3 條件概率與獨立事件自主整理1.已知_的條件下a發生的概率，稱為b發生時a發生的條件概率，記為p(a|b)，當p(b)0時，我們有p(a|b)=_(其中，ab也可以記成ab).類似地，當p(a)0時，a發生時b發生的條件概率p(b|a)=_.2.一般地，對兩個事件a，b，如果p(ab)=_，則稱a，b相互獨立.可以證明，如果a，b相互獨立，則a與b，a與b，a與b也相互獨立.如果a1，a2，an相互獨立，則有p(a1a2an)= _.高手筆記1.p(b|a)是指在事件a發生的前提下事件b發生的概率；p(b)是指事件b發生的概率.例如：3張獎券中只有1張能中獎，現分別由3名同學無放回地抽取.用b表示最后一名同學抽到中獎獎券的事件，則p(b)=.若已經知道第1名同學沒有抽到獎券(設該事件為a)，則這時最后一名同學抽到中獎獎券的概率p(b|a)=.故p(b|a)p(b)，特別地，當p(b|a)=p(b)時，可以斷定a、b兩個事件一定相互獨立.2.p(ab)表示在基本事件空間中，計算ab發生的概率，而p(b|a)表示在縮小的基本事件空間a中，計算b發生的概率，用古典概型公式則有：p(b|a)=p(ab)=a中基本事件數中基本事件數，故有p(b|a)p(ab).3.條件概率具有概率的性質，任何事件的條件概率都在0和1之間，即0p(b|a)1；如果b和c是兩個互斥事件，則p(bc|a)=p(b|a)+p(c|a).名師解惑1.條件概率的求解策略是什么？剖析：求條件概率一般有兩種方法，一是對于古典概型類題目，可采用縮減基本事件總數的辦法來計算，p(b|a)=，其中n(ab)表示事件ab包含的基本事件個數，n(a)表示事件a包含的基本事件個數.二是直接根據定義計算，p(b|a)=，特別要注意p(ab)的求法.2.常見事件的關鍵詞與概率間的關系.剖析：關鍵詞表述事件符號概率a、b互斥a、b相互獨立a、b中至少有一個發生abp(ab)p(a)+p(b)1-p()p()a、b同時都發生abp(ab)0p(a)p(b)a、b都不發生p()1-p()+p()p()p()a、b中恰有一個發生abp(ab)p(a)+p(b)p(a)p()+p()p(b)a、b至多有一個發生aa p(ab )11-p(a)p(b)3.相互獨立事件與互斥事件的區別與聯系剖析：(1)事件的“互斥”與“相互獨立”是兩個不同的概念，兩個事件互斥是指兩個事件不可能同時發生；兩事件相互獨立是指一個事件的發生對另一個事件是否發生沒有影響.(2)事件的獨立性是對兩個任意事件而言，而事件的對立是對一個試驗中的兩個事件而言.(3)獨立事件不是對立事件，一般情況下必定不是互斥事件；對立事件是互斥事件，不能是獨立事件；互斥事件一般不是對立事件，一定不是獨立事件.(4)在實際應用中，事件的獨立性常常不是根據定義判斷，而是根據實際問題(意義)來加以判斷，如一部儀器上工作的兩個元器件，它們各自的工作狀況是互相獨立的；兩個人同時射擊一個目標，各自命中狀況也是互相獨立的.講練互動【例1】在5道題中有3道理科題和2道文科題，如果不放回地依次抽取2道題，求：(1)第1次抽到理科題的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科題的概率；(3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率.分析：(1)(2)屬于古典概型，(3)利用條件概率公式p(b|a)=求解.解：設第1次抽到理科題為事件a，第2次抽到理科題為事件b，則第1次和第2次都抽到理科題為事件ab.(1)從5道題中不放回地依次抽取2道題的事件數為n()=20.根據分步乘法計數原理，n(a)=a=12，于是p(a)=.(2)因為n(ab)=a=6，所以p(ab)=(3)方法1：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為p(b|a)=.方法2：因為n(ab)=6，n(a)=12，所以p(b|a)=.綠色通道:利用條件概率公式求解時，求事件ab的概率(或其基本事件個數)是解決問題的關鍵.變式訓練1擲兩顆均勻的骰子，已知第一顆骰子擲出6點，問“擲出的點數之和大于等于10”的概率是多少？