第五章 角動量 角動量守恒定律第五章 角動量 角動量守恒定律 剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律 角動量角動量 轉動 慣量 轉動 慣量 角動量的 時間變化率 角動量的 時間變化率 力矩力矩 角動量 定理 角動量 定理 角動量 守恒定律 角動量 守恒定律 第五章角動量角動量守恒習題課 復習提要 第五章角動量角動量守恒習題課 復習提要 三個概念 兩條規(guī)律 二 轉動慣量 三個概念 兩條規(guī)律 二 轉動慣量 m i ii mrrmJd 2 2 一 角動量一 角動量 質點 質點系 定軸剛體 質點 質點系 定軸剛體 vmrL rr r i iiicc vmrvmrLLL rrrv rrr 自旋軌道自旋軌道 J Lz 三 力矩三 力矩 0 i iz MFrMFrM 內內 vr r r r v 質點質點 2 1 d d d t t LtM t L M vv v v 質點系 定軸剛體 質點系 定軸剛體 2 1 d d d t t LtM t L M vv v v 外外外外 J M z 2 1 d t t zz LtM 五 角動量守恒五 角動量守恒 恒量 恒矢量 恒量 恒矢量 外外 zz LM LM 0 0 vv 四 角動量定理四 角動量定理 注意 注意 0 0 o M F r r 0 0 o M F r r 合力為零時 其合力矩是否一定為零 合力矩為零時 合力是否一定為零 合力為零時 其合力矩是否一定為零 合力矩為零時 合力是否一定為零 F r F r o o F r F r 例 例 例 例 質量為 長為的細桿在水平粗糙桌面上 繞過其一端的豎直軸旋轉 桿的密度與離軸距離成正 比 桿與桌面間的摩擦系數(shù)為 求摩擦力矩 質量為 長為的細桿在水平粗糙桌面上 繞過其一端的豎直軸旋轉 桿的密度與離軸距離成正 比 桿與桌面間的摩擦系數(shù)為 求摩擦力矩 m L 解 解 rkrrmddd 設桿的線密度設桿的線密度kr 22 d2 d 2 L rmr m L m k 得 得 2 0 2 1 d d kLrkr mm L 由由 o md f r d z r v rr L mg mgf d 2 dd 2 frMdd mgLrr L mg MM L 3 2 d 2 d 0 2 2 2 d2 d L rmr m o md f r d z r v 例1 例1 一定滑輪的質量為 半徑為 一輕繩 兩邊分別系和兩物體掛于滑輪上 繩不伸 長 繩與滑輪間無相對滑動 不計軸的摩擦 初角 速度為零 求滑輪轉動角速度隨時間變化的規(guī)律 一定滑輪的質量為 半徑為 一輕繩 兩邊分別系和兩物體掛于滑輪上 繩不伸 長 繩與滑輪間無相對滑動 不計軸的摩擦 初角 速度為零 求滑輪轉動角速度隨時間變化的規(guī)律 m 1 m 2 m r 2 m 1 m r m 已知 已知 0 021 r m m m 求 求 t 思路 思路 質點平動與剛體定軸轉動關聯(lián)問題 隔離法 分別列方程 先求角加速度 質點平動與剛體定軸轉動關聯(lián)問題 隔離法 分別列方程 先求角加速度 解 解 在地面參考系中 分別以 為研究對象 用隔離法 分別以牛頓第二定律 和剛體定軸轉動定律建立方程 在地面參考系中 分別以 為研究對象 用隔離法 分別以牛頓第二定律 和剛體定軸轉動定律建立方程 m m m 21 思考 思考 TT aa 2121 2 m 1 m r m 1 T 1 a r gm1 amTgmm1 11111 向下為正向下為正 2 a r 2 T gm 2 amgmTm2 22222 向上為正向上為正 r 1 T 2 T N mg 四個未知數(shù) 三個方程 四個未知數(shù) 三個方程 T T aaa 2121 繩與滑輪間無相對滑動 由角量和線量的關系 繩與滑輪間無相對滑動 由角量和線量的關系 ra4 解得解得 rmmm gmm 2 1 21 21 rmmm gtmm t 2 1 21 21 0 滑輪滑輪 m 以順時針方向為正方向 以順時針方向為正方向 mrJrTrT3 2 1 2 21 如圖示 兩物體質量分別為和 滑輪質量 為 半徑為 已知與桌面間的滑動摩擦系 數(shù)為 求下落的加速度和兩段繩中的張力 如圖示 兩物體質量分別為和 滑輪質量 為 半徑為 已知與桌面間的滑動摩擦系 數(shù)為 求下落的加速度和兩段繩中的張力 1 m m 2 m r 2 m 1 m 2 m 1 m o mr 解 解 在地面參考系中 選取 和滑輪為研究 對象 分別運用牛頓定律和剛體定軸轉動定律得 在地面參考系中 