一階線形微分方程解的存在唯一性定理的證明摘要:從分析方法入手,來證明滿足初值條件下一階線形微分方程解的存在唯一性定理的證明.引言:我們學(xué)習(xí)了能用初等解法的一階方程的若干類型,但同時(shí)知道大量的一階方程是不能用初等解法求出它的通解,而實(shí)際問題中所需要的往往是要求滿足某種初始條件的解,因此對(duì)初值問題的研究被提到重要地位,自然要問:初值問題的解是否存在?如果存在是否唯一?首先,我們令f(x,y)=p(x)y+q(x) 這里f(x,y)是在矩形域 R:上的連續(xù)函數(shù).函數(shù)f(x,y)稱為在R上關(guān)于y滿足利普希茲條件,如果存在常數(shù)L0使不等式 對(duì)于所有的 都成立,L稱為利普希茲常數(shù)下面我們給出一階線形微分方程(1)解的存在唯一性定理:如果f(x,y)=p(x)y+q(x)在R上連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茲條件,則方程(1)存在唯一的解,定義于區(qū)間上,連續(xù)且滿足初始條件: 這里 我們采用皮卡的逐步逼近法來證明這個(gè)定理,為了簡(jiǎn)單起見,只就區(qū)間來討論,對(duì)于的討論完全一樣.現(xiàn)在簡(jiǎn)單敘述一下運(yùn)用逐步逼近法證明定理的主要思想,首先證明求微分方程的初值問題的解等價(jià)于求積分方程 的連續(xù)解這里我們用f(x,y)=p(x)y+q(x)來替代,因此也就等價(jià)于求積分方程 的連續(xù)解,然后去證明積分方程的解的存在唯一性.任取一個(gè)連續(xù)函數(shù) 代入上面的積分方程右端的y就得到函數(shù) 顯然也是連續(xù)解,如果那么就是積分方程的解.否則,我們又把代入積分方程右端的y得到 如果 ,那么就是積分方程的解,否則我們繼續(xù)這個(gè)步驟.一般地做函數(shù) (2)這樣就得到連續(xù)函數(shù)序列,如果那么就是積分方程的解,如果始終不發(fā)生這種情況,我們可以證明上面的函數(shù)序列有一個(gè)極限函數(shù)即 存在因此對(duì)(2)取極限就得到 = =即 這就是說是積分方程的解,這種一步一步地求出方程的解的方法就成為逐步逼近法,由(2)所確定的函數(shù)稱為問題(1)的n次近似解,在定理的假設(shè)條件下以上步驟是可以實(shí)現(xiàn)的下面我們分四個(gè)命題來證明這個(gè)定理.命題1,設(shè)是一階線形微分方程(1)的定義于區(qū)間上的,且滿足初始條件的解,則是積分方程()的定義于上的連續(xù)解,反之亦然.因?yàn)槭且浑A線形微分方程(1)的解故有 兩邊從到x取定積分得到 把代上式,即有 因此, 是積分方程定義于上的連續(xù)解反之如果是積分方程的連續(xù)解,則有 (3)微分之,得到 又把代入(3)得到因此是方程(1)的定義于 上且滿足初始條件的解.命題1證畢.現(xiàn)在取,構(gòu)造皮卡逐步逼近函數(shù)序列如下: (n=1,2,)(4)命題2 函數(shù)序列在上是一致收斂的證明:我們考慮級(jí)數(shù) (5)它的部分和為=因此,要證明序列在上一致收斂,只需證明級(jí)數(shù)(5)在上一致收斂.為此,我們進(jìn)行如下估計(jì).由(4)有 (6)及 利用利普希茲條件及(6)得到 =設(shè)對(duì)于正整數(shù)n,不等式 成立,則有利普希茲條件,當(dāng)時(shí),有 于是,由數(shù)學(xué)歸納法得知,對(duì)于所有的正整數(shù)k,有如下的估計(jì) (7)從而可知,當(dāng)時(shí) (8)(8)的右端是正項(xiàng)收斂級(jí)數(shù) 的一般項(xiàng),由維爾斯特拉斯判別法級(jí)數(shù)(5)在上一致收斂,因而序列也在上一致收斂,命題2證畢.命題3 是積分方程(2)的定義于上的連續(xù)解.證明: 由利普希茲條件以及在上一致收斂于,即知序列 在上一致收斂于.因而對(duì)于(4)兩邊取極限,得到 =即 這就是說是積分方程(2)的定義于上的連續(xù)解.命題3證畢.命題4 設(shè)是積分方程(2)的定義于上的一個(gè)連續(xù)解,則 , 證明:我們首先證明也是序列的一致收斂極限函數(shù).為此,從 (n=1,2,) 我們可以進(jìn)行如下估計(jì) 現(xiàn)設(shè),則有 故有數(shù)學(xué)歸納法得知,對(duì)于所有的正整數(shù)n,有下面的估計(jì)式 (10)