專題講座二 從高次代數方程和求根公式到伽羅華理論 根據古埃及的草片文書記載 早在公元前 1700 年左右 人們就發現 當 a 0 時 ax b 有根 x b a 隨著歲月的流逝 數學的發展 到了公元前幾世紀 巴比倫人實際上已經使 用過配方法得知0 2 cbxax 當 a 0 時 有根 acbb a x4 2 1 2 當時 人們只承認現在稱之為正實根才是根 零 負數 無理數和復數的概念和理論遲 至十六世紀到十八世紀才得到承認并逐步完善 根據巴比倫文書記載 當時已解決了二次方 程 b x x 1 得出的解答是 1 22 2 bb x 這就促使人們進一步思考 是否對于任意次數的方程都能找到這種求根公式 尋找三次 方程的求根公式 經歷了二千多年的漫長歲月 直到十六世紀歐洲文藝復興時期 才由幾個 意大利數學家找到 這就是通常據說的卡丹 Cardan 1501 1576 公式 其原始想法是 在 0 3 cbxaxx 中作變量代換 3 a yx 后把方程化為 qpyy 3 1 它不再含有平方項了 設 33 nmy 這里 m 和 n 是兩個待定的數 則有 pyqmnynmy 3 3 如果取 m n 滿足 3 3 p mnqnm 則對應的 y 值必滿足 1 式 另一方面 由 3222 27 4 4 pqmnnmnm 可得 32 27 4 pqnm 所以 當取 32 32 27 1 4 1 2 1 27 1 4 1 2 1 pqqn pqqm 時 并令 33 nm 就得原三次方程的一個根 3 1 x 它的另兩個根是 3 2 2 wwx 3 2 3 wwx 這里 31 2 1 31 2 1 2 iwiw 其中1 i 是01 3 x的兩個不是 1 的根 在三次方程求根公式發明過得中 有一個十分有趣的故事 四百多年前 意大利盛行數 學競賽 競賽的一方是菲俄 Fior 十六世紀前半葉 他是意大利波洛那 Bologna 數學 學會會長費羅 Ferro 1465 1526 的學生 另一方面是威尼斯的數學教授塔爾塔里亞 Taritalia 1500 1557 他小時候就受傷后 口吃 從小學拉丁文 希臘文 酷愛數 學 與費羅一樣 對求解三次方程很有研究 在 1530 年 塔爾塔里亞曾解決了另一個挑戰 者科拉 Colla 提出的以下兩個三次方程求解問題 100086 53 2323 xxxxx 這引出了菲俄的不服 定于 1535 年 2 月 22 日在米蘭市大教堂公開競賽 雙方各出三十個三 次方程 結果塔爾塔里亞在兩個小時內解完 而菲俄卻交了白卷 1541 后 塔爾塔里亞得 到了三次方程的一般解法 準備在譯完歐幾里得和阿基米德的著作后 自己寫一本書公開他 的解法 此時 卡丹出場了 他再三乞求塔爾塔里亞給一首語句晦澀的詩 這首詩寫得很蹩 腳 但的確把解法的每一步驟都寫進去了 他本人說 本詩無佳句 對此我不介意 為記 這一規則 此詩堪作工具 卡丹在得到這一切后 卻背信棄義 于 1545 年把這一解法發表 在 大法 這本書中 并斷定塔爾塔里亞的方法是費羅的方法 這是與菲俄競賽時得知的 這引塔爾塔里亞的極大憤怒 并向卡丹宣戰 雙方各出 31 題 限定 15 于交卷 卡丹派他的 學生費拉里 Ferrari 1522 1565 應戰 結果 塔爾塔里亞在七天之內解出大部份題目 而費拉里五個月才交卷 僅解對了一題 塔爾塔里亞本想完成一部包含他的新算法在內的巨 著 可惜壯志未酬就與世長辭了 在三次方程的求解問題解決后不久 卡丹的仆人和學生費 拉里又得到了四次方程的求解方法 其主要思路是 對于四次方程 0 234 dcxbxaxx 2 引入參數 t 經配方化為 4 1 2 1 4 1 2 1 2 1 22222 dtxcatxtbataxx 3 容易驗證 2 與 3 是一樣的 為了保證 3 式右邊是完全平方 可令它的判別式 為 0 0 4 1 4 1 4 2 1 222 dttbacat 即選擇 t 是三次方程 04 4 2223 cbddatdacbtt 的任一根 把這個根作為 3 中的 t 值就有 2 2222 4 1 4 1 2 1 2 1 attbaxtaxx 把右邊移到左邊并分解因式得到兩個二次方程 0 4 1 2 1 4 1 2 1 222 attxtbaax 0 4 1 2 1 4 1 2 1 222 attxtbaax 這樣 就把求四次方程的根化為求一個三次方程和兩個二次方程的根 因此認為四次方 程的求解問題也解決了 既然有了這個突破 數學家們就以極大的興趣和自信致力于尋找五 次方程的求解方法 