第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1 1 1變化率問題 問題1氣球膨脹率 在吹氣球的過程中 可發(fā)現(xiàn) 隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加 氣球的半徑增加得越來越慢 從數(shù)學(xué)的角度 如何描述這種現(xiàn)象呢 氣球的體積v 單位 l 與半徑r 單位 dm 之間的函數(shù)關(guān)系是 若將半徑r表示為體積v的函數(shù) 那么 當(dāng)空氣容量v從0l增加到1l 氣球半徑增加了 氣球的平均膨脹率為 當(dāng)空氣容量v從1l增加到2l 氣球半徑增加了 氣球的平均膨脹率為 隨著氣球體積逐漸變大 它的平均膨脹率逐漸變小 思考 當(dāng)空氣容量從v1增加到v2時 氣球的平均膨脹率是多少 問題2高臺跳水 在高臺跳水運(yùn)動中 運(yùn)動員相對于水面的高度h 單位 m 與起跳后的時間t 單位 s 存在函數(shù)關(guān)系 如果用運(yùn)動員在某段時間內(nèi)的平均速度描述其運(yùn)動狀態(tài) 那么 在0 t 0 5這段時間里 在1 t 2這段時間里 平均速度不能反映他在這段時間里運(yùn)動狀 需要用瞬時速度描述運(yùn)動狀態(tài) 計(jì)算運(yùn)動員在這段時間里的平均速度 并思考下面的問題 1 運(yùn)動員在這段時間里是靜止的嗎 2 你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)有什么問題嗎 探究 現(xiàn)有南京市某年3月和4月某天日最高氣溫記載 觀察 3月18日到4月18日與4月18日到4月20日的溫度 變化 用曲線圖表示為 注 3月18日為第一天 問題3 問題1 氣溫陡增 是一句生活用語 它的數(shù)學(xué)意義是什么 形與數(shù)兩方面 問題2 如何量化 數(shù)學(xué)化 曲線上升的陡峭程度 1 曲線上bc之間一段幾乎成了 直線 由此聯(lián)想如何量化直線的傾斜程度 2 由點(diǎn)b上升到c點(diǎn) 必須考察yc yb的大小 但僅僅注意yc yb的大小能否精確量化bc段陡峭程度 為什么 在考察yc yb的同時必須考察xc xb 函數(shù)的本質(zhì)在于一個量的改變本身就隱含著這種改變必定相對于另一個量的改變 3 我們用比值近似地量化b c這一段曲線的陡峭程度 并稱該比值為 32 34 上的平均變化率 4 分別計(jì)算氣溫在區(qū)間 1 32 32 34 的平均變化率 現(xiàn)在回答問題1 氣溫陡增 是一句生活用語 它的數(shù)學(xué)意義是什么 形與數(shù)兩方面 定義 平均變化率 式子稱為函數(shù)f x 從x1到x2的平均變化率 令 x x2 x1 y f x2 f x1 則 理解 1 式子中 x y的值可正 可負(fù) 但的 x值不能為0 y的值可以為02 若函數(shù)f x 為常函數(shù)時 y 03 變式 思考 觀察函數(shù)f x 的圖象平均變化率表示什么 o a b x y y f x x1 x2 f x1 f x2 x2 x1 f x2 f x1 直線ab的斜率 做兩個題吧 1 已知函數(shù)f x x2 x的圖象上的一點(diǎn)a 1 2 及臨近一點(diǎn)b 1 x 2 y 則 y x a 3b 3 x x 2c 3 x 2d 3 x d 2 求y x2在x x0附近的平均變化率 2x0 x