基礎回扣(三)三角函數、解三角形、平面向量要點回扣1終邊相同的角終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在的射線上)2k(kZ)，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等三角函數值只與角的大小有關，而與終邊上點P的位置無關對點專練1已知角的終邊經過點P(3，4)，則sincos的值為_答案2誘導公式簡記為“奇變偶不變，符號看象限”對點專練2costansin21的值為_答案3函數yAsin(x)的單調區間(1)不注意的符號，把單調性弄反，或把區間左右的值弄反；(2)忘掉寫2k，或k等，忘掉寫kZ；(3)書寫單調區間時，錯把弧度和角度混在一起如0,90應寫為.對點專練3函數ysin的遞減區間是_答案(kZ)4三角的恒等變形中常見的拆角、拼角技巧()，2()()，()()()，.對點專練4已知，sin()，sin，則cos_.答案5解三角形已知三角形兩邊及一邊對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務必注意可能有兩解，要結合具體情況進行取舍在ABC中ABsinAsinB.對點專練5在ABC中，a，b，A60，則B_.答案456向量的平行與垂直設a(x1，y1)，b(x2，y2)，且b0，則ababx1y2x2y10；ab(a0，b0)ab0x1x2y1y20.對點專練6下列四個命題：若|a|0，則a0；若|a|b|，則ab或ab；若ab，則|a|b|；若a0，則a0.其中正確命題是_答案7投影a在b上的投影|a|cosa，b.投影是一個實數，可以是正數、負數或零注意：a，b為銳角ab0且a、b不同向；a，b為直角ab0且a、b0；a，b為鈍角ab0且a、b不反向對點專練7已知|a|3，|b|5，且ab12，則向量a在向量b上的投影為_答案8數量積的運算當ab0時，不一定得到ab；當ab時，ab0；abcb，不能得到ac，消去律不成立；(ab)c與a(bc)不一定相等，(ab)c與c平行，而a(bc)與a平行對點專練8下列各命題：若ab0，則a、b中至少有一個為0；若a0，abac，則bc；對任意向量a、b、c，有(ab)ca(bc)；對任一向量a，有a2|a|2.其中正確命題是_答案易錯盤點易錯點1忽視角的范圍致誤【例1】已知sin，sin，且，為銳角，則_.錯解、為銳角，cos，cos.sin()sincoscossin.又0.或.錯因分析錯解中沒有注意到sin，sin本身對角的范圍的限制，造成錯解正解因為，為銳角，所以cos，cos.所以cos()coscossinsin，又因為0，所以.對三角函數的求值問題，不僅要看已知條件中角的范圍，還要挖掘隱含條件，根據三角函數值縮小角的范圍；本題中(0，)中的角和余弦值一一對應，最好在求角時選擇計算cos()來避免增解對點專練1(1)已知sincos，則sincos的值為()A.BC.D(2)設為銳角，若sin，則sin的值為_解析(1)sincos，(sincos)21sin2，sin2，又0，sincos.sincos，故選B.(2)依題意得cossin，即cos，又為銳角，因此0)這個變化的實質是xx，所以平移的距離并不是.對點專練2(1)把函數ysin圖象上各點的橫坐標縮小到原來的(縱坐標不變)，再將圖象向右平移個單位，那么所得圖象的一條對稱軸方程為()Ax BxCx Dx(2)對于函數f(x)sin，函數圖象關于直線x對稱；函數圖象關于點對稱；函數圖象可看作是把ysin2x的圖象向左平移個單位而得到；函數圖象可看作是把ysin的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)而得到以上敘述所有正確的是_(填寫序號)解析(1)把函數ysin圖象上各點的橫坐標縮小到原來的(縱坐標不變)所得函數圖象的解析式為ysin，再將圖象向右平移個單位所得函數圖象的解析式為ysinsincos2x，即ycos2x，令2xk，kZ，則x，kZ，即對稱軸方程為x，kZ，故選A.