解：設“第一顆骰子擲出6點”為事件a，“擲出的點數之和大于等于10”為事件b.則p(b|a)=.【例2】一只盒子裝有4只產品，其中3只一等品，1只二等品，從中取產品兩次，每次任取一只，作不放回抽樣.設事件a為“第一次取到的是一等品”，事件b為“第二次取到的是二等品”，試求條件概率p(b|a).分析：本題屬古典概型條件概率問題，可用公式p(b|a)=來解決.解：將產品編號，1,2，3為一等品，4號為二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分別取到第i號，第j號產品，則試驗的基本事件空間為=(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3).事件a有9個基本事件，ab有6個基本事件.所以p(b|a)= =.綠色通道:本題的解法是求條件概率的常用方法，當基本事件空間容易列出時，可考慮此法.變式訓練2盒中有5個紅球，11個藍球，紅球中有2個玻璃球，3個木質球；藍球中有4個玻璃球，7個木質球，現從中任取一球，假設每個球摸到的可能性都相同，若已知取到的球是玻璃球，問它是藍球的概率是多少？解：記a=取得藍球，b=取得玻璃球，根據題意引出圖表如下：玻璃木質總計紅235藍4711總計61016已知取到的球是玻璃球，求它是藍球的概率，這就是求b發生的條件下a發生的概率，記作p(a|b)，由上表可知，n(b)=6，n(ab)=4，p(a|b)=.【例3】從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽取2張，將它們放在驗鈔機上檢驗，結果提示其中有假鈔，求2張都是假鈔的概率.分析：由題意知，驗鈔機提示抽出的兩張鈔票中至少有一張為假鈔，從而問題轉化為在“抽到的兩張中至少有1張為假鈔”的前提下，求“抽到的兩張都是假鈔”的概率.解：若a表示“抽到的兩張都為假鈔”，b表示“抽到的兩張中至少有1張為假鈔”，所求概率為p(a|b)，又p(ab)=p(a)=p(b)=，由條件概率公式得p(a|b)=.綠色通道:準確理解題意，弄清楚在什么條件下發生的事件是求解條件概率的關鍵.變式訓練3一張儲蓄卡的密碼共有6位數字，每位數字都可從09中任選一個.某人在銀行自動提款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數字，求：(1)任意按最后一位數字，不超過2次就按對的概率.(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數，不超過2次就按對的概率.解：設第i次按對密碼為事件ai(i=1,2)，則a=a1(1a2)表示不超過2次就按對密碼.(1)因為事件a1與事件a1a2互斥，由概率的加法公式得p(a)=p(a1)+p(1a2)=.(2)用b表示最后一位按偶數的事件，則p(a|b)=p(a1|b)+p(1a2|b)=+=.【例4】甲、乙兩地都位于長江下游，根據一百多年的氣象記錄，知道甲、乙兩地一年中雨天所占的比例分別為20%和18%，兩地同時下雨的比例為12%，問：(1)乙地為雨天時甲地也為雨天的概率是多少？(2)甲地為雨天時乙地也為雨天的概率是多少？分析：設“甲地為雨天”為事件a，“乙地為雨天”為事件b，由題意p(a)、p(b)、p(ab)已知，故可直接由條件概率公式求解.解：設“甲地為雨天”為事件a，“乙地為雨天”為事件b，由題意得p(a)=0.20，p(b)=0.18，p(ab)=0.12，所以(1)乙地為雨天時甲地也為雨天的概率是p(a|b)=0.67.(2)甲地為雨天時乙地也為雨天的概率是p(b|a)=0.60.綠色通道:本題直接利用條件概率公式求解，要注意分清誰是條件.變式訓練4設某種動物由出生算起活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，現有一個20歲的這種動物，問它能活到25歲的概率是多少？解：設a=“能活到20歲”，b=“能活到25歲”，則p(a)=0.8，p(b)=0.4，而所求概率為p(b|a)，由于ba,故ab=b,于是p(b|a)=0.5.