數(shù)學(xué)解題方法之反證法和數(shù)學(xué)歸納法探討38講，我們對數(shù)學(xué)思想方法進行了探討，從第九講開始我們對數(shù)學(xué)解題方法進行探討。數(shù)學(xué)問題中，常用的數(shù)學(xué)解題方法有待定系數(shù)法、配方法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法等。反證法是“間接證明法”一類，是從反面的角度的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而得出矛盾。具體地講，反證法就是從反論題入手，把命題結(jié)論的否定當作條件，使之得到與條件相矛盾，肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。 在應(yīng)用反證法證題時，一定要用到“反設(shè)”，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。數(shù)學(xué)上證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，在高中數(shù)學(xué)中常用來證明等式成立和數(shù)列通項公式成立。一般地，在高中數(shù)學(xué)中證明一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題p(n），有如下步驟： （1）證明當n取第一個值n0時命題成立。n0對于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況； （2）假設(shè)當n=k（kn0，k為自然數(shù)）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。 綜合（1）（2），對一切自然數(shù)n（n0），命題p(n）都成立。結(jié)合2012年全國各地高考的實例探討反證法和數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：一、反證法的應(yīng)用：典型例題：例1：（對于數(shù)集，其中，定義向量集. 若對于任意，存在，使得，則稱x具有性質(zhì)p. 例如具有性質(zhì)p. （1）若2，且，求的值；（4分） （2）若x具有性質(zhì)p，求證：1x，且當n1時，1=1；（6分） （3）若x具有性質(zhì)p，且1=1，（為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項公式.（8分）【答案】解：（1）選取，則y中與垂直的元素必有形式。 ，從而=4。 （2）證明：取，設(shè)滿足。 由得，、異號。 1是x中唯一的負數(shù)，所以、中之一為1，另一為1。故1x。假設(shè)，其中，則。選取，并設(shè)滿足，即。則、異號，從而、之中恰有一個為1。若=1，則，矛盾；若=1，則，矛盾.=1。 （3）猜測，i=1, 2, , 。 記，=2, 3, , 。 先證明：若具有性質(zhì)p，則也具有性質(zhì)p。 任取，、.當、中出現(xiàn)1時，顯然有滿足。 當且時，、1。 具有性質(zhì)p，有，、，使得。從而和中有一個是1，不妨設(shè)=1，假設(shè)且，則。由，得，與矛盾。，從而也具有性質(zhì)p?，F(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：，i=1, 2, , 。當=2時，結(jié)論顯然成立。 假設(shè)時，有性質(zhì)p，則，i=1, 2, , ； 則當時，若有性質(zhì)p，則 也有性質(zhì)p，所以。 取，并設(shè)滿足，即。由此可得與中有且只有一個為1。 若，則，所以，這不可能； ，又，所以。 綜上所述，i=1, 2, , 。 【考點】數(shù)集、集合的基本性質(zhì)、元素與集合的關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法和反證法的應(yīng)用?！窘馕觥浚?）根據(jù)題設(shè)直接求解。 （2）用反證法給予證明。 （3）根據(jù)題設(shè)，先用反證法證明：若具有性質(zhì)p，則也具有性質(zhì)p，再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜測，i=1, 2, , 。例2：設(shè)a是由mn個實數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個數(shù)的絕對值不大于1，且所有數(shù)的和為零，記s(m，n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合。對于as(m，n)，記ri(a)為a的第行各數(shù)之和（1m），cj(a)為a的第j列各數(shù)之和（1jn）；記k(a)為r1(a),r2(a),rm(a),c1(a),c2(a),cn(a)中的最小值。（1）對如下數(shù)表a，求的值；110.80.10.31（2）設(shè)數(shù)表as（2,3）形如11cab1求的最大值；（3）給定正整數(shù)t，對于所有的as（2，2t+1），求的最大值。【答案】解：（1）由題意可知， 。（2）先用反證法證明：若，則，（無解）。同理可知。由題設(shè)所有數(shù)和為0，即，解得，與題設(shè)矛盾。易知當時，存在。