(2)函數f(x)sin的對稱軸為2xk，kZ，解得x，kZ.而當x時，k無解，故錯誤；函數f(x)sin圖象的中心對稱點的橫坐標為2xk，解得x，kZ，當k1時，x，所以函數圖象關于點對稱，故正確；將函數ysin2x的圖象向左平移個單位得到的函數圖象為ysin2sin，故錯誤；利用三角函數伸縮性易得正確，所以正確的有.答案(1)A(2)易錯點3三角形解的個數不清致誤【例3】在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c且a1，c.(1)若C，求A；(2)若A，求b，C.錯解(1)在ABC中，sinA，A或.(2)由得sinC，C，由C知B，b2.錯因分析在用正弦定理解三角形時，易出現漏解或多解的錯誤，如第(1)問中沒有考慮c邊比a邊大，在求得sinA后，得出角A或；在第(2)問中又因為沒有考慮角C有兩解，由sinC，只得出角C，所以角B，解得b2.這樣就出現漏解的錯誤正解(1)由正弦定理得，即sinA.又ac，AC，0A，A.(2)由，得sinC，C或.當C時，B，b2；當C時，B，b1.綜上所述，b2或b1.已知兩邊及其中一邊的對角解三角形時，注意要對解的情況進行討論，討論的根據一是所求的正弦值是否合理，當正弦值小于等于1時，還應判斷各角之和與180的關系；二是兩邊的大小關系對點專練3(1)若滿足條件AB，C60的三角形ABC有兩個，則邊長BC的取值范圍是()A(1,2) B(，)C(，2) D(，2)(2)在ABC中，B30，AB2，AC2，則ABC的面積為_解析(1)若滿足條件的三角形有兩個，則sinCsinA1，又因為2，故BC2sinA，A，所以BCAC，CB.C60或120.A90或30.由ABC的面積SABACsinA，得S2或.答案(1)C(2)2或易錯點4忽視向量共線致誤【例4】已知a(2,1)，b(，1)，R，a與b的夾角為.若為銳角，則的取值范圍是_錯解cos .因為為銳角，有cos0，0210，得，的取值范圍是.錯因分析當向量a，b同向時，0，cos1滿足cos0，但不是銳角正解為銳角，0cos1.又cos，00且a，b不同向；為直角ab0；為鈍角ab0且a，b不反向對點專練4(1)已知向量a，b不共線，若1ab，a2b，則“A，B，C三點共線”是“121”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件(2)設兩個向量e1，e2，滿足|e1|2，|e2|1，e1與e2的夾角為.若向量2te17e2與e1te2的夾角為鈍角，則實數t的范圍為_解析(1)依題意，由A，B，C三點共線，可設m(m0)，則有1abmam2b，又a，b不共線，因此得121.反過來，由121顯然能得出A，B，C三點共線綜上所述，“A，B，C三點共線”是“121”的充分必要條件，故選C.(2)(2te17e2)(e1te2)2t|e1|2(2t27)e1e27t|e2|22t42t277t2t215t7向量2te17e2與e1te2的夾角為鈍角，2t215t70，得7t.由2te17e2與e1te2反向，得t.故t的范圍是.答案(1)C(2)易錯點5向量夾角概念不清致誤【例5】已知等邊ABC的邊長為1，則_.錯解ABC為等邊三角形，|1，向量、間的夾角均為60.錯因分析數量積的定義ab|a|b|cos，這里是a與b的夾角，本題中與夾角不是C.兩向量的夾角就為平面上同一起點表示向量的兩條有向線段間的夾角，如圖與的夾角應是ACD.正解如圖與的夾角應是ACB的補角ACD，即180ACB120.又|1，所以|cos120.同理得.故.在判斷兩向量的夾角時，要注意把兩向量平移到共起點，這樣才不至于判斷錯誤平面向量與三角函數的結合，主要是指題設條件設置在向量背景下，一旦脫去向量的“外衣