1 2 數學通報2 0 1 4 年第5 3 卷第1 2 期 追求自然連貫的數學教學過程 渠東劍 江蘇省南京市秦淮區教學研究室2 1 0 0 0 1 1 問題的提出 三角函數是刻畫現實世界中周期現象的數學 模型 是基本初等函數之一 是高中數學的傳統而 重要的內容 任意角的三角函數是三角函數的基 礎 是高中數學的核心概念之一 其教學具有重要 意義 由于 任意角的三角函數的定義已超出學生 的知識經驗基礎 1 其建立的過程較為漫長 需 要歷經多個環節 突破諸多障礙 教學面臨變數與 挑戰 因而倍受人們的關注 對該課題教學的研究 也達到了一定的深度 例如 該課題時常作為研 究課 評優課的課題 也見到較多的專題研究文 章 但在教學實踐中 仍存在一些困惑需要澄清 一些思考值得交流 筆者認為 在教學過程中 追求自然連貫的數 學活動過程是一個重要目標 就任意角的三角函 數概念的教學實踐看 在概念建立的探究過程中 可能仍存在著數學活動不自然 教學 強加于人 的現象 一些相關文獻也許還沒有很好地解決這 一問題 甚至本身存在著不自然的現象 當然這些 現象的產生有其方方面面的原因 有些不易為我 們所察覺 因而解決這些問題并不太容易 這里 筆者試圖分析本課教學內容 反思教學可能存在 的不自然現象 以追求自然連貫 2 的教學過程為 努力方向 就 終邊定義法 建立任意角的三角函 數的概念 給出自己的教學設計構想 2 本課的起點思考 從本課教學的知識基礎 數學思想方法的學 習 數學探究方法的借鑒與應用 數學探究活動的 組織 研究數學對象的一般套路 概念教學過程中 的育人價值等角度進行思考 1 函數的概念 任意角的三角函數 其關鍵 詞 任意角 三角 函數 中 可能 函數 最為 本質和重要 任意角的三角函數 是一個典型而重 要的函數模型 其研究的一般過程與方法 應在函 數研究的大背景下 應用研究函數的一般套路去 研究 正如之前的指數函數 對數函數與冪函數一 樣 因此 函數的概念是本課的重要基礎 具體到 概念的建立 就要用 對應說 函數的概念 去認識 理解任意角的三角函數的概念 即要學生認識到 它是數 其意義是角 到數 坐標的比值 的對應 映射 2 任意角的概念 這是最直接的基礎知識 由于任意角的概念剛剛學習過 作為建立概念的 知識基礎之一 對學生而言應該沒有什么困難 但 是 理解任意角的意義 特別從描述旋轉運動的意 義理解 對建立任意角的三角函數的概念可能是 重要的 某種意義下 任意角產生的背景就是描述旋 轉運動的需要 三角函數就是刻畫勻速圓周運動 的不變量 即研究勻速圓周運動的規律 進一步 地 三角函數是研究周期現象的數學模型 試想 大海的潮汐現象可以用三角函數刻畫 但其中哪 還有角的蹤影 可否這樣理解 任意角的三角函 數的研究始于角 但其本質與意義遠遠超出角的 范疇 是一般函數意義下的重要函數模型 3 初中直角三角形中的銳角三角函數 這是 本課重要的知識生長點與固著點 銳角是任意角 的特例 銳角三角函數也應當是任意角的三角函 數的特例 從這個意義上說 任意角的三角函數是 銳角三角函數的推廣 如此 我們也許可以認為 銳角三角函數的概念 符號s i n 口 c o s 口 t a n 口是 本課的基礎 也是本課的起點 但是 筆者的教學 本文是江蘇省教研室第七期教學研究課題 新課程背景下農村高中數學教師專業發展行動研究 后續研究成果 萬方數據 2 0 1 4 年第5 3 卷第1 2 期數學通報 1 3 實踐似乎表明 在當下學生的潛意識里 銳角三角 函數離不開直角三角形 是 邊長 長度 的比 其 主要作用是解直角三角形 他們還未清楚地認識 