的最大值為1。（3）的最大值為。首先構(gòu)造滿足的：，。經(jīng)計算知，中每個元素的絕對值都小于1，所有元素之和為0，且，。下面證明是最大值。若不然，則存在一個數(shù)表as（2，2t+1），使得。由的定義知的每一列兩個數(shù)之和的絕對值都不小于，而兩個絕對值不超過1的數(shù)的和，其絕對值不超過2，故的每一列兩個數(shù)之和的絕對值都在區(qū)間中. 由于，故的每一列兩個數(shù)符號均與列和的符號相同，且絕對值均不小于。設(shè)中有列的列和為正，有列的列和為負，由對稱性不妨設(shè)，則。另外，由對稱性不妨設(shè)的第一行行和為正，第二行行和為負?？紤]的第一行，由前面結(jié)論知的第一行有不超過個正數(shù)和不少于個負數(shù)，每個正數(shù)的絕對值不超過1（即每個正數(shù)均不超過1），每個負數(shù)的絕對值不小于（即每個負數(shù)均不超過）。因此，故的第一行行和的絕對值小于，與假設(shè)矛盾。因此的最大值為?！究键c】邏輯推理，反證法的應(yīng)用?！窘馕觥浚?）根據(jù)ri（a）為a的第i行各數(shù)之和（i=1，2），c j（a）為a的第j列各數(shù)之和（j=1，2，3）；求出|r1（a）|，|r2（a）|，|c1（a）|，|c2（a）|，|c3（a）|中的最小值可即為所求。 （2）用反證法證明。 （3）先構(gòu)造滿足的，用反證法證明是最大值。例3：已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列和滿足：，（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，且是等比數(shù)列，求和的值【答案】解：（1），。 。 。 數(shù)列是以1 為公差的等差數(shù)列。（2），。 。（） 設(shè)等比數(shù)列的公比為，由知，下面用反證法證明 若則，當時，與（）矛盾。 若則，當時，與（）矛盾。 綜上所述，。，。 又，是公比是的等比數(shù)列。 若，則，于是。 又由即，得。 中至少有兩項相同，與矛盾。 。 ?！究键c】等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，基本不等式，反證法?！窘馕觥浚?）根據(jù)題設(shè)和，求出，從而證明而得證。 （2）根據(jù)基本不等式得到，用反證法證明等比數(shù)列的公比。從而得到的結(jié)論，再由知是公比是的等比數(shù)列。最后用反證法求出。二、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：例1：（對于數(shù)集，其中，定義向量集. 若對于任意，存在，使得，則稱x具有性質(zhì)p. 例如具有性質(zhì)p. （1）若2，且，求的值；（4分） （2）若x具有性質(zhì)p，求證：1x，且當n1時，1=1；（6分） （3）若x具有性質(zhì)p，且1=1，（為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項公式.（8分）【答案】解：（1）選取，則y中與垂直的元素必有形式。 ，從而=4。 （2）證明：取，設(shè)滿足。 由得，、異號。 1是x中唯一的負數(shù)，所以、中之一為1，另一為1。故1x。假設(shè)，其中，則。選取，并設(shè)滿足，即。則、異號，從而、之中恰有一個為1。若=1，則，矛盾；若=1，則，矛盾.=1。 （3）猜測，i=1, 2, , 。 記，=2, 3, , 。 先證明：若具有性質(zhì)p，則也具有性質(zhì)p。 任取，、.當、中出現(xiàn)1時，顯然有滿足。 當且時，、1。 具有性質(zhì)p，有，、，使得。從而和中有一個是1，不妨設(shè)=1，假設(shè)且，則。由，得，與矛盾。，從而也具有性質(zhì)p。現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：，i=1, 2, , 。當=2時，結(jié)論顯然成立。 假設(shè)時，有性質(zhì)p，則，i=1, 2, , ； 則當時，若有性質(zhì)p，則 也有性質(zhì)p，所以。 取，并設(shè)滿足，即。由此可得與中有且只有一個為1。 若，則，所以，這不可能； ，又，所以。 綜上所述，i=1, 2, , 。 【考點】數(shù)集、集合的基本性質(zhì)、元素與集合的關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法和反證法的應(yīng)用。【解析】（1）根據(jù)題設(shè)直接求解。 （2）用反證法給予證明。 （3）根據(jù)題設(shè)，先用反證法證明：若具有性質(zhì)p，則也具有性質(zhì)p，再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜測，i=1, 2, , 。例2：函數(shù)。定義數(shù)列如下：是過兩點的直線與軸交點的橫坐標。（1）證明：；（2）求數(shù)列的通項公式?！敬鸢浮拷猓海?），點在函數(shù)的圖像上。 由所給出的兩點，可知，直線斜率一定存在。直線的直線方程為。令，可求得，解得。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當時，滿足，假設(shè)時，成立，則當時，由得，即，。也成立。綜上可知對任意正整數(shù)恒成立。下面證明：，由得，。即。綜上可知恒成立。