圓記為圓C，動圓C過不同于A的定點，請求出該定點坐標.20. （本小題滿分16分） 已知函數，對一切正整數，數列定義如下：，且，前項和為.（1）求函數的單調區間，并求值域；（2）證明；（3）對一切正整數，證明： ；.數學（附加題）注意事項：考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1本試卷只有解答題，供理工方向考生使用本試卷第21題有4個小題供選做，每位考生在4個選做題中選答2題，3題或4題均答的按選做題中的前2題計分第22、23題為必答題每小題10分，共40分考試用時30分鐘2答題前，考生務必將自己的學校、姓名、考試號填寫在試卷及答題卡的規定位置3請在答題卡上按照順序在對應的答題區域內作答，在其他位置作答一律無效作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆請注意字體工整，筆跡清楚本卷考試結束后，上交答題卡4如需作圖，須用鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗5請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損一律不準使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆 21【選做題】本題包括、四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區域內作答，若多做，則按作答的前兩題評分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟A（選修41幾何證明選講）如圖，O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P，E為O上一點，AE=AC， DE交AB于點F求證：PDFPOC（第21-A題）ABPFOEDC B（選修42：矩陣與變換） 求曲線:在矩陣對應的變換下得到的曲線的方程.C（選修44：坐標系與參數方程） 求圓被直線（是參數截得的弦長.D.（選修45：不等式選講）設函數 （1）當時，求函數的定義域； （2）若函數的定義域為R，試求的取值范圍必做題 第22、23題,每小題10分,計20分.請把答案寫在答題紙的指定區域內. 22（本小題滿分10分）斜率為1的直線與拋物線交于不同兩點，求線段中點的軌跡方程23（本小題滿分10分） 已知函數在區間上是增函數.（1）求實數的取值范圍；（2）若數列滿足，* ，證明 高三數學期末檢測答案及評分標準2013.01一、填空題（每題5分）1.; 2. 0; 3. ; 4. 2;5. 1 ; 6.; 7. 3; 8. 9.; 10.; 11. ; 12.; 13. 101; 14. .【說明】13. (10月1日國慶節)本題的一般結論是，可以應用課本習題中結論證得.14. 本題可以進一步推廣為:是否存在實數,使得當 時恒成立?二、解答題：15. 解：,即,3分 是的必要條件, 是的充分條件,5分不等式對恒成立,7分對恒成立,10分,當且僅當時,等號成立.13分 .14分【說明】本題考查簡易邏輯、命題真假判斷、簡單指數不等式的解法、函數的最值、基本不等式應用；考查不等式恒成立問題；考查轉化思想.16. 解：（1）設的角所對應的邊分別為.,2分, .4分 .5分（2） ,即,6分 ,7分. 9分11分由正弦定理知：,13分.14分【說明】本題主要考查和差三角函數、倍角公式、正弦定理的應用、平面向量的運算；考查運算變形和求解能力.17. 解：（1），2分為奇函數.3分設且,又，5分在兩個相異點處的切線分別為,且，又，6分又為奇函數，點關于原點對稱7分（2） 由（1）知，8分又在A處的切線的斜率， 直線都與垂直,，9分 令，即方程有非負實根，10分，又 ， 綜上14分【說明】本題考查函數性質和導數的運算與應用、一元二次方程根的分布；考查換元法考查推理論證能力.21. 解：（1）當,時, ,.3分（2） 由題意知： ,6分即, ,7分累加得,9分 又,.10分（3） 由，得,12分若存在正整數和非負整數,使得數列成等差數列,則,14分 即,15分當時， ，對任意正整數,有成等差數列. 16分注:如果驗證不能成等差數列,不扣分【說明】本題主要考查數列的定義、通項求法；考查反證法；考查遞推思想；考查推理論證能力；考查閱讀理解能力、建模能力、應用數學解決問題能力本題還可以設計：如果班上有5名小朋友，每個小朋友都分到糖果，求的最小值.19. 解：（1）設橢圓的標準方程為.由題意得.2分, , 2分 橢圓的標準方程為.4分（2）證明：設點將帶入橢圓，化簡得：,6分 , P,Q兩點的橫坐標的平方和為定值4.7分（3）(法一)設圓的一般方程為:,則圓心為（）,PQ中點M(), PQ的垂直平分線的方程為:, 8分圓心（）滿足，所以,9分圓過定點(2,0)，所以,10分圓過, 則 兩式相加得： ,11分, .12分因為動直線與橢圓C交與P,Q（均不與A點重合）所以，由解得: 13分代入圓的方程為：,整理得：,14分所以：15分 解得：或(舍). 所以圓過定點(0,1).16分(法二) 設圓的一般方程為:,將代入的圓的方程:.8分方程與方程為同解方程., 11分圓過定點(2,0)，所以 , 12分 因為動直線與橢圓C交與P,Q（均不與A點重合）所以.解得: ,13分 (以下相同)【說明】本題考查圓錐曲線的基本量間關系、直線與圓錐曲線的位置關系；考查定點定值問題；考查運算求解能力和推理論證能力.20. 解：（1）定義域R，1分，2分函數的單調增區間為，單調減區間為 3分（法一），當時， ，4分時，為減函數，；當時， ；函數的值域為5分（法二）當時，,當時，,且,函數的值域為.5分（法三）判別式法（略）（2）設,設，則，則，.6分 當時， 恒成立當且僅當時，7分令，當且僅當時，當時，由（）, 當時，無解8分當時， ，當時，在無解9分綜上，除外，方程無解， 10分（3） 顯然,又,，11分 所以， 若，則 矛盾.所以 .12分 (法一)14分 15分 16分(法二)13分 14分 15分， .16分【說明】本題以高等數學中不動點、函數迭代等理論為背景，考查函數的圖象與性質、導數的運算與應用；考查函數思想；考查推理論證能力、運算能力. 其中第2問證法較多. 本題可以進一步設計證明. 如令,可證明對任意正整數有互素.理 科 附 加 題 答 案21【選做題】A證明：AE=AC，CDEAOC，2分 又CDEP+PFD，AOCP+OCP，6分 從而PFDOCP7分 在PDF與POC中， PP，PFDOCP， 故PDFPOC10分B解：設為曲線上的任意一點，在矩陣A變換下得到另一點， 則有，4分 即 6分所以8分 又因為點P在曲線上，所以，故有 即所得曲線方程. 10分C 解:將極坐標方程轉化成直角坐標方程：即：，即；4分 即： , 6分 ， 8分即直線經過圓心,所以直線截得的弦長為. 10分D. 解：（1）由題設知：，如圖，在同一坐標系中作出函數和的圖象（如圖所示）,知定義域為.5分（2）由題設知，當時，