到 銳角三角函數值只與角有關 甚至沒有意識 到它就是函數 變化過程中的自變量的對應關 系 事實上 直角三角形中的銳角三角函數 一定 意義下是 三角 即刻畫直角三角形中的邊角關 系 屬靜態下的數量關系 其作用主要是解直角三 角形 與函數意義下的銳角三角函數是不一樣的 這里的銳角三角函數是以數 意義是角 取值范圍 是 o 詈 為自變量 對應法則是比值 可構造直 厶 角三角形 進而得邊長的比值 的函數 從這一點 說 任意角的三角函數不能認為是初中直角三角 形中的銳角三角函數的直接推廣 換言之 要完成 這樣的推廣過程 中間還有很多工作要做 其中 讓學生建立函數意義下的銳角三角函數概念可能 是承上啟下的關鍵之舉 4 圖形的相似 用 終邊坐標法 定義任意角 的三角函數 必須要說明 比值 與坐標 也就是 點 的選擇無關 比值被終邊位置所確定 進而被 角所確定 這是定義的本質所在 是建立概念的關 鍵步驟 也是下一步 用單位圓認識三角函數定 義 的基礎 這些問題的處理與解決 離不開直角 三角形的相似 當然 這里只要求直角三角形的相 似及其性質 對學生而言并無困難 5 圓 主要是單位圓的建立及其應用 所涉 及到的圓的性質是基本的 如果通過 摩天輪情 境 引入課題 還會有圓的影子在其中 那么怎樣 利用圓的性質 如何讓圓在恰當的時機退避幕后 凸顯三角函數定義的本質 也是不容忽視的問題 6 建立數學概念的過程與方法 概念 特別 是核心概念 要把 認識數學對象的基本套路 作 為核心目標之一 3 1 如前所述 建立任意角的三 角函數概念 需要經過 漫長 的過程 突破一系列 障礙 學生已有的經歷經驗就顯得十分重要了 建 立數學概念模型的過程與方法 具體到這里 建立 函數模型的過程與方法 理解建立概念的必要 性與合理性 突出概念的本質 概念推廣的一般 方法 過程與意義把握 等 7 學生探究學習的經驗 由于三角函數被安 排在必修4 模塊 此前學生已經歷了高中數學較 長時間 較多內容的學習 積累了一定的探究學習 經驗 其認知的知識基礎與理性思維達到了一定 的水平 這將為本課的探究學習提供良好的基礎 3 教學可能存在 不自然 的節點分析 筆者認為 教學應以 數學知識發生發展的過 程和理解數學知識的心理過程為基本線索 2 讓知識自然地從學生的頭腦中流淌出來 從構建 自然連貫的學習過程出發 在任意角的三角函數 概念的教學過程中 以下幾點可能是需要我們思 考并用心而為之的 或者說 處理不好這幾點 可 能會造成學生學習不自然 教學強加于人 概念教 學育人價值打折扣的現象 3 1 情境設置不自然 情境設置是課題的引入 教學的起點 也是學 生明確探究目標 產生學習傾向的基礎 更是讓學 生自然地進人探究活動中去的前提 根據筆者的 了解 課題的引入常見以下4 種形式 但都可能存 在不自然的嫌疑 1 照搬教材 蘇教版 情境 從復習 銳角三 角函數的定義 出發 即復習初中 直角三角形中 的銳角三角函數 然后把直角三角形放人坐標系 中 類比 邊長比 把邊長比換成 坐標比 圖形 在第一象限 剛好坐標是都是正的 很容易換過 來 形成坐標比形式下的 銳角三角函數的定義 再推廣到任意角的情形 其可能的 不自然 之處 是 為什么要把直角三角形放到坐標系中 為什 么要照那樣的位置放 怎么想到的 似乎沒有恰 當的緣由 解決不好這些銜接過渡的細節問題 學 生只能被動地跟著教師走 走一步看一步 茫然而 被動 2 類比引入新的問題 先復習銳角三角函 數的求值 如求s i n3 0 c o s4 5 s i n7 8 的值 它們 要么是特殊角 要么可以用計算器或查表求值 然 