第二講 導數與微分1 導數的概念一、內容提要1 導數的定義：(1) 幾個等價形式(2) 存在與.(3) 函數在處右連續,且,則.函數在處左連續,且,則.2. 導數的幾何意義:-曲線在點的切線斜率.曲線在點的切線:曲線在點的法線: 3. 導數的物理意義: 如果表示物理量,則導數表示該量的變化率.如設-直線運動,則-時刻的瞬時速度,-時刻時的加速度.4. 可導與連續的關系函數在處,可導連續極限存在;反之,極限存在不一定連續,連續不一定可導.5微分的定義及性質：(1) 微分的定義: 若，則稱函數在點可微,稱為在點處的微分，記作，即.當是自變量時, .(2) 微分與導數的關系: 可微可導,且二、典型例題分析1.1導數概念 (常見題型：概念、切線與法線、可導性與連續性的討論)例1 單項選擇題(1) 設，則在處可導的充要條件是( ) (B) （A）存在； （B）存在；（C）存在； （D）存在.(2) 設可導，則是在處可導的( ). (A) (A) 充分必要條件 (B) 必要但非充分條件 (C) 充分但非必要條件 (D) 既非充分也非必要條件.(3) 設,則在內不可導點的個數是( ) (C)(A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 3.(4) 設，其中有界，則在處 ( ). （D） (A) 極限不存在； (B) 極限存在但不連續； (C) 連續但不可導； (D) 可導.例2 填空題(1) 設曲線在點處的切線與軸交點為,則 .(2) ,其導數在處連續,則的取值范圍是 .(3)已知，則 . ()注此處：.此例說明，用定義求某些函數在某些點處的導數有時也相當方便.例3 已知是周期為5的連續函數,它在的某個鄰域內滿足關系式其中是時比高階無窮小,且在處可導,求曲線在點處的切線方程.分析 關鍵:確定切點和切線斜率.因以5為周期,故,所以只需求出即可.例4 設,有二階連續導數，且， （1）求；（2）討論的連續性.注 研究分段函數可導性（連續性）時，分段點需特別考慮. 一般情形，分段點處的導數必須用導數的定義求；若分段點左右兩邊的表達式不同時，要按定義求左、右導數.1.2 函數的微分例1 單項選擇題(1) 設函數滿足:.若,則( ) (A)(A) (B) (C) (D) (2) 設函數可導,當自變量在處取得增量時,相應函數增量的線性主部為,則( ). (D) (A) (B) (C) (D) 例2 設滿足，并且，對任意兩點有，求證：（1），（2）f (x)可微；（3）求. 2 導數的計算一、內容與知識要點1.基本導數公式2. 求導法則(1)四則運算法則(和、差、積、商): ； ； ； ； ；(2) 復合函數求導法則 (3) 反函數的導數: .3. 一階微分形式不變性: 當變換自變量時（即設為另一變量的可微函數時），微分形式并不改變.4. 高階導數幾個常用函數的高階導數公式:; ; ,;.高階求導法則; ; 5. 隱函數求導方程確定了一個隱函數.方法一: (兩邊求導法)方程兩邊分別對求導，記住是的函數,求出.方法二:(兩邊微分法)方程兩邊取微分（利用微分基本公式、法則及微分形式不變性），解出.方法三: (公式法) .6. 由參數方程所確定的函數求導, , 二、典型例題分析1 用四則運算求導法則和復合函數求導法則求導數例1 填空題(1) 設,則 . (2) 設,則 .(3) 設 由所確定，則曲線在處的法線方程為 . （）(4) 曲線上對應雨點處的切線方程為 . （）(5) 設,則 .例2 單項選擇題(1) 設可微，則等于( ) (B) （A）； （B）；（C）； （D）.(2) 設有任意階導數，則時為( ). (A) (A) ； (B) ； (C) ； (D) .例3 求下列函數的導數：(1) ，求; (2) ，求；(3) 設，有二階導數，且，