2009年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).（1）函數(shù)的可去間斷點的個數(shù)為：（ ）.1. 2 .3.無窮多個【答案】C 【解析】 則當(dāng)取任何整數(shù)時，均無意義故的間斷點有無窮多個，但可去間斷點為極限存在的點，故應(yīng)是的解故可去間斷點為3個，即（2）當(dāng)時，與是等價無窮小，則（ ）.， . ， .， .，【答案】 【解析】為等價無窮小，則 故排除。另外存在，蘊(yùn)含了故排除。所以本題選A。（3）使不等式成立的的范圍是（ ）. .【答案】 【解析】原問題可轉(zhuǎn)化為求成立時的取值范圍，由，時，知當(dāng)時，。故應(yīng)選.（4）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的圖形為：1-2023-1O則函數(shù)的圖形為（ ）.0231-2-11. 0231-2-11.0231-11.0231-2-11【答案】 【解析】此題為定積分的應(yīng)用知識考核，由的圖形可見，其圖像與軸及軸、所圍的圖形的代數(shù)面積為所求函數(shù)，從而可得出幾個方面的特征：時，且單調(diào)遞減。時，單調(diào)遞增。時，為常函數(shù)。時，為線性函數(shù)，單調(diào)遞增。由于F(x)為連續(xù)函數(shù)結(jié)合這些特點，可見正確選項為。（5）設(shè)均為2階矩陣，分別為的伴隨矩陣，若則分塊矩陣 的伴隨矩陣為（ ）. . .【解析】根據(jù)，若分塊矩陣的行列式，即分塊矩陣可逆故答案為（B）（6）設(shè)均為3階矩陣，為的轉(zhuǎn)置矩陣，且，若，則 為（ ）. . . .【答案】 A【解析】，即：（7）設(shè)事件與事件B互不相容，則（ ）. . .【答案】 【解析】因為互不相容，所以，因為不一定等于1，所以不正確當(dāng)不為0時，不成立，故排除只有當(dāng)互為對立事件的時候才成立，故排除，故正確。（8）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，的概率分布為，記為隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則函數(shù)的間斷點個數(shù)為（ ）.0. 1 .2. 3【答案】 B【解析】獨(dú)立（1）若，則（2）當(dāng)，則為間斷點，故選（B）二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9） .【答案】【解析】 （10）設(shè)，則 【解析】由，故代入得，（11）冪級數(shù)的收斂半徑為 【答案】【解析】由題意知，所以，該冪級數(shù)的收斂半徑為（12）設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為,其對應(yīng)價格的彈性，則當(dāng)需求量為10000件時，價格增加1元會使產(chǎn)品收益增加 元【答案】12000【解析】所求即為因為，所以所以將代入有。（13）設(shè),，若矩陣相似于，則 【答案】2【解析】相似于，根據(jù)相似矩陣有相同的特征值，得到的特征值為3，0，0。而為矩陣的對角元素之和，。 (14) 設(shè)，,是來自二項分布總體的簡單隨機(jī)樣本，和分別為樣本均值和樣本方差，記統(tǒng)計量，則 【答案】 【解析】由三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分9分）求二元函數(shù)的極值。【解析】 故則而二元函數(shù)存在極小值（16）（本題滿分10 分）計算不定積分 【解析】令得（17）（本題滿分10 分）計算二重積分，其中.【解析】由得，（18）（本題滿分11 分）證明拉格朗日中值定理，若函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，則，得證.證明：若函數(shù)在處連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則存在，且.【解析】（）作輔助函數(shù)，易驗證滿足：；在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且。根據(jù)羅爾定理，可得在內(nèi)至少有一點，使，即（）任取，則函數(shù)滿足；在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，從而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得又由于，對上式（*式）兩邊取時的極限可得：故存在，且。（19）（本題滿分10 分）設(shè)曲線，其中是可導(dǎo)函數(shù)，且.已知曲線與直線及所圍成的曲邊梯形，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積值是繞曲邊梯形面積值的倍，求該曲線方程。【解析】旋轉(zhuǎn)體的體積為曲邊梯形的面積為：，則由題可知兩邊對t求導(dǎo)可得 繼續(xù)求導(dǎo)可得，化簡可得，解之得在式中令，則，代入得。所以該曲線方程為：。（20）（本題滿分11 分）設(shè),求滿足，的所有向量，.對中的任意向量,證明,線性無關(guān)。【解析】（）解方程 故有一個自由變量，令，由解得， 求特解，令，得 故 ，其中為任意常數(shù) 解方程 故有兩個自由變量，令，由得求特解 故 ，其中為任意常數(shù)（）證明：由于 故 線性無關(guān).（21）（本題滿分11 分）設(shè)二次型求二次型的矩陣的所有特征值。若二次型的規(guī)范型為，求的值。【解析】（） （） 若規(guī)范形為，說明有兩個特征值為正，一個為0。則1) 若，則 ， ，不符題意2) 若 ，即，則，符合3) 若 ，即，則 ，不符題意綜上所述，故（22）（本題滿分11 分）設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求條件概率密度求條件概率【解析】（I）由 得其邊緣密度函數(shù) 故 即 （II）而（23）（本題滿分11分）袋中有一個紅球，兩個黑球，三個白球，現(xiàn)在放回的從袋中取兩次，每次取一個，求以、分別表示兩次取球所取得的紅、黑與白球的個數(shù)。求.求二維隨機(jī)變量的概率分布.【