后提出求諸如s i n1 5 0 c o s2 0 0 的值的問題 從而 引出研究任意角的三角函數問題 這里 對于非銳 角的三角函數 學生還未學習 從知識的邏輯關系 上講 學生還不知道s i n1 5 0 c o s2 0 0 為何物 怎 能提出能不能 求值 的問題呢 這樣可能存在邏 輯混亂的錯誤 3 從 旋轉運動 的研究引入 從旋轉運動 周而復始 提出刻畫旋轉運動或周期現象的數學 萬方數據 1 4 數學通報 2 0 1 4 年第5 3 卷第1 2 期 模型問題 這一點確實是觸及到了任意角的三角 函數的本質 有利于明確學習的目標 理解建立概 念的意義 但筆者認為 問題可能太過抽象與專 業 離學生認知的起點太遠 問題產生突然 缺乏 必要的鋪墊 為什么要用函數模型刻畫周期現象 為什么三角函數是刻畫周期現象的重要數學模 型 未來要建立怎樣的函數 問題遠離學生 最近發展區 就可能曲高和寡 而且 回到 初中 直角三角形中的銳角三角函數 將存在著從坐標 系回到平面圖形的反向順序 也會給學生的認知 造成一些負面影響 4 摩天輪情境 從學生熟悉的現實生活 情境出發 產生有意義的實際問題 并從中引出刻 畫圓周上一點位置的兩種表示形式 r 口 與 z 了 進而提出要探究二者之間的關系的問題 筆 者認為 選擇該情境引入課題 背景熟悉 親切自 然 后續探究進展順暢 例如 提出的問題本身就 已在坐標系中 利用直角坐標系作為研究工具 自 然而然 回到直角三角形中的銳角三角函數也有 恰當的時機和自然的途徑 后面筆者將給出詳細 的分析 筆者傾向于此種情境引入 可能的不足是 由 摩天輪情境到提出點的位置問題 進而引出兩種 不同的刻畫形式 口 與 z y 其過程可能會較 為曲折與 漫長 要建立恰當的平面直角坐標系 以摩天輪中心為坐標原點較合適 而實際問題情 形中位置的描述 高 與這樣建立的坐標系中的縱 坐標并不一致 從而 厘清其中的關系 并用符號 語言表達所要研究的問題 需要較長的過程 較多 的時間成本 等 就 摩天輪情境 的探究過程 筆者再作如下 探討 指出其可能存在的不自然現象 3 2 坐標比下的銳角三角函數形成太匆忙 前文已述及 直角三角形中的銳角三角函數 的概念一定要出場 但何時出場合適 就是要看 是否是自然的出場 由學生較為自然地聯想回 憶 即使教師事前復習 打好 先行組織者 的鋪 墊 也要在數學活動的過程中 讓學生把它請出 來 而不是教師拋出來 更不應該似從天而降 由直角三角形中的銳角三角函數直接給出坐 標比形式的銳角三角函數定義 也是不自然的 中 間跳了好多步 從學生的認知心理看 教師不可 忽視學生 銳角三角函數 的知識基礎對 任意角 的三角函數 學習的負面影響 1 前文已說明 直角三角形中的銳角三角函數 與當前函數意義 下 坐標比形式表示的銳角三角函數并不是一回 事 中間有一個把邊長 長度 比發展為坐標 意味 著有符號 比的過程 在坐標系的背景下 用坐標 系這個工具研究 r 口 與 z y 的關系時 需要由 邊長比過渡到坐標比 在這個過程中 需要學生產 生主動過渡的探究傾向 理解這樣的過渡是必要 的 有意義的 合理的與可行的 其間學生的心理 順應過程是 漫長而曲折的 完成這樣的過程不 是一蹴而就的 3 3 由銳角情形到任意角情形的 推廣 過于簡 單化 同樣地 得到由坐標比形式表示的銳角三角 函數定義s i n 口 上 c o s 口 蘭 t a n 口一上 口為銳 l 工 角 后 用類比的方法 形式化地 馬上 推廣 給出 任意角的情形 即直接拋出任意角的三角函數定 義 也是不合適的 因為它跳過了必要的 重要的 