正比例和反比例一、本周主要內容正比例和反比例二、本周學習目標1. 使學生結合實際情境認識成正比例和反比例的量，能根據正、反比例的意義判斷兩種相關聯的量是否成正比例或反比例。2. 使學生初步認識正比例的圖像是一條直線，能利用給出的具有正比例關系的數據在方格紙上畫出相應的直線，能根據具有正比例關系的一個量的數值看圖估計另一個量的數值。3. 使學生在認識成正比例、反比例的量的過程中，初步體會數量之間相依互變的關系，感受有效表示數量關系及其變化規律的不同數學模型，進一步提升思維水平。4. 使學生進一步體會數學與日常生活的密切聯系，增強探索數學知識和規律的意識，養成積極主動地參與學習活動的習慣，提高學好數學的信心。三、考點分析1. 兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們之間的關系叫做正比例關系。如果用字母和分別表示兩種相關聯的量，用表示它們的比值，正比例關系可以用這樣的式子來表示： = K（一定）。2. 用“描點法”可以得到正比例的圖像，正比例的圖像是一條直線。對照圖像，能根據一種量的值，估計另一種量相對應的值。3. 兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應的兩個數的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們之間的關系叫做反比例關系。如果用字母和分別表示兩種相關聯的量，用表示它們的積，反比例關系可以用這樣的式子來表示： = K（一定）。4. 兩個變量的比值一定，這兩個變量成正比例；兩個變量的積一定，這兩個變量成反比例；沒有上述兩種關系，這兩個變量不成比例?！镜湫屠}】例1、（正比例的意義）一列火車行駛的時間和路程如下表。這兩種量有什么關系？時間/時123456路程/千米120240360480600720分析與解：（1）從上表可以看出，表中有時間和路程兩種量。（2）從左往右看，時間擴大，路程也擴大；從右往左看，時間縮小，路程也縮小。所以它們是兩種相關聯的量。（3）路程和時間的比值始終不變， = 120， = 120， = 120這個比值就是火車的行駛速度。通過觀察和計算，我們對路程和時間的關系有兩點發現：第一點路程和時間是兩種相關聯的量，也就是時間變化，路程也隨著變化；第二點路程和對應的時間的比的比值（也就是速度）是一定的，有這樣的關系： = 速度（一定）。具備了這兩個條件，我們就可以得到結論：行駛的路程和時間成正比例關系；行駛的路程和時間成正比例的量。點評：判斷兩種量是不是成正比例，分三步：一看它們是不是相關聯的兩種量；二是看一種量變化，另一種量是不是也隨著變化；滿足了前面兩個條件，再看它們的比值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母和分別表示兩種相關聯的量，用表示它們的比值，正比例關系可以用這樣的式子來表示： = K（一定）。例2、（判斷是否成正比例）練習本的單價一定，買練習本的數量和總價是不是成正比例？為什么？分析與解：根據正比例的意義，看兩個變量的比值是否一定，如果兩個變量的比值一定，那么這兩個變量就成正比例，反之，則不成正比例。買練習本的數量和總價是兩種相關聯的量，它們與練習本的單價有下面的關系： = 練習本的單價（一定）所以練習本的數量和總價成正比例。例3、（正比例的圖像）磁懸浮列車勻速行駛時，路程與時間的關系如下。時間/分123456 7路程/千米7142128354249（1）圖中的點A表示時間為1分鐘時，磁懸浮列車駛過的路程為7千米。請你試著描出其他各點。（2）連接各點，它們在一條直線上嗎？（3）根據圖像判斷，列車運行2分半鐘時，行駛的路程是多少千米？行駛30千米大約需要幾分鐘？ 路程/千米42 35 28 21 14 7 A0 1 2 3 4 5 6 7 時間/分分析與解：根據提供的各組數據描出圖像的許多個點，再依次連成直線。路程和時間相對應的數的比值都是7，即速度一定，路程和時間成正比例，圖像是一條直線。