基本不等式題型歸納【重點知識梳理】1基本不等式：（1）基本不等式成立的條件：，（2）等號成立的條件：當且僅當時，等號成立2幾個重要的不等式：（1）（）； （2）（）；（3）（）； （4）（）3算術平均數與幾何平均數設，則的算術平均數為，幾何平均數為，基本不等式可敘述為兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數4利用基本不等式求最值問題已知，則（1）如果積是定值，那么當且僅當時，有最小值是（簡記：積定和最小）（2）如果和是定值，那么當且僅當時，有最大值是（簡記：和定積最大）題型一覽1、已知，且，則的最大值為，則的最小值為；2、已知，則的最小值為3、設，則函數的最大值為4、若，則的最小值為；若，則的最大值為5、若，則的最小值為；若，則的最大值為若函數在 處有最小值，則6、已知，且，則（）的最小值為，此時的值分別是7、已知，（或），則的最小值為8、已知，如果不等式恒成立，那么的最大值等于9、幾個分式的變形：（1）若，則函數的最小值是（2）已知 ，則函數的最小值為（3）函數的最小值為分析：變形得，當且僅當，即時取等號， 故函數的最小值為（4）已知，則的取值范圍是解：（5）設（）， 則的最大值為；（6）已知，則的最小值是（7）已知都是負實數，則的最小值是解：，10、（1）已知非負實數滿足，則的最小值為分析：因為 ，所以 ，即，因為非負實數，所以 ，所以 當且僅當，即，時取等號，所以 的最小值為（2）已知實數滿足，則的最小值為解：【法一】由題知，則【法二】令，（）則，由，可得，則，當且僅當時，等號成立11、（1）已知均為正實數，且，則的最小值為解：因為均為正實數，所以，可化為，即，所以故當且僅當時，取得最小值（2）已知均為正實數，則的最小值為解：因為均為正實數，所以， 12、（1）若正實數滿足，則的最大值是解：由，得， ，解得，得最大值為（2）設為實數，若，則的最大值是解：由得則13、若且，使不等式恒成立，則實數的取值范圍為A B C D分析：由， 得又由，選14、 若，且，則下列不等式恒成立的是（ ）A B C D分析：因為，利用基本不等式有，當且僅當時等號成立，錯；由得，錯；，當且僅當時，等號成立，正確；，當且僅當時等號成立，錯；綜上可知，選15、設正實數滿足，則當取得最大值時，的最大值為A B C D答案：由得， 則，當且僅當時等號成立，此時16、（2013天津理14）設，則當_時，取得最小值解：因為，所以，當時，；當時，當且僅當時等號成立因為，所以原式取最小值時.又，所以時，原式取