選取 和滑輪為研究 對象 分別運用牛頓定律和剛體定軸轉動定律得 1 m 2 m 練習練習1 2 m 2 T a gm 2 gm 2 N 1 m 1 T a gm 1 列方程如下 列方程如下 ra mrr TT amgmT amTgm 2 21 222 111 2 1 可求解可求解 o 1 T 2 T x N y N 向里 向里 例例2 質量為質量為 M 的勻質圓盤 可繞通過盤中心垂直于盤的固定 光滑軸轉動 繞過盤的邊緣有質量為 的勻質圓盤 可繞通過盤中心垂直于盤的固定 光滑軸轉動 繞過盤的邊緣有質量為 m 長為 長為 l 的勻質柔軟 繩索 如圖 設繩與圓盤無相對滑動 試求當圓盤兩側繩 長差為 的勻質柔軟 繩索 如圖 設繩與圓盤無相對滑動 試求當圓盤兩側繩 長差為 s 時 繩的加速度的大小 時 繩的加速度的大小 解 解 在地面參考系中 建立如圖在地面參考系中 建立如圖 x 坐標 設繩兩端坐標分別為坐標 設繩兩端坐標分別為x1 x2 滑輪半徑為滑輪半徑為 r 有 有 rxxBBABAAl 21 x l m m x l m m 2BB1AA r l m m AB 21 xxs o x1 x2 s MAB A B r x m 用隔離法列方程 以逆時針方向為正 用隔離法列方程 以逆時針方向為正 22 2 1 rmMrJJJ ABABM amTgm AA 1 J rTrT 21 amgmT BB 2 T1 J T2 r CA T1 mAg CB T2 mBg BA o o x1 x2 s MAB A B r x m CB CA 解得 解得 l Mm mgs a 2 1 ra 又 又 21 xxs o x1 x2 s MAB A B r x m CB CA 例例1 一半徑為一半徑為R 質量為 質量為 M 的轉臺 可繞通過其中心 的豎直軸轉動 的轉臺 可繞通過其中心 的豎直軸轉動 質量為質量為 m 的人站在轉臺邊緣 最初人 和臺都靜止 若人沿轉臺邊緣跑一周 的人站在轉臺邊緣 最初人 和臺都靜止 若人沿轉臺邊緣跑一周 不計阻力不計阻力 相 對于地面 人和臺各轉了多少角度 相 對于地面 人和臺各轉了多少角度 R M m 思考 思考 1 臺為什么轉動 向什么方向 轉動 2 人相對轉臺跑一周 相對于 地面是否也跑了一周 3 人和臺相對于地面轉過的角 度之間有什么關系 1 臺為什么轉動 向什么方向 轉動 2 人相對轉臺跑一周 相對于 地面是否也跑了一周 3 人和臺相對于地面轉過的角 度之間有什么關系 選地面為參考系 設對轉軸選地面為參考系 設對轉軸 人 人 J J 臺 臺 J J 解 解 系統(tǒng)對轉軸合外力矩為零 角動量守恒 以向上為正 系統(tǒng)對轉軸合外力矩為零 角動量守恒 以向上為正 22 2 1 MRJmRJ 0 JJ M m2 R M m 設人沿轉臺邊緣跑一周的時間為設人沿轉臺邊緣跑一周的時間為 t 2dd 00 tt tt JJ 2d 2 d 00 tt t M m t 人相對地面轉過的角度 人相對地面轉過的角度 Mm M t 2 2 d t 0 臺相對地面轉過的角度 臺相對地面轉過的角度 Mm m t t 2 4 d 0 例1 例1 已知 已知 兩平行圓柱在水平面內轉動 兩平行圓柱在水平面內轉動 求 求 接觸且無相對滑動時接觸且無相對滑動時 20221011 Rm Rm 21 o1 m1 R1 o2 R2 m2 10 20 o1 o2 1 2 請自行列式 請自行列式 解解1 因摩擦力為內力 外力過軸 外力矩為零 則因摩擦力為內力 外力過軸 外力矩為零 則 J1 J2 系統(tǒng)角動量守恒 以順時針方向旋轉為正 系統(tǒng)角動量守恒 以順時針方向旋轉為正 1 2211202101 JJJJ 接觸點無相對滑動 接觸點無相對滑動 2 2211 RR 又 又 3 2 1 2 111 RmJ 4 2 1 2 222 RmJ 聯(lián)立1 2 3 4式求解 對不對 聯(lián)立1 2 3 4式求解 對不對 o1 o2 1 2 1 R 2 R 問題 問題 1 式中各角量是否對同軸而言 式中各角量是否對同軸而言 2 J1 J2系統(tǒng)角動量是否守恒 系統(tǒng)角動量是否守恒 0 2 0 1 1 2 2 1 F F Mo Mo r r 為軸 為軸 為軸 為軸 系統(tǒng)角動量不守恒 系統(tǒng)角動量不守恒 分別以分別以m1 m2為研究對象 受力如圖 為研究對象 受力如圖 o2 F2 o1 F1 f1 f2 1 R 2 R 解解2 分別對分別對m1 m2 用角動量定理列方程 設 用角動量定理列方程 設 