對照圖像，可以根據時間的值估計出路程的值，也可以根據路程的值估計出時間的值，估計時允許有一定的出入。（1）描點、連線如圖。 路程/千米42 35 28 21 14 7 A0 1 2 3 4 5 6 7 時間/分（2）在一條直線上，因為路程和時間成正比例，正比例的圖像是一條直線。（3）根據圖像，列車運行2分半鐘時，行駛的路程是17.5千米；行駛30千米大約需要4.3分鐘。例4、（辨析）圓的周長和直徑成正比例，圓的面積和半徑成正比例？分析與解：圓的周長和直徑成正比例，而圓的面積和半徑卻不成正比例。可列表判斷。半徑/cm123456直徑/cm24681012周長/cm6.2812.5618.8425.1231.437.68面積/cm3.1412.5628.2650.2478.5113.04圓的周長和直徑的相對應的數的比值都是3.14，所以圓的周長和直徑成正比例。而圓的面積和半徑的相對應的數的比值是變化的，所以圓的面積和半徑不成正比例。圓的周長和直徑成正比例，圓的面積和半徑卻不成正比例。例5、（反比例的意義）下表是王師傅加工一批零件時，每小時加工零件個數隨時間變化的情況。這兩種量有什么關系？每小時加工零件的個數/個20304060 80加工的時間/時128643分析與解：（1）從上表可以看出，表中有每小時加工零件的個數和加工的時間兩種量。（2）從左往右看，每小時加工零件的個數擴大，加工的時間反而縮?。粡挠彝罂?，每小時加工零件的個數縮小，加工的時間反而擴大。所以它們是兩種相關聯的量。（3）每小時加工零件的個數和相對應的加工的時間的積都始終不變，如20 12 = 240，30 8 = 240，40 6 = 240而這個積就是這批零件的總個數。通過觀察和計算，我們發現：每小時加工零件的個數和加工的時間是兩種相關聯的量，每小時加工零件的個數隨著加工的時間變化而變化，但無論它們怎么變化，相對應的積是一定的，有這樣的關系：每小時加工零件的個數 加工的時間 = 零件的總個數（一定）。所以每小時加工零件的個數和加工的時間成反比例的量，它們之間的關系叫做反比例關系。點評：判斷兩種量是不是成反比例，和正比例一樣，分三步：一看它們是不是相關聯的兩種量；二是看一種量變化，另一種量是不是也隨著變化；滿足了前面兩個條件，再看它們的乘積是否一定，進行判斷。不要省去任何一步。如果用字母和分別表示兩種相關聯的量，用表示它們的比值，正比例關系可以用這樣的式子來表示： = K（一定）。例6、（判斷是否成反比例）總產量一定，每公頃的產量和公頃數是不是成反比例？為什么？分析與解：根據反比例的意義，看兩個變量的乘積是否一定，如果兩個變量的積一定，那么這兩個變量就成反比例，反之，則不成反比例。每公頃的產量和公頃數是兩種相關聯的量，它們與總產量有下面的關系：每公頃的產量 公頃數 = 總產量（一定）所以每公頃的產量和公頃數成反比例。例7、（辨析）和一定，一個加數和另一個加數成反比例。分析與解：判斷兩個變量是否成反比例，關鍵是看兩個變量的乘積是否一定。很明顯，和一定，兩個加數的積是變化的，所以它們不成反比例。和一定，一個加數和另一個加數不成反比例。因為它們的積不一定。點評：有些相關聯的量，雖然也是一種量變化，另一種量也隨著變化，但它們不是積一定，也不是比值一定，它們就不成比例。像這樣的還有：人的跳高高度和身高；減數一定，被減數和差等。例8、（綜合題1）（1）長方形的面積一定，長和寬成反比例嗎？為什么？（2）長方形的周長一定，長和寬成反比例嗎？為什么？分析與解：判斷時可以用列表的方式列舉數據，也可以根據計算的公式來推導。（1）因為長方形的長 寬 = 長方形的面積（一定），所以長和寬成反比例。（2）長方形的周長 = （長+寬） 2 ，長方形的周長一定，長+寬的和一定，但不是積一定，所以長和寬不成反比例。例9、（綜合題2）分別說明大米的總千克數、每天吃的千克數和天數這三種量中，每兩種量的比例關系。（1）大米的總千克數一定，每天吃的千克數和天數；（2）每天吃的千克數一定，大米的總千克數和天數；（3）天數一定，大米的總千克數和每天吃的千克數。分析與解：在大米的總千克數、每天吃的千克數和天數這三種量中，當某一種量一定時，另外兩種量可能