探究過程 是不自然不合情理的 為什么對任意角 也要用這三個比值來定義呢 其必要性合理性在 哪里 這有必要引導學生思考 首先 從系統地研究數學對象的需要出發 從 本課目標任務分析 本課的任務是什么 建 立針對口為任意角的 口 與 z 3 的關系 已經 借鑒直角三角形中的銳角三角函數定義 研究了 口為銳角時的情形 建立了坐標比形式表示的銳 角三角函數的定義 接下來要干什么呢 還 有除口為銳角以外的情形沒有研究 繼續探究 其余 的情形 探究的任務與方向不就顯而易見 了嗎 其次 怎樣研究呢 既然要研究口為任意角 的情形 那么 研究的結果應當包括口為銳角的情 形 這就是要把已有的口為銳角時的研究結果加 以推廣 怎樣推廣呢 推廣是立足于原有基礎的 推廣 是 事物 的再擴大 這樣可以預見 即將 要建立的口為任意角情形下的 r 口 與 z y 的關 系 當口為銳角時就應是剛剛建立起來的 坐標比 形式下的銳角的三角函數 于是 推廣就有了基 礎 也有了方向 在此基礎上 自然會嘗試將s i n 口 詈 c o s 口 吾 t a n 口 罟作為口為任意角時的 2 c o s 口2 一 t a n 口2 作為口為仕葸角時的 rrZ 一 一 萬方數據 2 0 1 4 年第5 3 卷第1 2 期數學通報 1 5 r 口 與 z y 關系 接下來則需要驗證 這些關 系符合函數的定義 稱它們為任意角的三角函數 名符其實 這樣也就把任意角的三角函數統一到 函數下了 這些關系式刻畫了 r 口 與 z y 的關 系 解決了本課開頭提出的問題 再通過 考查特 例 方式研究終邊落在坐標軸上的情形 特別是落 在3 軸上時正切不存在 至此 完成了任意角的三 角函數的概念建構的全過程 再次 為了做好由 銳角 情形到 任意角 情 形的推廣 必須把推廣的準備工作做到家 坐標比 意義下的銳角三角函數定義搞清楚了嗎 它是函 數意義下的三角函數嗎 是的 這個函數以 數 意義為角 取值范圍 定義域 為fo 詈 為自 厶 變量 對應法則是點的坐標的比值 與點的選擇無 關 被角 表現形式是數 所確定 這里 還可能需 要明確角的單位是弧度 以突出建立的關系是數 到數的對應 當然要恰當把握其探究的度 基于上述分析 任意角的三角函數的教學 既 是概念教學 又是建立數學模型 建構需要 漫長 的探究過程 歷經多個環節 這些環節構成連貫的 線性邏輯關系 正是在這樣的過程中 發展學生的 認知力 教學生學習數學研究的一般方法 教學生 學會思考 從而實現數學育人的價值 如果人為地 縮短過程或打破這樣的程序結構 教學過程中必 然會發生教學不自然 學生心理體驗與認知不到 位的現象 4 教學設計構想 基于上述分析 針對 任意角的三角函數 的 教學 筆者就 終邊定義法 的教材安排 選擇 摩 天輪情境 引入 給出教學設計構想 筆者試圖厘 清其間的邏輯順序與結構 努力突出學生的主動 探究 知識產生的自然 數學探究活動的順暢 這 里 筆者用如下框圖 圖1 表示教學路線圖 并就 幾個節點作出說明 1 給出勻速旋轉的摩天輪情境 提出坐在 座艙里的一個人的位置描述的問題 引導學生恰 當建立平面直角坐標系 以摩天輪中心為坐標 原點 借助于坐標系研究 并回顧任意角的意義 得到兩種可能的描述形式 r a 與 z 3 f 把實際 問題轉化為數學問題 進而提出在坐標系下探究 r 口 與 z y 的關系的問題 情境 l 垂副蕊霪H 囊羚籌 圈l 2 直接就任意角的情形探究是困難的 學 生很難獨立完成探究過程 需要教師啟發引導 首 先 遇到新問題怎么辦 如果問題比較復雜 該從 哪里切入呢 讓學生萌發從 簡單開始 