他們發現 對次數不超過四的方程 都能得到根的計算公式 每個根都 可用原方程的系數經過加減乘除和開方運算表出 我們把這件事簡稱為可用根號求解 于是 人們斷言 對于五次方程來說 也一定存在這種求根公式 關于這一點 當時的一些著名數 學家 如歐拉 Euler 1707 1783 范得蒙 Vandermonde 1735 1796 拉格朗日 Lagrange 1736 1813 魯菲尼 Rullini 1765 1822 和高斯 Gauss 1777 1855 等都曾深信不疑 因而都曾盡力尋找 但都以失敗告終 首先懷疑這種求根公式存在性的是拉格朗日 他透徹地分析了前人所得的次數低于五的 代數方程的求解方法 發現都可以作適當的變量代換化為求解某些次數較低的輔助方程 它 們被后人稱為拉格朗日預解式 然而對于五次方程按這種方法得到的輔助方程的次數卻升 到六次 于是此路不通 1771 年 拉格朗日發表長篇論文 關于方程的代數解法的思考 提出了這個懷疑 到了 1813 年 他的弟子 意大利的內科醫生魯菲尼終于證明了拉格朗日 所采用的尋找預解式的方法對于五次方程的確是失效的 早在 1801 年 高斯也意識到這個 問題也許是不能解決的 可是 包括拉格朗日在內都沒有給出 不存在性 的證明 第一個證明 高于四次方程不能用根號求解 的是挪威青年數學家阿貝爾 Abdl 1802 1829 他中學時就讀了拉格朗日和高斯關于方程論的著作 探討高次方程的求解問題 1824 1826 年 他寫出了 五次方程代數解法不可能存在 一文 但高斯看后說 太可 怕了 竟然寫出這樣的東西來 表示不理解力 阿貝爾在數學方面有很多獨創性的成就 在 當時未被重視 由于貧病交迫 1829 年 4 月 6 日死于結核病 年僅 27 歲 在他逝世前不久 曾把一些研究結果告訴勒讓得 Legendre 1752 1833 就在他離開人間的第三于 柏 林厭給他寄來了教授聘書 不過 魯菲尼和阿貝爾的證明畢竟是不很清楚的 甚至還有一些漏洞 阿貝爾并沒有給 出一個準則來判定一個具體數字系數的高次代數方程能否用根號求解 作為歷史 他們的功 績不容抹殺 但與不久以后出現的伽羅華的輝煌成就相比 就大為遜色了 伽羅華 Galois 1811 1832 是法國青年數學家 15 歲進入巴黎有名公立中學學習 偏愛數學 后來想進工科大學 兩次落榜只進一所代等的預備學校 此時 他專攻五次方程 代數解法 第一年寫了四篇文章 1828 年 17 歲的伽羅華寫了 關于五次方程的代數解法 問題 等兩篇論文送交法國科學院 但被柯西 Cauchy 1789 1875 遺失 后來 他又 把一篇文章送給傅利 Fourier 1768 1830 不久 傅利就去世了 也就不了了之 1831 年 伽羅華完成了 關于用根式解方程的可解性條件 一文 院士普阿松 Poisson 1781 1840 的審查意見卻是 完全不能理解 予以退回 伽羅華不幸因決斗受重傷于 1832 年 5 月 31 日離世 時年不滿 21 歲 在決斗前夜 他深知為女友決斗而死毫無意義 但又不甘示弱 當晚他精神高度緊張和極度不安 連呼 我沒有時間了 匆忙之中 把他關于方程論的發 現草草寫成幾頁說明寄給他的朋友 并附有如下一段話 你可以公開地請求雅可比 Jacobi 或高斯 不是對于這些定理的真實性而是對于其重要性表示意見 將來我希望有人會發現這 堆東西注釋出來對于他們是有益的 到了 14 年后的 1864 年 劉維爾 Liouville 1809 1882 在由他創辦的 純粹數學和應用數學雜志 上發表了伽羅華的部分文章 關于伽羅 華理論的頭一個全面而清楚的介紹是若當 Jordan 1838 1892 于 1870 年出版的 置 換和代數方程專論 一書中給出的 這樣 伽羅華超越時代的天才思想才逐漸被人們所理解 和承認 至今已成為一門蓬勃發展的學科 抽象代數學 伽羅華避開了拉格朗日的難以捉 摸的預解式而巧妙地應用了置換群這一工具 他不但證明了如下的一般代數方程 0 1 1 10 nn nn axaxaxa 當 n 5 時不可能用根號求根 而且還建立了具體數學系數的代數方程可用根號求解的 判別準則 并舉出不能用根號求解的數字系數代數方程的實例 這樣 他就透徹地解決了這 個長達二百多年來的時間使不少數學家傷腦筋的問題 不僅如此 伽羅華所發現的結果 他 的奇特思想和巧妙方法 現又成為全部代數的中心內容 在這一點上說 他作為抽象代數的 創造人之一是當之無愧的 他的貢獻決不限于解決代數方程根號求解的問題 隨著時間