所以這個動物能活到25歲的概率是0.5.【例5】設甲、乙兩射手獨立地射擊同一目標，他們擊中目標的概率分別為0.8、0.9，求：(1)兩人都擊中目標的概率；(2)兩人中有1人擊中目標的概率；(3)在一次射擊中，目標被擊中的概率；(4)兩人中，至多有1人擊中目標的概率.分析：設出已知事件，然后利用互斥事件、對立事件、獨立事件將所求事件分解成已知事件的和或積，從而得出相應的事件等式，最后利用有關概率公式求解即可.解：設事件a=甲射擊一次，擊中目標，事件b=乙射擊一次，擊中目標，a與b相互獨立，則p(a)=0.8，p(b)=0.9.(1)兩人都擊中目標的事件為ab，p(ab)=p(a)p(b)=0.80.9=0.72.即兩人都擊中目標的概率為0.72.(2)設事件c=兩人中有1人擊中目標，則c=a+b，a與ba互斥，且a與b獨立，p(c)=p(a+b)=p(a)+p(b)=p(a)p()+p(b)p()=p(a)1-p(b)+p(b)1-p(a)=0.80.1+0.90.2=0.26.即兩人中有1人擊中目標的概率為0.26.(3)設d=目標被擊中=兩人中至少有1人擊中目標，本問有三種解題思路.方法一：d=a+b+b，則a與，b與，a與b相互獨立，a、b、ab彼此互斥，p(d)=p(a+b+ab)=p(a)+p(b)+p(ab)=p(a)p()+p(b)p(a)+p()p(b)=p(a)1-p(b)+p(b)1-p(a)+p(a)p(b)=0.80.1+0.90.2+0.80.9=0.98.即目標被擊中的概率是0.98.方法二：利用求對立事件概率的方法.兩人中至少有1人擊中的對立事件為兩人都未擊中，所以兩人中至少有1人擊中的概率為p(d)=1-p()=1-p()p()=1-0.20.1=0.98.即目標被擊中的概率是0.98.方法三：d=a+b，且a與b獨立，p(d)=p(a+b)=p(a)+p(b)-p(ab)=0.8+0.9-0.80.9=0.98.故目標被擊中的概率是0.98.(4)設e=至多有1人擊中目標，則本問有兩種思路：方法一：e=a+b+，且a與、b與、與b獨立，且a、彼此互斥，p(e)=p(a+b+b)=p(a)+p(b)+p()=p(a)p()+p(b)p()+p()p()=0.80.1+0.90.2+0.10.2=0.28.故至多有1人擊中目標的概率為0.28.方法二：=“兩人都擊中”，=ab，且a與b獨立.p()=p(ab)=p(a)p(b)=0.80.9=0.72.d與對立，p(d)=1-p()=1-0.72=0.28.故至多有1人擊中目標的概率為0.28.綠色通道:由上述解法可以看出，靈活、有效地將一些比較復雜的事件分解成為互斥事件和相互獨立事件的和或積，列出事件等式，是求解概率問題的關鍵所在.變式訓練5某商場推出二次開獎活動，凡購買一定價值的商品可以獲得一張獎券，獎券上有一個兌獎號碼，可以分別參加兩次抽獎方式相同的兌獎活動.如果兩次兌獎活動的中獎概率都是0.05，求兩次抽獎中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定號碼；(2)恰有一次抽到某一指定號碼；(3)至少有一次抽到某一指定號碼.解：(1)記“第1次抽獎抽到某一指定號碼”為事件a，“第2次抽獎抽到某一指定號碼”為事件b，則“兩次抽獎都抽到某一指定號碼”就是事件ab.由于兩次抽獎結果互不影響，因此a與b相互獨立，于是由獨立性可得，兩次抽獎都抽到某一指定號碼的概率p(ab)=p(a)p(b)=0.050.05=0.002 5.(2)“兩次抽獎恰有一次抽到某一指定號碼”可以用(a)(b)表示，由于事件ab與ab互斥，根據概率的加法公式和相互獨立事件的定義，所求得的概率為p(a)+p(b)=p(a)p()+p()p(b)=0.05(1-0.05)+(1-0.05)0.05=0.095.(3)“兩次抽獎至少有一次抽到某一指定號碼”可以用(ab)(ab)(ab)表示.由于事件ab，a，b兩兩互斥，根據概率的加法公式和相互獨立事件定義，所求的概率為p(ab)+p(a)+p(b)=0.002 5+0.095=0.097 5.教材鏈接p45思考交流有人以為，把一枚均勻硬幣擲4次，事件“第一次出現正面，第2次出現反面