第三章函數及其圖象 第11講一次函數的圖象和性質 1 概念形如函數 叫做一次函數 其中x是自變量 特別地 當b 0時 則把函數 叫做正比例函數 2 正比例函數y kx的圖象正比例函數y kx的圖象是過 兩點的一條直線 3 一次函數y kx b的圖象 y kx b k b都是常數 且k 0 y kx 0 0 1 k 4 正比例函數y kx 一次函數y kx b的性質 6 一次函數與一元一次不等式的關系 1 函數y kx b的函數值y大于0時 自變量x的取值范圍就是不等式kx b 0的解集 即函數圖象位于x軸的上方 2 函數y kx b的函數值y小于0時 自變量x的取值范圍就是不等式kx b 0的解集 即函數圖象位于x軸的下方 1 待定系數法求一次函數解析式的一般步驟為 1 設出一次函數解析式的一般形式y kx b k 0 2 將x y的對應值代入解析式y kx b中 得到含有待定系數的方程或方程組 3 求出待定系數k b的值 4 將所求待定系數的值代入所設的函數解析式中 2 兩個區別 1 正比例函數和一次函數的區別正比例函數是一次函數的特殊情況 一次函數包括正比例函數 也就是說 如果一個函數是正比例函數 那么一定是一次函數 但是 一個函數是一次函數 不一定是正比例函數 2 正比例和正比例函數的區別成正比例的兩個量之間的函數關系不一定是正比例函數 但正比例函數的兩個量一定成正比例 a 1 2014 本溪 若實數a b滿足ab 0 且a b 則函數y ax b的圖象可能是 2 2015 撫順 直線y x b b 0 與直線y kx k 0 的交點位于 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 b b 3 2015 葫蘆島 已知k b是一元二次方程 2x 1 3x 1 0的兩個根 且k b 則函數y kx b的圖象不經過 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限4 2014 阜新 對于一次函數y kx k 1 k 0 下列敘述正確的是 a 當0 k 1時 函數圖象經過第一 二 三象限b 當k 0時 y隨x的增大而減小c 當k 1時 函數圖象一定交于y軸的負半軸d 函數圖象一定經過點 1 2 c d 5 2015 遼陽 如圖 直線y x 2與y ax b a 0且a b為常數 的交點坐標為 3 1 則關于x的不等式 x 2 ax b的解集為 a x 1b x 3c x 1d x 36 2014 遼陽 如圖 函數y 2x和y ax 5的圖象交于點a m 3 則不等式2x ax 5的解集是 a 7 2015 盤錦 函數y kx b k 0 的圖象如圖所示 則不等式kx b 0的解集為 x 1 一次函數的性質及平移 例1 1 沈陽模擬 在平面直角坐標系中 已知一次函數y 2x 1的圖象經過p1 x1 y1 p2 x2 y2 兩點 若x1 x2 則y1 y2 填 或 2 2015 棗莊 已知直線y kx b 若k b 5 kb 5 那該直線不經過的象限是 a a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 3 大連模擬 在平面直角坐標系中 將直線l1 y 2x 2平移后 得到直線l2 y 2x 4 則下列平移作法正確的是 a a 將l1向右平移3個單位長度b 將l1向右平移6個單位長度c 將l1向上平移2個單位長度d 將l1向上平移4個單位長度 點評 1 一次函數y kx b 當k 0時 y隨x的增大而增大 當k 0時 y隨x的增大而減小 2 一次函數y kx b k b為常數 k 0 是一條直線 當k 0 圖象經過第一 三象限 y隨x的增大而增大 當k 0 圖象經過第二 四象限 y隨x的增大而減小 圖象與y軸的交點坐標為 0 b 3 掌握 左加右減 上加下減 的平移規律是解題的關鍵 c 對應訓練 1 營口模擬 1 對于函數y 3x 1 下列結論正確的是 a 它的圖象必經過點 1 3 b 它的圖象經過第一 二 三象限c 當x 1時 y 0d y的值隨x值的增大而增大 2 2015 海南 點 1 y1 2 y2 是直線y 2x 1上的兩點 則y1 y2 填 或 或 3 2015 濱州 把直線y x 1沿x軸向右平移2個單位 所得直線的函數解析式為 y x 1 點評 1 k b是一次函數y kx b的未知系數 這種先設待求函數關系式 再根據條件列出方程或方程組 求出未知數 從而得出所求結果的方法 就是待定系數法 2 函數中常用的方法還有代入法 d 對應訓練 2 1 本溪模擬 如圖 過a點的一次函數的圖象與正比例函數y 2x的圖象相交于點b 則這個一次函數的解析式是 a y 2x 3b y x 3c y 2x 3d y x 3 2 2015 淄博 在直角坐標系中 一條直線經過a 1 5 p 2 a b 3 3 三點 求a的值 設這條直線與y軸相交于點d 求 opd的面積 一次函數與一次方程 一次不等式綜合問題 例3 1 2015 桂林 如圖 直線y kx b與y軸交于點 0 3 與x軸交于點 a 0 當a滿足 3 a 0時 k的取值范圍是 c a 1 k 0b 1 k 3c k 1d k 3 2 一次函數y kx b k b為常數 且k 0 的圖象如圖所示 根據圖象信息可求得關于x的方程kx b 0的解為 x 1 3 丹東模擬 如圖 過點 0 2 的直線l1 y1 kx b k 0 與直線l2 y2 x 1交于點p 2 m 寫出使得y1 y2的x的取值范圍 求點p的坐標和直線l1的解析式 點評 一次函數y kx b 當y 0 則kx b 0 得到一元一次方程 當y 0 則有kx b 0 得到一元一次不等式 兩條直線的交點坐標 就是由這兩條直線相對應的一次函數解析式所組成的二元一次方程組的解 對應訓練 3 1 錦州模擬 如圖 一次函數y1 x b與一次函數y2 kx 4的圖象交于點p 1 3 則關于x的不等式x b kx 4的解集是 a x 2b x 0c x 1d x 1 c 3 2015 泰州 已知一次函數y 2x 4的圖象