反比例函數（提高）【學習目標】1. 理解反比例函數的概念和意義，能根據問題的反比例關系確定函數解析式2. 能根據解析式畫出反比例函數的圖象，初步掌握反比例函數的圖象和性質3. 會用待定系數法確定反比例函數解析式，進一步理解反比例函數的圖象和性質【要點梳理】要點一、反比例函數的定義一般地，形如 (為常數，)的函數稱為反比例函數，其中是自變量，是函數，定義域是不等于零的一切實數.要點詮釋：（1）在中，自變量是分式的分母，當時，分式無意義，所以自變量的取值范圍是，函數的取值范圍是.故函數圖象與軸、軸無交點；（2） ()可以寫成()的形式，自變量的指數是1，在解決有關自變量指數問題時應特別注意系數這一條件.（3） ()也可以寫成的形式，用它可以迅速地求出反比例函數的比例系數，從而得到反比例函數的解析式.要點二、確定反比例函數的關系式 確定反比例函數關系式的方法仍是待定系數法，由于反比例函數中，只有一個待定系數，因此只需要知道一對的對應值或圖象上的一個點的坐標，即可求出的值，從而確定其解析式.用待定系數法求反比例函數關系式的一般步驟是： （1）設所求的反比例函數為： ()；（2）把已知條件（自變量與函數的對應值）代入關系式，得到關于待定系數的方程；（3）解方程求出待定系數的值；（4）把求得的值代回所設的函數關系式 中.要點三、反比例函數的圖象和性質1、 反比例函數的圖象特征：反比例函數的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函數的圖象關于原點對稱，永遠不會與軸、軸相交，只是無限靠近兩坐標軸.要點詮釋：（1）若點()在反比例函數的圖象上，則點()也在此圖象上，所以反比例函數的圖象關于原點對稱；（2）在反比例函數(為常數，) 中，由于，所以兩個分支都無限接近但永遠不能達到軸和軸2、反比例函數的性質（1）如圖1，當時，雙曲線的兩個分支分別位于第一、三象限，在每個象限內，值隨值的增大而減??； （2）如圖2，當時，雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，在每個象限內，值隨值的增大而增大； 要點詮釋：反比例函數的增減性不是連續的，它的增減性都是在各自的象限內的增減情況，反比例函數的增減性都是由反比例系數的符號決定的；反過來，由雙曲線所在的位置和函數的增減性，也可以推斷出的符號.要點四、反比例函數()中的比例系數的幾何意義過雙曲線() 上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.過雙曲線() 上任意一點作一坐標軸的垂線，連接該點和原點，所得三角形的面積為. 要點詮釋：只要函數式已經確定，不論圖象上點的位置如何變化，這一點與兩坐標軸的垂線和兩坐標軸圍成的面積始終是不變的.【典型例題】類型一、反比例函數定義1、為何值時，是反比例函數？【答案與解析】解：由 得 【總結升華】根據反比例函數關系式的一般式，也可以寫成，后一種寫法中的次數為1，可知此函數為反比例函數，必須具備兩個條件，且，二者缺一不可類型二、確定反比例函數的解析式2、已知，與成正比例，與成反比例，且當1時，7；當2時，8(1) 與之間的函數關系式；(2)自變量的取值范圍；(3)當4時，的值【答案與解析】解：(1) 與成正比例， 設 與成反比例， 設 把與分別代入上式，得 所以與的函數解析式為(2)自變量的取值范圍是0(3)當4時，【總結升華】注意，比例系數要分別用和表示，不能用成同一個比例系數.舉一反三：【變式】已知與成反比例，且時，求與的函數關系式【答案】解：因為與成反比例，所以，且，解得.所以與的函數關系式為 .類型三、反比例函數的圖象和性質3、若A(，)、B(，)在函數的圖象上，當、滿足_時，.【答案】或或； 【解析】的圖象在一、三象限，在每個象限內，隨著的增大，函數值減小，所以或時，.當B點在三象限，A點在一象限，即，也滿足.【總結升華】反比例函數的增減性是在每個象限內討論的，A、B兩點要分成同在一象限、同在三象限和分屬一、三象限討論，這樣才能把情況考慮完整.舉一反三：【變式】如圖所示，正比例函數與反比例函數在同一坐標系中的圖象不可能是（ ）【答案】D；提示：對于D項，由正比例函數的圖象經過第二、第四象限，得0，由反比例函的圖象位于第一、第三象限，得1，不存在，故D項錯誤解決這類圖象問題的一般解法是先根據函數表達式的大致圖象來確定函數表達式中字母系數的符號或范圍，再根據字母系數的符號或范圍確定另一個函數圖象的大致位置類型四、反比例函數綜合4、如圖所示，已知雙曲線，經過RtOAB斜邊OB的中點D，與直角邊AB交于點C，DEOA，求反比例函數的解析式【答案與解析】解：過點D作DMAB于點M DMOA， BDMBOA在BDM和EOD中 BDMDOE(AAS)， ，設D()，則B() ， 即，解得： 反比例函數的解析式為【總結升華】本題欲求解析式有兩個思路可考慮，一個是求D點或C點的坐標，另一個就是求DOE或AOC