f1 f2 f 以順時針方向為正以順時針方向為正 m1對對o1 軸 軸 2 111 101111 2 1 d RmJ JJtfR m2對對o2 軸 軸 2 222 202222 2 1 d RmJ JJtfR 接觸點 接觸點 2211 RR o2 F2 o1 F1 f1 f2 1 2 1 R 2 R 聯(lián)立各式解得 聯(lián)立各式解得 221 20221011 2 121 20221011 1 Rmm RmRm Rmm RmRm 解解1 m 和和 m 2 系統(tǒng)動量守恒系統(tǒng)動量守恒 m v 0 m m 2 v 解解2 m 和和 m1 m 2 系統(tǒng)動量守恒系統(tǒng)動量守恒 m v 0 m m 1 m 2 v 解解3 m v 0 m m 2 v m 1 2v 以上解法對不對 以上解法對不對 m2 m1 m 0 v r 2L 2L A 例例2 已知 已知 輕桿 輕桿 m 1 m m 2 4m 油灰球油灰球 m m 以速度以速度v 0 撞擊撞擊 m 2 發(fā)生完全非彈性碰撞 發(fā)生完全非彈性碰撞 求 求 撞后撞后m 2的速率的速率 v 因為相撞時軸因為相撞時軸A作用力不能忽略 不計 故 作用力不能忽略 不計 故系統(tǒng)動量不守恒系統(tǒng)動量不守恒 因為重力 軸作用力過軸 對軸 力矩為零 故 因為重力 軸作用力過軸 對軸 力矩為零 故系統(tǒng)角動量守恒系統(tǒng)角動量守恒 由此列出以下方程 由此列出以下方程 Lvm L vmm L mv 2 22 120 或 或 v v Lmmmm LL LL 2020 2 1 2 220 2 2 得 得 9 0 v v m2 m1 m 2L 2L Ny Nx A 注意 區(qū)分兩類沖擊擺注意 區(qū)分兩類沖擊擺 水平方向 水平方向 Fx 0 px守恒守恒 m v 0 m M v 對對 o 點 守恒點 守恒 m v 0 l m M v l 0 M r L r 軸作用力不能忽略 動量不守恒 但對 軸作用力不能忽略 動量不守恒 但對 o 軸合力矩為零 角動量守恒軸合力矩為零 角動量守恒 lvMlmllmv 22 0 3 1 1 o l m M 0 v r 質點質點質點質點柔繩無切向力柔繩無切向力 質點定軸剛體質點定軸剛體 不能簡化為質點 不能簡化為質點 2 0 v r o l m M Fx Fy 回顧習題回顧習題 P84 4 10 vRMmRghm OM mM pMmF 2 0 0 點角動量守恒對系統(tǒng) 不守恒系統(tǒng) 點角動量守恒對系統(tǒng) 不守恒系統(tǒng) 軸 軸 軸 軸 r r v m M F O 0 軸軸 F v A B C系統(tǒng)不守恒 系統(tǒng)不守恒 p r 0 軸軸 M r A B C系統(tǒng)對系統(tǒng)對 o 軸角動量守恒軸角動量守恒 vRmmmRvmm cBABA 1 回顧習題回顧習題 P84 4 11 C B Nx Ny A o 練習 練習 已知已知 m 20 克 克 M 980 克克 v 0 400米米 秒 繩不可伸長 求 秒 繩不可伸長 求 m 射入射入M 后共同的后共同的 v 思考 思考 系統(tǒng)哪些物理量守恒 系統(tǒng)哪些物理量守恒 總動量 動量分量 角動量 總動量 動量分量 角動量 解 解 m M系統(tǒng)水平方向動量守恒 系統(tǒng)水平方向動量守恒 F x 0 豎直方向動量不守恒 繩沖力不能忽略 對 豎直方向動量不守恒 繩沖力不能忽略 對o 點軸角動量守恒 外力矩和為零 點軸角動量守恒 外力矩和為零 o m M v r o 30 0 v r vMmmv 0 0 30sin 或 或 00 0 90sin30sin lMmvlmv v 4 m s 1得 得 解 解 碰撞前后碰撞前后AB棒對棒對O的角動量守恒的角動量守恒 思考 思考 碰撞前棒對碰撞前棒對O角動量角動量 L 碰撞后棒對碰撞后棒對O角動量角動量 L 例例3 已知 已知 勻質細棒勻質細棒 m 長長 2l 在光滑水平面 內以 在光滑水平面 內以 v 0平動 與固定支點平動 與固定支點 O 完全非彈性碰撞 完全非彈性碰撞 求 求 碰后瞬間棒繞碰后瞬間棒繞 O 的的 v0 c l B A l 2 l 2 O m 撞前 撞前 自旋軌自旋軌 LLL rvr 0 2 0 l mvL 1 思考 思考 碰撞后的旋轉方向 碰撞后的旋轉方向 2 各微元運動速度相同 但到 各微元運動速度相同 但到O距離不等 棒上段 下段對軸 距離不等 棒上段 下段對軸O角動