的念 頭 其次 對任意角而言 簡單情形是什么呢 銳角 即當口為銳角時的情形 進而引導學生 形成先研究 口為銳角情形 的方案 此時問題轉 化為 先研究口為銳角 時 r a 與 z y 的關 系 再次 你打算怎樣研 究呢 具體要探究 當a 為銳角時 r 口 z y 是什么 有何意義 引導 學生自己畫圖 如圖2 f 晰 i i y 口r D xMx 圖2 此時直角三角形 0 M P 自然 浮出水面 初中直角三角形中的銳 角三角函數也隨之而來 對新知識的探究自然回 到已有的基礎起點 3 在圖2 中 從 它是什么 出發 不難看出 橫 縱坐標即為直角三角形o M P 的兩直角邊 o M M P 的長 再分析口 r 的意義 直角三角形中 的邊角關系 初中 直角三角形中的銳角三角 函數 的出場自然而然 直接遷移過來 容易得到 關系式s i n 口一上 c o s 口 蘭 t a na 上 再探究這 fl工 一組關系式 回答了 口為銳角時 的問題 它 們是函數 因為符合函數的定義 結果與P 點 選擇無關 這樣就得到了函數意義下的 坐標比形 式的銳角三角函數 雖然此時角仍為銳角 其終邊 在第一象限 但研究已 離開 了 直角三角形 邊 長比 建立了以終邊上點的坐標來定義的三角 函數 接下去的 角口的終邊在其它位置 的研究 萬方數據 1 6數學通報2 0 1 4 年第5 3 卷第1 2 期 也就自然展開了 4 前文已及 面對本課研究的目標任務 已 經解決了特殊情形下 口為銳角 的問題 尚有a 不是銳角的情形下的問題沒有解決 怎樣解決呢 任意角與銳角有何關系呢 要把結果推廣到 口為任意角的情形中去 如何推廣呢 怎樣定義 才是合適的呢 猜想用s i na 一手 c sa 一 三 t a n 口一上 z O 來定義可能是合適的 接下 工 來依然要探究 這樣的猜想是合理而有意義的 它們是函數 因為符合函數的定義 結果與P 點選擇無關 回答了提出的問題 前文已詳述 5 回顧探究過程 綜合研究成果 明確回答 問題 分析用s i n 口一上 c o s 口一土 t a n 口一上 z I TZ o 來描述 r 口 z y 的關系 是可能的 合理 的 有意義的 首先要考察特例 即當口為銳角時 它就是剛剛建立的銳角三角函數關系 其次 要思 考并理解這里用坐標比表示任意角的三角函數 其結果更具一般性與先進性 因為它把問題放在 了坐標系中討論 它回答了本課的問題 它是 對 應說 函數意義下的函數 至此 給出 任意角的三 角函數 的定義 完成概念建構的全過程 也許是 水到渠成 自然而然的了 參考文獻 1 連春興 過程 與 結論 應該并重的一個佐證 J 中學數學 教學參考 2 0 1 0 6 1 5 1 7 2 1 2 章建躍 構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考 J 數學 通報 2 0 1 3 6 5 8 封底 3 章建躍 中學數學課改的十個論題 J 中學數學教學參考 上 旬 2 0 l O 3 2 5 4 榘東劍 三維目標下的探究教學設計 J 數學通報 2 0 1 4 3 2 8 3 2 上接第7 頁 4 結束語 我國從2 0 0 3 年起動高中數學課程改革 到目 前已經進行了十余年的實踐 通過國際比較研究 來進一步深入研究高中數學課程 可以為新一輪 我國高中數學課程改革的推進提供更為豐富的研 究基礎 通過本文的研究 我們可以更為準確的把 握我們國家在函數內容的深度 廣度以及處理方 式上的一些特點 可以更加合理地提高函數各個 知識點的認知要求 同時也會更清楚地看到 雖